改進的蜉蝣優化算法的經濟負荷分配

李國成,黃春興,甘德俊,倪百秀

(皖西學院 金融與數學學院,安徽 六安 237012)

經濟負荷分配(Economic Load Dispatch,ELD)問題是電力系統中一個重要優化問題[1]。它在過去的幾十年里引起了許多研究人員的關注,當前仍然是電力系統領域的研究熱點。該問題旨在確定發電機組的負荷分配方案,以最小化電力系統的總成本或滿足負荷需求的同時最大化經濟效益。在考慮了閥點效應、發電機運行約束和禁止運行區域等各種約束后,這種經濟調度問題呈現出多約束、非凸、非線性和非光滑等特征[1,2]。

為了解決ELD問題,學術界提出了多種優化方法和算法。傳統的方法包括基于數學規劃的方法,如線性規劃[3]、非線性規劃[4]、混合整數規劃[5]、動態規劃[6]和分位數回歸法[7]等,可以準確地建立ELD問題的數學模型,采用相應的算法進行求解,但在處理大規模系統時存在計算復雜度高的問題。近年來,隨著人工智能技術的快速發展,智能算法在ELD問題中得到了廣泛應用,如遺傳算法[8]、粒子群優化算法[9,10]、蟻群算法[11]、微分進化算法[12]、閉環文化粒子群算法[13]、混沌優化算法[14]、生物地理學算法[15]、鯨魚優化算法[16]、哈里斯鷹優化算法[2]、黏菌算法[17]、人工電場算法[18]、白鯨優化算法等[19],它們通過模仿自然界的進化和群體行為來搜索全局最優解。這些算法通過自適應搜索策略和多樣化的搜索操作,在ELD問題求解中展現了較好的優化性能,并取得很好的實際應用效果。

隨著數學規劃方法和智能優化算法的不斷發展,研究人員不斷探尋用更加高效、更為精確和更低廉成本的方法來求解經濟負荷分配問題,以提高電力系統的經濟性、可靠性和環境友好性。本文基于精英策略構建一種改進的蜉蝣優化算法,該算法在尋優階段具有很好的全局勘探能力和局部開發能力,收斂速度更快,可以更好地解決電力系統經濟負荷分配問題。

一、問題描述與數學模型

(一)問題描述

經濟負荷分配問題是在滿足用戶用電需求、保證電力系統正常運行的條件下,對各個發電機的功率進行最優配置,從而使整個系統的發電成本達到最低。從數學角度來看,該問題是一類具有多約束、單目標的非線性優化問題[8]。

(二)數學模型

如果系統總發電費用記為TC,系統內發電機總數為N,第i臺發電機的有功功率為Pi,第i臺發電機費用特性函數為Fi(Pi),則經濟負荷分配問題的目標函數可表述為:

(1)

其中,當考慮閥點效應的費用時,第i臺發電機費用特性函數Fi(Pi)為:

(2)

式(2)中ai,bi,ci,ei,fi分別為機組發電機中第i臺的費用參數。本文考慮電網傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網傳輸損耗和閥點效應作為能耗函數計算總成本兩種情形。發電機組的運行功率限值約束條件為:

(3)

(4)

式(4)中,PD為系統內的總負荷。

二、改進的蜉蝣優化算法

(一)蜉蝣優化算法

蜉蝣優化算法(mayfly optimization algorithm,MA)是Konstantinos Zervoudakis于2021根據蜉蝣的飛行和繁衍行為規律提出的一種算法[20]。蜉蝣優化算法中的種群分為雄性和雌性,其中雄性的行為與粒子群相似,通過全局最優和自身歷史最優進行移動,雌性則向優于自身的配偶進行移動,若其配偶弱于自己則自行局部搜索,然后這對雌性個體和雄性個體結合產生兩個后代,并將較優個體保留在群體中。部分文獻的研究結果表明[21,22],蜉蝣優化算法存在收斂速度較慢和易陷入局部最優解的不足。為此,本文基于精英策略對蜉蝣優化算法進行改進以提高其優化性能和收斂速度。蜉蝣優化算法步驟歸納如下[20]:

步驟1:設置種群規模,確定搜索空間,隨機生成雄性蜉蝣的初始種群x0和速度vx0,雌性蜉蝣的初始種群y0和速度vy0,并設置終止條件。

步驟2:評估種群,計算各蜉蝣的適應度函數值,尋找群體最優Pbest和全局最優gbest。

步驟3:迭代前期(T<0.5×Tmax),雄性種群的速度更新公式為:

(5)

式(5)表示雄性蜉蝣被雌性蜉蝣吸引和沒有被雌性所吸引兩種情形下的速度更新,雄性蜉蝣位置更新公式為:

(6)

雌性蜉蝣速度更新公式為:

(7)

