EMA摩擦前饋補償的模糊自抗擾控制方法研究

石照耀, 張攀, 林家春

(北京工業大學 精密測控技術與儀器工程技術研究中心,北京 100124)

0 引 言

由永磁同步電機+減速器+控制器集成的機電執行器(electromechanical actuator,EMA)廣泛應用在機器人[1]、柔性關節[2-3]、航空航天[4]、空間機械臂、數控機床等領域。EMA中減速器主要有3種類型,分別為:RV減速器、行星減速器、諧波減速器。在精度要求高,負載不是特別大的場合多使用諧波減速器。諧波減速器具有噪聲小、體積小、重量小、側隙回差小以及承載能力高、傳動精度高、減速器比高、效率高,“四高”和“四小”的優良特性[3]。影響諧波減速器傳動精度的因素主要有:間隙、摩擦、剛度、傳動誤差。如何最大程度的消除非線性摩擦對EMA控制精度的影響,一直是眾多學者研究的熱點之一[3-5]。

國內外大量學者對EMA的控制方式和諧波減速器的非線性摩擦補償做了大量研究。Spong等[6]首次提出了柔性關節的動力學建模方法。石崟等[7]引入了彈流潤滑、非線性剛度因素建立了速度、負載轉矩和溫度參數耦合的諧波減速器模型,并使用遺傳算法對某型號的諧波減速器進行了參數辨識,并通過實驗驗證了該模型的準確性。H.D.Taghirad等[8]建立了諧波減速器的動力學模型,在高速和低速下對摩擦損耗進行了建模,通過仿真分析對建立模型的特性進行了研究。文獻[9]建立了包含運動誤差、摩擦特性、柔性特性的諧波減速器模型,并使用三次多項式描述摩擦模型。文獻[10]在頻域方面對伺服系統中的摩擦模型進行參數辨識,使用方波信號激勵,通過分析系統響應中的高頻諧波,辨識出系統的摩擦模型參數,并在控制器中進行補償。文獻[11]將諧波減速器和軸承的摩擦視為總擾動,并構建擾動觀測器進行估計,通過前饋補償的方式融入PID控制器中,通過仿真和實驗的方法驗證了該策略的有效性。文獻[12-13]綜合性的介紹了機械系統中十幾種摩擦模型,對不同摩擦模型的特點和適用范圍進行了詳細描述。

文獻[14]建立EMA的指數摩擦模型,使用摩擦前饋補償的方法提高了角度跟蹤精度。文獻[15]設計了基于摩擦前饋補償的控制器,并通過實驗驗證了摩擦前饋補償的有效性,提高了角速率誤差。文獻[16]建立了簡化的齒輪伺服系統動力學模型,通過轉速-轉矩實驗測得了系統的Stribeck曲線,提出一種自適應摩擦補償方法,提高了系統的位置跟蹤性能。

目前,EMA控制系統中常用矢量控制+PI(D)控制器構成的三閉環控制策略。PID控制器是一種線性控制器,具有結構簡單,算法簡單,控制參數少,易于工程實現的優點,在工業界仍占據著主導地位[17]。但PID控制器誤差信號的取法會使系統初始誤差較大,容易引起超調。使用差分信號近似代替微分信號,這種處理方式對噪聲信號進行了放大,造成微分信號失真嚴重。對比例環節、積分環節、微分環節做線性組合,繼而作用于被控對象,這種處理方式很難解決快速性與超調之間的矛盾。韓京清先生在深入研究現代控制理論并結合PID基于誤差消除誤差的控制精髓基礎上,提出了自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)技術[18-19]。ADRC控制技術不依賴被控對象數學精確模型,將系統未建模部分、外部擾動以及傳統方法不易處理的復雜非線性因素和時變因素等耦合而成的不確定部分作為系統的“總擾動”,利用系統的輸入和輸出構造擴張狀態觀測器,在線估計“總擾動”并在反饋控制中進行補償[20-22]。

自ADRC技術誕生后,已有大量科研、工程人員將ADRC應用于電機控制領域。文獻[23]設計了一種永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)模糊ADRC系統,通過仿真和實驗驗證了這種控制方法的響應快速性、無超調、控制精度高的特點。文獻[24]根據PID和模糊控制原理,設計了變論域自適應模糊 PID 復合控制策略,實現了控制參數自整定和控制規則的自調整。

