受脈沖擾動的多智能體系統的有限時間平均一致性

耿曉鵬，呂曉曉

（青島大學 自動化學院，山東 青島 266071）

多智能體系統作為人工智能研究的基本對象受到了國內外研究者的廣泛重視。由于其魯棒性、可靠性及高效性，多智能體系統已廣泛應用于計算機網絡、電力系統、交通控制和軍事等眾多領域[1-3]。其中，分布式協調控制是多智能體系統的一個基礎研究問題，包括追蹤[4]、群集[5]、分布式濾波器[6]、可控性[7]和一致性[8]等。其中，一致性是多智能體系統的最基本問題，它描述了同一系統中每個智能體在預先設定的控制協議下可以達到某種狀態[9-11]。在現有的一致性結果中，大多數多智能體系統在一致性控制協議下實現了漸近/指數收斂，這意味著系統只有在無限的時間內才能逐步達到穩定。在實際的工程系統中，如航天系統、機器人控制系統等短時間工作的系統，往往需要的是系統能夠在有限的時間內達到漸近穩定[12]。因此，多智能體系統有限時間一致性問題引發了大批國外學者的研究興趣，相關研究結果被提出[13-16]。

另一方面，網絡拓撲在多智能體系統一致性問題的研究中發揮了至關重要的作用。為了獲得更好的收斂速度，對于一些特殊的交互圖，如包含有向生成樹的有向圖和強連通的有向圖，許多學者都在尋找更好的代數連通性。在實際應用中，通訊干擾或者超出通訊范圍都可能會導致智能體之間的通訊中斷，同時，又可能在任意兩個智能體之間重新建立新的通信鏈路，這意味著智能體之間的拓撲將隨著時間的推移而改變[17]。因此，進一步研究具有切換拓撲的多智能體系統的有限時間一致性具有重要意義[18-20]。

在許多實際情況下，系統在某些時刻可能會遇到一些突變，其狀態不再是連續的動態演化，這種突變被稱為脈沖現象。近年來，具有脈沖效應的多智能體系統在脈沖微分方程下有著廣泛的研究[21-23]。不難發現，脈沖效應對系統的穩定性具有雙面性，可分為鎮定的脈沖和去穩定的脈沖。一方面，鎮定的脈沖是指脈沖控制是一種成本低、魯棒性強的有效控制策略。因此，基于脈沖控制的多智能體系統的一致性問題近年來被國內外學者們大量的研究[24-26]。另一方面，去穩定的脈沖可以看作是脈沖擾動，這意味著無脈沖效應的系統本身具有一定的穩定性，在脈沖擾動下仍能保持相應的穩定性。由于脈沖擾動對系統的動力學行為有很大的影響，因此研究脈沖擾動對多智能體系統一致性的影響是非常有必要的[27-28]。到目前為止，受擾動的多智能系統的有限時間一致性已有較多結果，但關于脈沖擾動的結論還相對較少。多智能體系統在到達停息時間之前受到脈沖擾動，將會延長原來的停息時間，這激發了我們的研究興趣。本文研究了脈沖擾動下具有切換拓撲的多智能體系統的有限時間平均一致性問題。主要創新點如下：

1）在多智能體系統的有限時間平均一致性研究中考慮了脈沖擾動，且所研究的是脈沖擾動次數對停息時間的影響，因此脈沖效應只在多智能體系統達到停息時間之前施加。

2）利用Lyapunov 有限時間穩定性定理、代數圖論和脈沖控制理論，推導出了具有脈沖擾動和切換拓撲的多智能體系統的有限時間平均一致性的充分條件，并對其停息時間進行了有效估計。

3）本文的停息時間取決于多智能體系統的初始條件、脈沖擾動次數及網絡拓撲結構等多種因素。

本文的其余部分組織如下：第1 節給出了有限時間穩定性理論以及代數圖論的相關知識；第2 節中介紹了具有脈沖擾動的多智能體系統有限時間平均一致性的主要結果；第3 節給出了一個數值例子；第4 節總結全文。

1 基礎知識及模型介紹

在本節中，首先列出本文用到一些符號及代數圖論的相關知識，然后是問題的描述。最后，給出了本文需要的引理。

1.1 符號

文中用到的主要符號如下：1n是一個元素全為1 的n 維列向量；R+（Z+）是正實數（整數）的集合；Rn具有Euclid 范數的n 維實空間；D+V（t）表示函數V：R→R 在t∈R 的右上Dini 導數，即：

1.2 圖論

考慮由n 個智能體組成的多智能體系統，智能體之間的通信由有向圖G=（V，ε，A）來描述，其中V={1，2，…，n}為節點集，節點i∈V 表示第i 個智能體，ε=V × V 為邊集，A=[aij]∈Rn×n為鄰接矩陣。如果（j，i）∈ε，則鄰接矩陣A 中的元素aij不等于0，此時智能體i 是智能體j 的鄰居；否則aij=0。智能體i 的鄰居組成的集合為Ni={j∈V：（i，j）∈ε}。從智能體i 到智能體j 的有向路徑為有限有序邊序列，形式為（i，l1），（l1，l2），…，（lk-1，lk），（lk，j）。在有向圖中，如果存在一個節點（即根節點），且滿足從根節點到任何其他節點至少存在一條有向路徑，那么則稱該有向圖包含一個有向生成樹。定義與G 相關的Laplace 矩陣L=[lij]∈Rn×n，如果i≠j，則lij=-aij，且若有向圖中所有的入度等于出度，即對于所有的則稱有向圖是平衡的。