式(7)表示雌性蜉蝣被雄性蜉蝣吸引和未被雄性蜉蝣吸引兩種情形下的速度更新,雌性蜉蝣位置更新公式為:

(8)

(9)

此處的吸引力是由適應度函數值來決定的,f(yij)>f(xij)表示雌性蜉蝣被雄性蜉蝣個體吸引,反之,則沒有被吸引;假定最優的雌性蜉蝣個體被最優的雄性蜉蝣個體吸引,第二優雌性蜉蝣個體被第二優雄性蜉蝣個體吸引,以此類推。

步驟4:迭代后期:(T>0.5×Tmax),定義概率

(10)

其中,fnew為當前退火階段的種群個體適應度;以概率p對速度進行調整;T為退火溫度,這里設置為100,如果f(yi)>f(xi),以式(2)和式(4)進行速度更新;如果f(yi)≤f(xi),以概率p>rand(0,1)接受個體間吸引更新速度方式,否則,更新進度:

(11)

采用模擬退火機制,不僅保持了算法的高效更新模式,而且加快了算法的尋優速度,同時也增加了群體的多樣性。

步驟5:個體排序后進行交叉和變異產生子代:

其中L為一特定區間生成的隨機數,用以調節父代和母代的遺傳系數。

步驟6:分離雄性和雌性蜉蝣,更新種群最優和全局最優,否則返回步驟 2,直至符合結束條件為止。

(二)基于精英策略改進的蜉蝣優化算法

蜉蝣優化算法收斂速度和搜索精度并不理想[21],在最優解的搜索過程中也容易產生滯后現象[22],受海洋捕食者算法[25]中精英策略的啟發,本文構建改進的蜉蝣優化算法(improved mayfly optimization algorithm,IMA),其中精英策略被引入MA以提高其收斂速度。精英蜉蝣在IMA在不同的步驟更新策略中采用了不同的步驟更新策略搜索異性蜉蝣。類似于海洋捕食者算法,IMA的精英政策規則應用為:

(1)當T≤0.5×Tmax時

其中ei代表精英i蜉蝣位置,si是步長和RB是一個隨機向量,每個向量分量由布朗運動獲得的定義運算符 “?” 與上述相同。R表示向量在[0,1]中生成的統一隨機數。

(2)當T>0.5Tmax時

其中RL是一個隨機向量,每個分量都是通過分配獲得。自適應參數CF,用于控制精英s的步長,可描述為:

(20)

(三)測試實驗與結果分析

為了驗證所構造的改進的IMA算法的優化性能,本文選取6個經典的標準測試函數進行測試實驗,并與MA算法進行對比。6個標準測試函數的名稱、數學表達式、定義域和最優值如表1所示,搜索空間的維數設置為:d=30.

表1 六個標準測試函數的定義

兩種算法的參數設置參考ZERVOUDAKIS K的研究成果[20],雄性蜉蝣、雌性蜉蝣和子代蜉蝣的種群規模均為40,最大迭代次數為1000,實驗獨立運行30次,統計實驗所得最優值的均值和標準差如表2所示,兩種算法求解結果對比勝出者以粗體標識。

表2 六個標準測試函數的求解結果與對比

從表2可以看出,基于精英策略改進的蜉蝣優化算法(IMA)的優化性能有所改善,尋優的精度的以提高。與MA相比,改進后的IMA在對六個基本測試函數的30次獨立運行測試實驗結果表明其均值和標準差兩個指標都勝出,表明改進后的算法求解精度更高,穩定性也更好,而且除了函數F2外,其他5個函數的測試結果都顯示這種改進的效果是非常明顯。這一點也可以從圖1所描繪的兩種算法求解六個函數的搜索迭代過程的收斂特征曲線對比觀察到,同時我們也可以從圖1看出改進后的IMA算法收斂速度更快。

圖1 MA和IMA收斂特征曲線對比

三、改進的蜉蝣優化算法求解經濟負荷分配問題

(一)適應度函數的表示

利用蜉蝣優化算法來求解電力系統負荷分配,其種群個體即為待優化的發電機組的輸出功率向量pop=(p1,p2,…,pM),i=1,2,…,n,目標是最小化發電機組能量消耗之和,因此由式(1)可以定義第i個蜉蝣個體的適應度函數如下:

(21)

若考慮閥點加載效應,則相應地式(21)可改寫為:

(22)

(二)約束處理

電力負荷分配問題的典型約束條件通常包括容量約束和電力供需平衡約束。本文只考慮這兩種約束的處理,其中容量約束,可通過設置個體位置變量來加以實現,即設置其上下界為:

(23)

電力供需平衡約束通過引入拉格朗日乘子λ,在目標函數里增加懲罰項,加以處理。因此,相應地式(21)和(22)可以改寫為:

其中懲罰系數λ本文設置為106。

四、實證研究

為了驗證蜉蝣優化算法求解經濟負荷分配問題的可行性與有效性,本文選取了三個經典測試案例(http://www.al-roomi.org)來進行研究,分別是3、6、15個發電機組的電力系統經濟負荷分配問題。

(一)三個機組的電力負荷分配問題求解

三個機組的電力負荷分配問題的總負荷為PD=850 MW,各發電機的參數見表3所示。

表3 三個發電機機組的參數

三個發電機機組的傳輸損耗系數矩陣為:

B0i=[0.01890 -0.00342 -0.007660],

B00=0.40357.