文獻[25]提出了一種PMSM調速系統模型補償的ADRC控制方案,通過參數辨識確定系統的部分模型,減小擴張狀態觀測器對擾動估計的壓力,提高擾動估計精度。文獻[26]設計一種新型非線性函數,在此基礎上提出一種改進型ADRC控制器。文獻[27]設計一種新型非線性函數,代替ADRC中的非線性函數實現了快速、準確的對擾動進行估計和補償。文獻[28]提出了一種PMSM位置-電流雙環控制策略,仿真和實驗結果表明,復合型ADRC控制器對負載轉矩、電機參數變化等擾動具有較好的抑制作用。

為了減小非線性摩擦特性對控制精度的影響,本文提出基于模糊ADRC(Fuzzy-ADRC)控制器的EMA非線性摩擦建模及補償的方法。在PMSM和諧波減速器的模型基礎上推導摩擦力和轉矩電流的關系。測試不同轉速下的轉矩電流,使用小波+卡爾曼聯合濾波的方式對測試數據進行處理。建立庫倫+粘滯+Stribeck摩擦模型,使用三次高斯擬合的方式獲取轉速與轉矩電流的函數關系,基于ADRC原理和模糊控制原理構建Fuzzy-ADRC控制器,并在Fuzzy-ADRC中加入非線性摩擦前饋補償,提高EMA的控制精度,通過實驗證明該方法的可行性。

1 PMSM數學模型

EMA中主要包括PMSM和諧波減速器兩大非線性因素。PMSM和諧波減速器主要通過轉矩電流耦合在一起。PMSM常用矢量控制(vector control,VC)又稱磁場定向控制(field orientated control,FOC)和直接轉矩控制(direct torque control,DTC),由于DTC中使用Bang-Bang控制產生轉矩脈動,所以在高性能的控制方式中FOC控制方式較多[29]。在不影響PMSM控制性能的前提下,為簡化分析,做如下假設:忽略鐵心飽和效應;不計電機中渦流和磁滯損耗;繞組中的電流為理想三相對稱的正弦波電流。FOC控制策略下PMSM的數學模型主要由電壓方程、磁鏈方程、電磁轉矩方程、機械方程組成,在d-q旋轉坐標系下,PMSM數學模型表達式[30-31]為:

(1)

其中:Rs為相電阻;id、iq、ud、uq、Ld、Lq、ψd、ψq分別為d-q軸電流、電壓、電感、磁鏈;pn為極對數;id、iq又稱轉矩電流、磁鏈電流;Te為電磁轉矩;J為轉動慣量;TL為負載轉矩;B為阻尼系數;ψf為永磁體磁鏈;ω、ωr分別為電角速度和機械角速度。對于表貼式PMSM,有Ld=Lq=Ls,使用id=0控制方式,式(1)中電磁轉矩方程可簡化為

Te=1.5pnψfiq。

(2)

2 諧波減速器傳動模型

精密諧波減速器一般由柔輪、剛輪、波發生器組成,如圖1所示。3個器件中可以任意固定其中一個,另外2個作為輸入和輸出,實現增速或減速目的。EMA中通常將剛輪固定,轉子與波發生器連接,柔輪作為從動輪。波發生器通常由薄壁柔性滾動球軸承和標準橢圓凸輪組成,波發生器裝入柔輪后,柔輪變形為橢圓形,柔輪的外圈輪齒和剛輪的內圈輪齒部分接觸,一般有30%左右齒輪處于嚙合狀態。

圖1 諧波減速器結構圖Fig.1 Structure diagram of harmonic drive

諧波減速器工作時,波發生器為主動元件,波發生器轉動時使柔輪發生可控的彈性變形實現運動和動力傳遞。波發生器連續轉動時,柔輪節圓上的任一點會形成一個上下左右相對稱的和諧波,故稱為“諧波”。通常柔輪齒數比剛輪齒數少2個,其傳動比為i=-Z2/(Z1-Z2),Z1、Z2分別為剛輪和柔輪的齒數。

