基于復系數滑模觀測器的永磁同步電機位置估計誤差抑制

胡勤豐, 張芮嘉

(南京航空航天大學 自動化學院,江蘇 南京 211106)

0 引 言

永磁同步電機(permanent magnet synchromous motor,PMSM)因具有效率高、功率密度大、結構簡單、易于維護等特點,被廣泛應用于工業控制、航空航天、交通運輸以及家用電器等領域[1-2]。眾所周知,轉子位置的精度直接影響PMSM矢量控制的性能,為了得到轉子的精確位置通常在電機轉子側同軸安裝位置傳感器。然而采用位置傳感器會帶來體積增大、成本增加、可靠性降低等問題,尤其限制了其在惡劣環境下的應用,因此無位置傳感器控制已成為近年來的研究熱點[3]。

目前PMSM的無位置傳感器控制方法可以根據適用轉速范圍分為兩類。第一類是基于電機凸極特性的高頻注入法,該方法適合零低速運行階段,主要包括旋轉高頻注入法[4]、脈振高頻注入法[5]、高頻方波注入法[6]等;第二類是基于反電動勢或磁鏈的模型法,該方法適合中高速運行階段,主要包括磁鏈估計法[7]、模型參考自適應算法[8-9]、滑模觀測器(sliding mode observer,SMO)法、擴展卡爾曼濾波器法[10]等。在中高速區,基于滑模觀測器的位置估計方法因具有結構簡單、易于實現、對電機參數魯棒性強的優勢,得到了廣泛的應用[11-12]。

基于滑模觀測器的位置估計誤差可分為諧波誤差和穩態誤差。其中諧波誤差一方面是由滑模觀測器變結構特性所引起的估計反電動勢抖振導致的[13],另一方面是由磁鏈空間諧波、逆變器非線性[14]、電流采樣誤差[15]等因素導致的。諧波誤差引起的矢量控制坐標變換不準確會導致dq軸電流脈動和轉矩脈動。為了改善滑模觀測器引起的抖振問題,通常采用sigmoid函數代替sign函數,文獻[16]分析了sigmoid函數的平滑特性,有效改善了滑模觀測器引起的抖振問題。在滑模觀測器趨近率方面,文獻[17]提出一種新型非線性趨近率并應用于永磁同步電機滑模速度控制,該趨近率可以動態地適應滑模面和系統狀態的變化,保持滑?？刂破鲃討B性能的同時有效抑制抖振。文獻[18-19]分別將超螺旋二階滑模和分數階滑模應用于永磁同步電機與感應電機的無位置傳感器控制系統中,可以有效削弱抖振,且不影響觀測器魯棒性。為了提高諧波抑制能力,文獻[20]提出了一種基于飽和函數的誤差電壓補償方法,減小了由逆變器非線性導致的位置估計誤差脈動。文獻[21]提出了一種帶自適應陷波濾波器的鎖相環,能夠有效抑制估計位置中的六次諧波誤差。文獻[22]將同步頻率提取濾波器引入位置估計,并結合鎖頻環實現頻率跟蹤自適應,有效濾除了噪聲與各次諧波。

如上所述,位置估計諧波誤差有了很大的改善,但對于位置估計穩態誤差的研究仍然不充分。位置估計穩態誤差會使系統偏離最大轉矩電流比狀態,降低系統帶載能力,因此對該穩態誤差進行抑制是十分必要的?；Ｓ^測器的位置估計穩態誤差一方面由電機參數偏差導致,另一方面由低通濾波器、采樣延時等非理想環節導致。電機參數偏差在低轉速大負載時對估計位置的影響較為突出,文獻[23]采用遞推最小二乘法進行參數辨識,將辨識出的參數應用于觀測器中,提高了位置估計的準確性。文獻[24]提出一種雙重鎖相環,對電流信號進行延遲重構,有效補償了上述非理想環節造成的位置誤差。文獻[25]提出一種自適應基準鎖相環,能夠同時補償電機參數偏差以及上述非理想環節導致的位置誤差,但動態性能有待提升。目前,sigmoid函數已經成為滑模觀測器中的常用開關函數。采用sigmoid函數能夠有效抑制估計反電動勢的抖振,雖然可以取消低通濾波器[16,26],卻仍然會引起估計反電動勢滯后的問題,進而產生額外的位置估計穩態誤差。文獻[27]對此展開了分析,提出了基于位置估計誤差表達式的直接補償方法,提高了位置估計精度。然而該方法僅是對估計反電動勢滯后引起的位置誤差進行直接補償,沒有從根本上解決反電動勢滯后的問題,并且計算周期較長。