1.3 問題陳述

考慮由n 個相同的智能體組成的多智能體系統，第i 個智能體的狀態可以描述為

其中：xi（t）∈R，i∈V 表示系統狀態；ui（t）∈Rn表示控制輸入；wi（t）為脈沖擾動。wi（t）形式為

其中：dk>0 為脈沖擾動系數，k∈Z+；δ（·）為Dirac函數。序列S={tk，k∈Z+}是滿足0=t0

將系統（1）改寫為

引理1[1]設L 為有向圖G 相關聯的Laplace矩陣，如果G 包含有向生成樹，則0=λ1（L）<λ2（L）≤λ3（L）≤…≤λn（L），λ1n（L）=0 且Re（λ1（L））>0，i=2，3，…，n。

引理2[29]令x1，x2，…，xn≥0，0 1，則下列兩個不等式成立：

1.4 帶有脈沖擾動的有限時間穩定

考慮如下的脈沖控制系統：

其中，f（z（t）），f（z（t-））和z0的定義與文獻[30]中的定義相同，這里省略。在此之后，我們建立以下引理。

引理3[30]如果存在正常數β >1，0 <η <1，α，δ 和兩個K 類函數φ1，φ2和局部Lipschitz 連續的函數V（z）：Ω →R+∪0 使得

2 脈沖擾動下有限時間平均一致性

考慮具有脈沖擾動和切換拓撲的多智能體系統（1）的有限時間平均一致性。設計如下的控制律：

其中：σ（t）：R+→ρ={1，2，…，m}為分段常數信號，被稱為切換信號為有向圖Gσ（t）鄰接矩陣中的元素，0 <γ <1。

假設1有向圖Gi，i∈{1，2，…，m}是平衡的且包含有向生成樹。

定理1若假設1 成立，存在常數γ∈（0，1），dk>0，β∈[1，∞），使得不等式

成立，則初始條件為ei（t0）∈Ωδ的多智能體系統（1）可以實現有限時間平均一致性，其中ei（t0）=xi（t0）-ξ（t0）且脈沖序列{tk}滿足

則停息時間可估計為

類似地，可得Δξ（tk）=0。令ei（t）=xi（t）-ξ（t），則可以寫出xi（t）和ξ（t）之間的誤差系統為

考慮如下的Lyapunov 函數：

當t≠tk，k∈Z+時，計算V（t）沿誤差系統（9）的狀態軌跡的右上Dini 導數

根據引理1 和引理2，我們得到

當t=tk時，結合式（6）可以得到

顯然，式（7）、（10）—（12）滿足引理3 中的 所有條件，因此，受脈沖擾動（2）的多智能體系統（1）在控制協議（5）下可以實現有限時間平均一致性，其停息時間可由式（8）估計。

3 仿真實例

考慮具有6 個節點的多智能體系統（1），其可能的網絡拓撲連接關系如圖1 所示，其中網絡拓撲每T=2.1 在4 種有向圖中進行一次隨機切換，顯然假設1 成立?？紤]系統（1）的參數為γ=0.2，dk=0.55，并且選取如下的脈沖時間序列：t4n-3=2.1n -1.6，t4n-2=2.1n -1.35，t4n-1=2.1n -0.6，t4n=2.1n（見圖2）。令β=1.1，初值x0滿足<δ=0.6，容易計算出=0.388 20。因此，由引理3（當N0=1 時）可知無脈沖擾動的多智能體系統（1）在控制器（5）下可以實現有限時間平均一致性，且停息時間可估計為T（x0）=1.956 0，如圖3 所示。進一步計算可得：t7=3.6 >3.464 5=β6T（x0），則N0=7 成立，那么脈沖時間序列為

圖1 切換的通信拓撲Fig.1 Switching communication topologies

圖2 脈沖切換信號Fig.2 Impulsive switching signal

圖3 無脈沖擾動的受控多智能體系統（1）的有限時間平均一致性（i=1，2，3，4，5，6）Fig.3 Finite-time average consensus for controlled multi-agent systems（1）without impulsive disturbances（i=1，2，3，4，5，6）

若定理1 中的所有條件都滿足，則可以得到切換拓撲下具有脈沖擾動（2）的多智能體系統（1）可以實現有限時間平均一致性，且停息時間可估計為T（e0，（tk））=3.464 5，如圖4 所示。另一方面，由于T（e0，（tk））=3.464 5 >T（e0）=1.956 0，這意味著在達到停息時間之前，有限次的脈沖擾動將延長系統（1）的未受擾動時的停息時間。

圖4 帶脈沖擾動的受控多智能體系統（1）的有限時間平均一致性（i=1，2，3，4，5，6）Fig.4 Finite-time average consensus for controlled multi-agent systems（1）with impulsive disturbances（i=1，2，3，4，5，6）

顯然，脈沖擾動的個數對于停息時間的影響是顯著的，因此分析參數的敏感性是非常有必要的。當選擇N0=3，S2={1，2}時，容易計算出此時的停息時間為2.360 8。另外，當N0=5，S4={0.5，1.2，1.7，2.4}時，停息時間為2.863 8，對應的仿真如圖5所示。因此，在到達停息時間之前多智能體系統受到脈沖擾動，會延長原來的停息時間，脈沖擾動次數越多，停息時間就越長。

圖5 不同N0 時的停息時間Fig.5 The setting-time with different N0

4 結論

本文研究了切換拓撲下受脈沖擾動的多智能體系統的有限時間平均一致性。利用Lyapunov 有限時間穩定定理、代數圖理論和脈沖控制理論，得到了保證有限時間平均一致性的充分條件。在此基礎上，根據多智能體系統的初始條件、脈沖擾動的數量及其網絡拓撲結構，重新估算出停息時間。最后，通過數值算例對所得結果進行了仿真，驗證了所得結果的有效性。