關于曲線拐點的一些探討

劉合財

(貴陽學院 理學院,貴州 貴陽 550005)

拐點是函數性質研究的重要內容,在導數和微分的應用中有重要的地位和作用,反映了平面曲線的內在幾何特征,是函數曲線上單調性相同而凸凹性不同的分界點。多篇文獻對拐點進行了研究和探討,一些教材對拐點的定義較寬泛,而有些文獻對拐點的定義更嚴密、更嚴格。一定程度上對拐點的性質、判定等問題研究不翔實、不系統、不深入。拐點是函數曲線的凸凹性分界點,在Logistic模型中的S型曲線拐點是一個比較特殊的點,在疫情趨勢預測、網絡輿情預測中也是研究者非常關注的一個重要節點,[1-5]這使得拐點的相關研究具有重要的意義。本文對曲線拐點的定義、性質、判別、計算、應用有一定的探討和思考。

1 拐點的定義

數學教材中關于拐點有不同的定義,通常定義有：

定義1：若函數y=f(x)在點x0可導,且在點x0的一側是凸,而另一側是凹,則稱點M(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點。[5]

定義2：如果在點x0兩側鄰近的曲線y=f(x)具有不同的凸性,則稱曲線上的點(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(或變曲點)。[6]

定義3：設曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線,且在切點近旁,曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的,這時稱點(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點。[7]

按此定義,拐點不僅是凸和凹曲線的分界點,而且必須是曲線的連續點。即拐點是連續曲線上凸凹弧的分界點。

另外,有教材的定義是：光滑曲線上凸凹弧的分界點。連續函數的尖點不光滑,不是拐點。[8]

2 拐點的性質

性質1(必要條件)：若函數曲線y=f(x)以(x0,f(x0))為拐點,且存在f′′(x0),則f′′(x0)=0。

即：函數在其曲線拐點二階可導,則函數在該點的二階導數為0。

亦即：函數在其曲線拐點二階可導的必要條件是函數在該點的二階導數為0。

性質2(必要條件)：若函數f(x)在(x0-δ,x0+δ)存在連續二階導數,且以(x0,f(x0))為拐點,則f′′(x0)=0。

即：函數在拐點的一鄰域內存在連續二階導數,則函數在該點的二階導數為0。

亦即：函數在拐點的一鄰域內存在連續二階導數的必要條件是函數在該點的二階導數為0。

注1：若已知有f′′(x0)=0,(x0,f(x0))不一定是曲線y=f(x)的拐點。

即：函數在一點的二階導數為0不是該點為曲線拐點的充分條件。

如：f(x)=x4,f′′(0)=0,(0,0)不是該曲線的拐點。事實上,?x≠0,f′′(x)>0,f(x)在(0,0)的兩側皆是凸。

注2：若(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點,y=f(x)在x0的導數不一定存在。

即：函數在一點的導數存在不是該點為曲線拐點的必要條件。

注3：與極值點的不重合性。函數在拐點處沒有極值,即拐點與極值點不能在同一處取到。[9]文獻[8]在“光滑曲線上凸凹弧的分界點稱為該曲線的拐點”定義下證明了“函數的極值點不可能與拐點重合”,證明了函數曲線的拐點與其極值點的不重合性。

注4：與極值點的關聯性。從拐點定義知,若f(x)具有二階導數,則曲線f(x)的拐點即為f′(x)的極值點。根據f′(x)的極值點的結果就可得到f(x)拐點的相應結果。

3 拐點的判別

因為曲線f(x)拐點與f′(x)極值點的關聯性,故可以根據函數f′(x)在一點的高階導數的符號來判定f′(x)的極值點,從而判定f(x)的拐點。從而有以下結論：

判別2(充分條件)：設f(x)在U(x0,δ)二階可導,f′′(x0)=0,f′′′(x0)≠0,則(x0,f(x0))是拐點。

判別3(充分條件)：設f(x)在x0的某一鄰域內有直到n階的導數,且f(n)(x)在x0連續,f′′(x0)=f′′′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0。而f(n)(x0)≠0,則當n為奇數時(x0,f(x0))是拐點。

這是根據函數極值點的判定定理,當n(≥3)為奇數時,n-1為偶數,[f′(x0)](n-1)=f(n)(x0)≠0,從而f′(x)在x0取極值,(x0,f(x0))是拐點。

此判別法亦可表述為：

設f(x)在x0的某一鄰域內有直到2k+1階的導數,且f(2k+1)(x)在x0連續,f′′(x0)=f′′′(x0)=…=f(2k)(x0)=0,而f(2k+1)(x0)≠0,則(x0,f(x0))是拐點。

在上述判別法的條件中,當n為偶數時,(x0,f(x0))不是拐點。這是因為當n(>3)為偶數時,n-1為奇數,[f′(x0)](n-1)=f(n)(x0)≠0,從而f′(x)在x0不取極值,(x0,f(x0))不是拐點。

4 拐點的計算

根據拐點的定義和判別,拐點左右兩側鄰近f′′(x)的符號相異,拐點的計算重點在于找出二階導數等于0和不存在的點。先找出可能的拐點,當點左右兩側鄰域的二階導數符號相同時該點不是拐點,當符號相反時該點就是拐點。

證：首先求出曲線的三個拐點,

例2：問a和b為何值時,點(1,3)為曲線y=ax3+bx2的拐點?

解：因(1,3)在曲線上,故有a+b=3。

又(1,3)為拐點,且y''=6ax+2b,故y''(1)=6a+2b=0。

5 拐點的應用

拐點除了用于函數圖像描繪外還有廣泛的應用,在人口預報、疫情預測以及金融學中股票和期貨分析等方面以及材料力學、流體力學、機械工程、土木工程、信號處理等工程領域都有廣泛而深入的應用。

在疫情預測中,人們非常關注拐點這樣一個特殊的節點,其代表了某一指標變化率的一種改變。文獻[10]根據有關統計數據畫出了COVID-19全國累計報告確診病例數變化趨勢圖,進一步研究可以考慮基于統計發布數據的疫情拐點判斷等相關問題。

圖2 COVID-19全國累計報告確診病例數變化趨勢圖[10]

6 結論

本文探討了曲線拐點的定義、性質(必要條件)、判別(充分條件),還討論了曲線拐點的計算與應用。拐點是函數的凸凹性分界點,其相關研究具有重要的意義。