針對上述問題,本文在分析采用sigmoid函數的傳統滑模觀測器位置估計誤差產生機理的基礎上,提出一種復系數滑模觀測器(complex coefficient sliding mode observer,CC-SMO)。利用兩相靜止坐標系的相位關系在傳統滑模觀測器中引入復系數電流誤差項,解決估計反電動勢相位滯后的缺陷,實現轉子位置的精確估計,提高無位置傳感器系統控制性能。最后基于一臺表貼式永磁同步電機進行實驗,驗證所提出算法的有效性。

1 傳統滑模觀測器原理

基于SMO和鎖相環(phase-locked loop,PLL)的PMSM無位置傳感器控制系統框圖如圖1所示。其中,SMO根據電壓和電流對反電動勢進行估計,PLL用來跟蹤轉子位置。

圖1 基于SMO的PMSM無位置傳感器控制系統框圖Fig.1 Diagram of PMSM sensorless control system based on SMO

1.1 表貼式永磁同步電機數學模型

表貼式PMSM在αβ參考坐標系下的數學模型為:

(1)

式中:uα、uβ、iα、iβ和eα、eβ分別表示αβ軸的電壓、電流和反電動勢;R和L是電機定子繞組的電阻和電感。反電動勢eα、eβ的表達式為:

(2)

式中:ψf、ωe和θe分別為永磁體磁鏈、電角速度和電角度。

1.2 基于傳統滑模觀測器的反電動勢觀測

傳統滑模觀測器方程為:

(3)

式中:符號^表示估計值;Ks為滑模增益。其結構框圖如圖2所示。

圖2 傳統SMO結構框圖Fig.2 Diagram of traditional SMO

將式(3)和式(1)做差得到電流誤差方程為:

(4)

根據式(4)可得PMSM在兩相靜止坐標系下的估計反電動勢:

(5)

2 估計反電動勢相位誤差分析

sigmoid函數的示意圖如圖3所示。a為sigmoid函數的斜率系數,δ為sigmoid函數的邊界層厚度。當|x|>δ時,sigmoid函數可以等效為sign函數;當|x|≤δ時,sigmoid函數近似于線性函數。因此,將sigmoid函數等效為一個分段函數[28]:

(6)

圖3 sigmoid函數示意圖Fig.3 Schematic diagram of sigmoid function

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據式(11)可知,傳統滑模觀測器的估計反電動勢存在幅值衰減和相位滯后。其相位滯后角Δθe為

(12)

在R=0.085 Ω,L=0.121 mH,Ks=49.88條件下,估計反電動勢相位滯后角Δθe隨轉速n和參數a的變化關系如圖4所示?？梢钥闯鲭姍C轉速越高、參數a越小,Δθe越大。一般來說,為了得到較為平滑的估計反電動勢波形,需要選擇一個較小的a值,然而較小的a值將導致較大的Δθe。過大的Δθe可能導致系統不穩定。

圖4 不同轉速與參數a下的反電動勢相位滯后角Fig.4 Back-EMF phase lag angle under different speed and parameter a

鎖相環根據估計反電動勢的相位關系跟隨轉子位置,估計反電動勢與實際反電動勢存在相位偏差,那么由此計算的轉子位置角度必然與實際轉子角度存在偏差。因此,保證反電動勢無相位差估計對永磁同步電機無位置傳感器控制非常重要。

3 復系數滑模觀測器設計與分析

3.1 復系數滑模觀測器設計

由式(11)可知,傳統滑模觀測器的估計反電動勢表達式中含有一個復數項jωeL。當采用sign函數時,滑模面附近的等效增益為+∞,即a等效為+∞,因此jωeL項造成的相位滯后趨近于0;而sigmoid函數在滑模面附近引入線性控制段,滑模面附近的等效增益a/2為一個有限常數,所以jωeL項將造成不可忽略的估計反電動勢相位滯后。因此,估計反電動勢表達式中的復數項jωeL是產生相位滯后的根本原因。

基于上述分析,本文在傳統滑模觀測器中引入估計電流誤差的復系數項,構造一種復系數滑模觀測器:

(13)

根據iα=jiβ,該復系數電流誤差項可以等效為一個電流誤差交叉耦合項。復系數滑模觀測器的結構框圖如圖5所示。

圖5 CC-SMO結構框圖Fig.5 Diagram of CC-SMO

將式(13)和式(1)做差得到電流的動態誤差:

(14)

穩態時,反電動勢估計值與式(5)相同。

3.2 復系數滑模觀測器的估計反電動勢分析

(15)

同理,構造狀態變量x2,使x2的平衡點為0,即

(16)

將式(15)代入式(16),其狀態方程可以改寫為

(17)

(18)

根據式(18),復系數滑模觀測器的估計反電動勢的表達式中不再包含復數項jωeL,sigmoid函數中的線性段將不再造成估計反電動勢相位滯后。

(19)

同理,狀態變量x3可構造為

(20)