諧波減速器在力矩傳遞過程中存在非線性摩擦損耗,根據傳遞過程中摩擦環節建立諧波減速器的非線性摩擦傳動模型如圖2所示。

圖2 諧波減速器傳動模型Fig.2 Harmonic drive transmission model

圖2中:Tf1為波發生器上的摩擦;Tf2為柔輪與剛輪之間的摩擦;Tf3為柔輪上的摩擦;θm為電機轉子(波發生器)位置;Tm為波發生器的力矩;θng、Tng、θnin、Tnin、θnout、Tnout為諧波減速器模型的中間變量;θm為電機轉子(波發生器)位置;TL為柔輪輸出力矩;θL為柔輪位置;Tf為諧波減速器的摩擦力矩,大小為Tf=Tf1+Tf2+Tf3,低速重載下負載端摩擦力矩Tf3比高速輕載下電機端摩擦力矩Tf1小得多,可以忽略不計,即Tf3= 0;Tnout為等效的彈簧阻尼力;TL是負載轉矩,TL=Tnout=Tk+Ts,TL是與傳動誤差相關的函數,即f(θ)=TL。諧波減速器傳動誤差的表達式為

(3)

由以上分析得,諧波減速器輸入力矩、摩擦力矩、輸出力矩之間的關系為:

(4)

式中KL為諧波減速器的剛度系數,勻速時,電機中的轉矩與諧波輸入的轉矩相等,即Tm=Te。如果將波發生器的轉動慣量和電機轉子的轉動慣量視為整體,將柔輪的轉動慣量和負載的轉動慣量視為整體,可以將EMA視為二質量系統。Jm為電機轉子轉動慣量,JL為負載端的轉動慣量,電機轉矩Te與波發生器轉矩Tm的關系為:

(5)

由式(2)、式(4)、式(5)可得諧波減速器非線性摩擦力Tf的表達式為

(6)

負載時Tf的表達式又可表示為

(7)

式(6)、式(7)的主要差別在于是否考慮傳動誤差的影響,當空載或負載較小時傳動誤差因素較小可忽略。負載較大時,由于彈性變形的原因會導致傳動誤差加大。

EMA空載并勻速運行時式(6)可簡化為

Tf=1.5pnψfiq。

(8)

即摩擦力等于電機的電磁轉矩。施加較大負載并勻速運行時,式(7)摩擦力的表達式可簡化為

(9)

庫倫+粘滯+Stribeck模型描述摩擦力[12]可表示為

(10)

式中:Fc為動摩擦力矩,即庫倫摩擦力;Fs為Stribeck摩擦力矩,即最大靜摩擦力;v為系統轉速;vs為Stribeck速度;σs為Stribeck模型參數。對于σs的取值,Bo和Pavelescu將σs的取值范圍設定為0.5～1之間[32],有些學者常取σs=1或σs=2。當σs=1時得到Tustin模型[33],當σs=2時得到Gauss指數模型[34]。

當使用Tustin經驗模型描述Stribeck現象時,σs為1。庫倫+粘滯+Stribeck模型曲線如圖3所示。

圖3 庫倫+粘滯+Stribeck模型Fig.3 Coulomb+Vscosity+Stribeck model

根據非線性摩擦力矩與轉速的關系曲線,通過擬合的方法可以將模型的低速段和高速段大致擬合為直線,即正斜率線性段和負斜率線性段。負斜率線性段主要由模型中的指數項產生,描述系統從靜止狀態到緩慢運動過程中所產生的摩擦力。正斜率線性段主要表現為粘滯摩擦,斜率為粘滯摩擦阻尼系數B。負斜率段與縱軸的交點Fs,即為最大靜摩擦力。正斜率段與y軸的交點Fc,為庫倫摩擦力。負斜率線性段與直線y=Fc的交點的橫坐標vs即為Stribeck速度。

3 小波-卡爾曼濾波聯合去噪

由式(8)可知空載勻速狀態下通過測量轉矩電流iq便可以測量得到摩擦力矩。測量時將電機轉速從小到大逐次增加,獲取轉速與摩擦力矩的對應關系。在低速區時,需要減小速度增加梯度,多次測量。中高速區可以加大速度梯度。0～50 r/min之間,速度梯度為1 r/min,50～100 r/min之間,速度梯度為5 r/min,100～500 r/min之間,速度梯度為10 r/min,500～1 000 r/min之間,速度梯度為50 r/min。

