邢慧芳, 趙園園, 孟 秋
(北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)
本文以一類具有阻尼與重力勢的剪切變稀流體為研究對象, 研究強非線性體系解的存在唯一性.模型具有奇異性和強耦合性.此外, 方程組允許初始真空.
本文考慮一維有界區域具有重力勢和阻尼項的可壓縮非牛頓流體:
(1)
定義1若滿足下列條件, 則稱(ρ,u,Φ)為初邊值問題(1)的解:
(ii) 對任意φ∈C([0,T];H1),φt∈L∞(0,T;L2), a.e.t∈(0,T), 有
(2)
則存在T*∈(0,+∞), 使得在ΩT*上存在滿足定義1的唯一解(ρ,u,Φ).
引理1[3]若f=0在?Ω上,Ω為1有界開集,d(Ω)為Ω長度且則
|f′|L∞(Ω)≤d(Ω)|f″|L2(Ω).
引理2[2]設Ω為1有界區間, 1≤q≤p≤+∞, 則
(3)
于L2(Ω)強收斂.
證明:
因此對任意η>0存在N, 使得當i,j>N時,
于L2強收斂.
考慮如下逼近系統:
設(ρk,uk,Φk)是其唯一光滑解.令
若不做說明, 則C僅依賴N0, 不失一般性, 令μ1=1.
得|Φ0xx|L2≤C.
2) 估計|Φx|Lq(Ω).由式(1)可得
則
結合式(5)可得
則
(7)
因此
通過計算可得
令
由Sobolev嵌入定理和Young不等式可得
經過遞推關系可得
(9)
由式(5)可得
由(ρ,u,Φ)為光滑解, 可得
因此
根據Jk的定義及上述估計, 總存在一個較小的時間0 成立. 由式(10)可得 令 則 應用Gronwall不等式, 得 (15) 1)k→∞.先證(ρε,uε,Φε)是如下問題的解: (16) 由于(ρk,uk,Φk)是式(4)~(6)的唯一光滑解, 因此, 當k→∞時, C僅依賴Nφ, 其中Nφ=N0+|φx|L∞(0,T*;L∞)+|φt|L∞(0,T*;L2)+|φx|L∞(0,T*;L2)+|f|L∞(0,T*;L2). 令w(s)=(s2+μ2)(q-2)/2s, 則 2)ε→0.先證 (17) (18) (19) (20) 且(ρδ,uδ,Φδ)滿足一致估計 通過計算可得 進而 因此3.2 近似解的收斂性
3.3 解的存在性
4 定理1的證明
4.1 存在性
4.2 唯一性