在案例一中,本文分為只考慮電網傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網傳輸損耗和閥點效應作為能耗函數計算總成本兩種情形作為能耗函數計算總成本,借助IMA 算法求解該案例,并與遺傳算法(GA)[8]、兩種改進的粒子群優化算法(CPSO、CLPSO)[13]以及混沌優化算法(COA)[14]等算法進行對比,種群規模為40,最大迭代次數為2000,三種算法在求解案例時獨立運行30次,比較最差、平均和最好目標函數值,結果如表4所示。

表4 三個機組電力系統的最差、最好目標函數值

表5給出遺傳算法(GA)、兩種改進的粒子群優化算法(CPSO、CLPSO)、混沌優化算法(COA)以及改進蜉蝣優化算法(IMA)五種算法求解3個機組的電力負荷分配問題的結果。對比結果可以發現本文所采用的IMA 求解所得的最優機組負荷分配的總能耗成本是最少的。因而IMA 求解結果最優,其次是改進的粒子群優化算法CPSO、CLPSO,求解結果最差的是GA,其損耗明顯高于其他算法的總成本。結果表明了蝗蟲優化算法求解電力負荷分配問題是可行的,而且取得了不錯的效果,總成本更低。

表5 三個機組電力系統的計算結果與對比

(二)六個機組的電力負荷分配問題求解

六個機組的電力負荷分配問題的總負荷為PD=1263 MW,各發電機的參數見表6所示。

表6 六個發電機機組的參數

案例二中六個發電機機組的傳輸損耗系數矩陣為:

在案例二中,本文也分為只考慮電網傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網傳輸損耗和閥點效應作為能耗函數計算總成本兩種情形作為能耗函數計算總成本,借助IMA 算法求解該案例,并與遺傳算法(GA)、粒子群優化算法(PSO)兩種算法進行對比,種群規模為40,最大迭代次數為1000,三種算法在求解案例時獨立運行30次,比較最差、平均和最好目標函數值,結果如表7所示。

表7 六個機組電力系統的最差、最好目標函數值

表8給出遺傳算法(GA)、兩種改進的粒子群優化算法(CPSO、CLPSO)、混沌優化算法(COA)以及改進的蜉蝣優化算法(IMA)五種算法求解六個機組的電力負荷分配問題的結果。結果對比可以發現的五種算法總能耗成本差別都不大,但表現最好的依舊IMA。再次證明蜉蝣優化算法求解電力負荷分配問題是可行和有效的。

表8 六個機組電力系統的計算結果與對比

(三)十五個機組的電力負荷分配問題求解

十五個機組的電力負荷分配問題的總負荷為PD=2500 MW,各發電機的參數如表9所示。

表9 十五個發電機機組的參數

在案例三中,本文與案例一、二相同,分為只考慮電網傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網傳輸損耗和閥點效應作為能耗函數計算總成本兩種情形作為能耗函數計算總成本,借助COA 算法求解該案例,并與遺傳算法(GA)、粒子群優化算法(PSO )兩種算法進行對比,種群規模為40,最大迭代次數為5000,三種算法在求解案例時獨立運行30次,比較最差、平均和最好目標函數值,結果見表10所示。

表10 十五個機組電力系統的最差、最好目標函數值

從表11可以看出,運行結果顯示五種算法求解 15 個機組的電力負荷分配問題所得到最優機組負荷分配及相應的總能耗成本差別都不大,其中IMA 表現最好,其次是GA和CPSO相差甚微,表現最差的是CLPSO。三個測試案例的實驗結果表明蜉蝣優化算法在求解電力負荷分配問題中是可行和有效的,具有很強的穩定性,可解決電力系統中的能源消耗問題。

表11 十五個機組電力系統的計算結果與對比

五、結論

本文提出了一種基于精英策略改進的蜉蝣優化算法用于解決電力系統中的經濟負荷分配問題(ELD)。該算法考慮了電網傳輸損耗、供需平衡約束和閥點效應,有效地處理了容量約束和電力供需平衡約束。實驗結果表明,改進的蜉蝣優化算法在ELD問題上具有高效的求解能力,能夠降低總發電成本和減少碳排放,取得了良好的應用效果。未來研究可進一步探索該算法在其他電力系統優化問題上的應用,并進一步提升其性能和適用性。