假設EMA正轉和反轉過程中所受的摩擦力大小相同,本文僅測正轉方向的摩擦力。通過測量不同轉速下的轉矩值,經過數據擬合得到轉矩-轉速曲線。在測量iq過程中,不可避免出現測量噪聲和系統噪聲的污染,這里使用小波+卡爾曼聯合濾波的方法進行處理。經小波+卡爾曼聯合濾波處理的數據具有更小的均方根誤差和信噪比,互相系數更接近于1,能夠更真實的反應信號的原始特征[35-37]。在某一速度下,將測量的數據使用聯合濾波算法處理后,計算摩擦力矩的均值。以此獲得不同轉速下的摩擦力矩。

圖4 小波卡爾曼濾波聯合去噪算法Fig.4 Wavelet Kalman filter joint denoising algorithm

得到EMA轉矩電流與轉速的關系如圖5所示。

圖5 摩擦力矩與轉速曲線Fig.5 Friction torque and speed curve

圖5中點為不同轉速下獲得的轉矩電流,曲線為在MATLAB環境下使用高斯逼近法得到的擬合曲線。該曲線的表達式為

(11)

其中表1為an、bn、cn的具體數值。

表1 F(x)中參數表Table 1 Parameters of F(x)

為了減小諧波減速器摩擦特性對控制精度的影響,根據轉速與轉矩電流的函數關系進行摩擦模型補償。

摩擦前饋補償方法如圖6所示。

圖6 非線性摩擦前饋補償Fig.6 Nonlinear friction feedforward compensation

4 位置環二階ADRC設計

4.1 ADRC數學模型

ADRC主要由跟蹤微分器(tracking differentiator,TD)、擴張狀態觀測器(extended state observe,ESO)、非線性狀態誤差反饋(nonlinear states error feedback,NLSEF)組成。TD安排的過渡過程可以解決超調量與快速性之間相矛盾的問題,實現快速無超調跟蹤輸入信號。ESO對系統輸出和內(系統未建模部分)外擾動進行觀測,并在控制律中實時加以補償有效的提高系統抗干擾能力。NLSEF為TD的輸出和ESO的狀態變量觀測估計輸出和非線性組合,同時NLSEF的輸出與ESO對系統“總擾動”估計量組合后作用于被控對象。ADRC中的微分不同于PID中的微分,他不是放大“噪聲”,而是抑制“噪聲”。ADRC控制框圖如圖7所示。

圖7 ADRC控制框圖Fig.7 ADRC control block diagram

二階被控對象的狀態方程表示為:

(12)

式中:u為系統控制量;b為系統控制量的增益;f1(·)為系統已知部分;f2(·)為系統未知部分,令w(t)=f1(x1,x2)+f2(x1,x2,t),那么w(t)就是系統“總擾動”。

典型的二階ADRC表達式為:

(13)

為了將模糊控制引入位置環ADRC制器,這里將NLSEF加入誤差的積分環節,NLSEF改寫為:

(14)

TD中的最優綜合控制函數fhan(·)以及fal(·)函數的表達式為:

(15)

(16)

式中:α為非線性因子;δ為濾波因子;e為誤差變量。fal(·)函數具有“小誤差大增益,大誤差小增益”的特點。

4.2 EMA位置環ADRC設計

根據式(1)中的機械方程以及式(2)可以推導PMSM位置環的動態數學模型為

(17)

(18)

由此可以跟據式(13)～式(16)構造位置環二階自抗擾表達式。位置環二階ADRC控制框圖如圖8所示。

圖8 位置環二階ADRCFig.8 Position loop second order ADRC

4.3 EMA中Fuzzy-ADRC設計

ADRC控制參數的變化對系統控制性能影響較大,為了實現ADRC的自適應功能,在ADRC中加入模糊控制環節。NLSEF中待整定的參數β1、β0、β2和PID的控制參數相似,β1對應比例系數,β0對應積分系數,β2對應微分系數。引入模糊控制環節可以實時調整控制參數,自動調整到最優的{β0、β1、β2}。

模糊ADRC中的模糊控制器的輸入為e1、e2輸出為Δβ0、Δβ1、Δβ2,在各自論域中定義7個語言子集為{“負大(NB)”,“負中(NM)”,“負小(NB)”,“零(ZO)”,“正小(PS)”,“正中(PM)”,“正大(PB)”},為減小運算的負載程度,各模糊變量均使用三角隸屬度函數。e1、e2的論域選擇為[-60,60];Δβ0、Δβ1、Δβ2的論域選取為[-60,60]、[-30,30]、[-6,6]。模糊推理使用Mamdain型,去模糊處理采用加權平均法。建立的模糊規則如表2所示。

表2 Δβ0、Δβ1、Δβ2模糊規則表Table 2 Fuzzy rule table of Δβ0, Δβ1,Δβ2

模糊控制器輸出修正系數Δβ0、Δβ1、Δβ2, 根據修正系數以及初始系數即可得到控制參數β0、β1、β2,實現ADRC控制參數自整定。結合非線性摩擦模型中轉速與iq的關系,基于摩擦模型前饋補償的Fuzzy-ADRC結構框圖如圖9所示。

圖9 摩擦前饋補償模糊ADRC Fig.9 Friction feedforward compensation fuzzy ADRC

基于摩擦前饋補償模糊ADRC控制器的EMA位置伺服系統如圖所示。電流環控制部分仍采用PI控制器,與傳統的三環控制策略相比,將位置環和速度環的PI(D)控制器整合為一個復合的Fuzzy-ADRC控制器。使用Fuzzy-ADRC不僅可以提高系統的抗干擾能力與控制精度,也可提高系統的自適應能力。另外該系統也可以做速度環控制,將TD輸入信號改為目標速度,將ESO的輸入信號改為測量速度,調整模糊ADRC的控制參數,即可實現速度模式控制?；诜蔷€性摩擦前饋補償的EMA Fuzzy-ADRC控制框圖如圖10所示。

圖10 摩擦前饋補償EMA模糊ADRC控制框圖Fig.10 Block diagram of friction feedforward compensation EMA fuzzy ADRC

5 實驗分析

為驗證基于摩擦前饋補償模糊ADRC控制器性能,本文在RT-Cube平臺進行實驗驗證。通過空載和加載試驗對比分析PI控制、PI-摩擦前饋補償控制、ADRC控制、ADRC-摩擦前饋補償、Fuzzy-ADRC-摩擦前饋補償5種控制方式的特性。

試驗平臺如圖11所示。EMA輸入端和輸出端均安裝有高分辨率增量編碼器。

圖11 EMA摩擦補償實驗平臺Fig.11 EMA friction compensation experimental platform

通過在轉盤上吊配重塊的形式施加負載,這種靜加載方式相比磁粉制動器、扭矩電機具有穩定、準確的優點。實驗過程主要數據如表3所示。

表3 主要參數列表Table 3 List of main parameters

5.1 空載實驗分析

EMA輸入端、輸出端編碼器四倍頻后可達8 000 PPR和80 000 PPR。給定正弦位置變化信號Pref=8 000sin(πt),目標信號的幅值為EMA輸入端編碼器的脈沖值。根據諧波減速器減速比和輸出端編碼器的分辨率可知,EMA輸出端位置變化為Pout=1 600sin(πt),輸出信號的幅值為輸出端編碼器的脈沖值。

圖12為空載時,給定參考位置信號下,EMA輸出端速度變化曲線。從圖中看出,EMA中柔輪的轉速接近±4 r/min。結合圖5可知,該轉速跨越了Stribeck速度,包含了摩擦模型中的負斜率段和部分正斜率段。

圖12 EMA輸出端速度Fig.12 EMA output speed

圖13為空載時,給定參考位置信號下,EMA輸出端位置變化曲線。從圖中看出,在到達正弦信號極值點時,PI控制方式誤差較大。

圖13 空載EMA輸出端位置變化曲線Fig.13 Position change curve of no-load EMA output

圖14是位置變化過程中,不同控制方式的實際輸出位置與理論輸出位置的誤差變化曲線。

圖14 空載EMA輸出端位置誤差變化曲線Fig.14 Change curve of position error of no-load EMA output

通過峰-峰值,均方根誤差作為評價指標,對比分析5種控制方式性能,確定摩擦前饋補償對位置控制精度的影響。均方根誤差表達式為

(19)

5種控制方式的均方根誤差和峰-峰值計算結果如表4所示。

表4 空載實驗結果Table 4 No-load test results

從圖14能夠得出空載時,ADRC控制方式的精度優于PI控制精度。表4中,加入摩擦前饋補償后,PI和ADRC這兩種控制方式的位置誤差均方根值和峰-峰值均有所改善。摩擦前饋-PI較PI的均方根誤差提高了約16,摩擦前饋的Fuzzy-ADRC較ADRC提高了約12。摩擦前饋Fuzzy-ADRC較PI的均方根誤差減小約180,峰-峰值減小約453。

5.2 負載實驗分析

負載實驗時向轉盤掛載2.5 kg配重塊,轉盤半徑為0.1 m,即向EMA施加2.5 N·m負載。圖15為負載時,不同控制方式的實際輸出位置與理論輸出位置的誤差變化曲線。

圖15 負載EMA輸出端位置誤差變化曲線Fig.15 Change curve of position error of load EMA output

負載時,5種控制方式的均方根誤差和峰-峰值計算結果如表5所示。

表5 負載實驗結果Table 5 Load test results

從圖15和表5中能夠得出負載時,ADRC控制方式的精度優于PI控制精度。加入摩擦前饋補償后,位置誤差的均方根值和峰-峰值均有所改善。摩擦前饋-PI控制方式的峰-峰值較PI控制方式的峰-峰值減少約13,摩擦前饋-Fuzzy-ADRC的峰-峰值較ADRC的峰-峰值減少約30。摩擦前饋Fuzzy-ADRC較PI的均方根誤差減小約180,峰-峰值減小約454。

圖16為位置跟蹤過程中NLSEF中修正系數Δβ0、Δβ1、Δβ2的變化情況。

圖16 β0、β1、β2 變化曲線Fig.16 β0,β1,β2 change curve

從圖16中能夠看出EMA過程中Fuzzy-ADRC中NLSEF參數在不斷的修正,Fuzzy-ADRC可以根據當前工況實時修正控制參數,實現自適應控制,提高系統的控制精度。

6 結 論

本文針對帶有諧波減速器的EMA存在的非線性摩擦影響位置控制精度的問題,進行了摩擦前饋補償以及Fuzzy-ADRC控制方法的研究。幾種控制方式中,PI控制方式具有結構簡單、參數物理意義明確、容易實現的優點,但存在超調,抗擾動能力弱的缺點。ADRC具有較強的抗擾動力和較快的跟蹤速度,但存在結構復雜,控制參數不易整定的問題。Fuzzy-ADRC可以根據實際工況實現ADRC中部分參數的自適應功能。研究了PMSM模型和諧波減速器模型,推導了摩擦力矩與iq的數學關系。使用卡爾曼濾波+小波去噪的方法對測試數據進行處理,獲取了不同轉速下可靠的iq值。設計了EMA速度/位置復合型的Fuzzy-ADRC控制器,給出了NLSEF中控制參數的模糊規則表。根據庫倫+粘滯+Stribeck模型描述力矩與iq關系,結合ESO輸出的變量,設計了摩擦前饋補償的Fuzzy-ADRC。最后在RT-Cube平臺,針對PI、摩擦前饋補償-PI、ADRC、摩擦前饋補償-ADRC、摩擦前饋補償-Fuzzy-ADRC 5種控制方式進行正弦位置跟蹤實驗。實驗結果表明,無論負載和空載狀況下,ADRC的控制精度優于PI的控制精度,加入摩擦前饋補償之后,PI和ADRC均可以有效地減弱非線性摩擦引起的位置誤差,這5種控制方式中摩擦前饋補償的Fuzzy-ADRC控制精度最優。加入摩擦補償環節,使用Fuzzy-ADRC對提高EMA位置伺服精度具有重要意義。