式(18)可以寫為

(21)

此時,復系數滑模觀測器得到的估計反電動勢既無相位滯后也無幅值衰減,可以實現實際反電動勢的精確估計。

3.3 復系數滑模觀測器穩定條件分析

3.4 復系數滑模觀測器動態性能分析

滑模觀測器的動態性能影響電機在突加突卸負載、突加突減速時的轉速波動與穩定時間?；Ｓ^測器的動態性能體現在滑模量的趨近速度,其動態響應過程可以分為兩個階段:非線性段和線性段。

當滑模量在非線性段時,傳統滑模觀測器與復系數滑模觀測器的動態性能均由滑模增益Ks決定,Ks越大趨近速度越快,趨近時間越短,但觀測值抖振水平也相應增加。

當滑模量在線性段時,傳統滑模觀測器的狀態方程式(10)的解為

(22)

可見,此時動態性能與a相關,a越大,趨近速度越快。

同理,復系數滑模觀測器的狀態方程式(17)的解為

(23)

式(23)和式(22)的衰減項時間常數一致。因此,引入復系數項后并沒有影響觀測器的動態性能。

4 實驗驗證

為了驗證本文提出的復系數滑模觀測器的有效性,搭建了基于TMS320F28335的硬件實驗平臺,開關頻率為10 kHz,如圖6所示。實驗電機是一臺880 W/3 000 r·min-1的表貼式PMSM,其具體參數如表1所示。

表1 PMSM參數Table 1 PMSM parameters

為了驗證估計反電動勢與實際反電動勢的相位、幅值關系,給定電機額定轉速,在a值分別為0.09、0.04和0.01三種情況下進行實驗。實驗結果如圖7、圖8所示。

圖7 采用傳統SMO的反電動勢實驗結果Fig.7 Experimental results of back-EMF using traditional SMO

圖8 采用CC-SMO的反電動勢實驗結果Fig.8 Experimental results of back-EMF using CC-SMO

其中,圖7為采用傳統SMO的實際與估計反電動勢實驗結果,圖8為采用CC-SMO的實際與估計反電動勢實驗結果?？梢奱值越小估計反電動勢越平滑。采用傳統SMO時,估計反電動勢存在幅值衰減和相位滯后,且a值越小這一現象越明顯。而采用CC-SMO在任意a值下都能實現反電動勢的準確觀測。

為了驗證所提出的CC-SMO在不同a值和不同轉速下的位置估計誤差抑制效果,在空載工況下對傳統SMO和CC-SMO兩種算法進行實驗。實驗結果如圖9、圖10所示。

圖9 不同a下的空載實驗結果Fig.9 Experimental results under different a with no load condition

圖10 不同轉速下的空載實驗結果Fig.10 Experimental results under different speeds with no load condition

其中,圖9為額定轉速下a從0.09逐步減小到0.01的實驗結果,a每2 s減小0.02。圖10為a給定0.01,轉速從600 r/min逐步增加到3 000 r/min(額定轉速)的實驗結果,轉速每2 s斜坡增加600 r/min。由圖9(a)和圖10(a)可以看出,采用傳統SMO時估計位置存在穩態誤差,a越小、轉速越高,位置估計誤差越大。轉速為3 000 r/min 、a=0.01時位置估計誤差達到30.3°。該實驗結果與理論分析一致,驗證了對位置估計誤差進行抑制的必要性。由圖9(b)和圖10(b)可見,采用本文提出的CC-SMO算法后,在不同a值與不同轉速下估計位置誤差均保持在2°電角度以內。該實驗結果初步驗證了本文提出的CC-SMO算法的有效性。

為了驗證所提出的CC-SMO在帶載工況下的位置估計誤差抑制效果,在50%額定負載工況下對傳統SMO和CC-SMO兩種算法進行實驗。實驗結果如圖11、圖12所示。

圖11 不同a下的帶載實驗結果Fig.11 Experimental results under different a with load condition

圖12 不同轉速下的帶載實驗結果Fig.12 Experimental results at different speeds with load condition

同樣的,圖11為額定轉速下a從0.09逐步減小到0.01的實驗結果,a每2 s減小0.02。圖12為a給定0.01,轉速從600 r/min逐步增加到3 000 r/min(額定轉速)的實驗結果,轉速每2 s斜坡增加600 r/min?？梢?在帶載工況下采用傳統SMO時,隨著a值與轉速的變化,位置估計穩態誤差與空載工況具有相同的變化趨勢。在帶載工況下采用本文提出的CC-SMO時,仍然具有與空載工況相同的位置估計誤差抑制效果。由圖11(a)可知采用傳統SMO時,隨著a減小,位置估計誤差增大,相電流幅值也隨之增大,a給定0.01時,相電流達到18.4 A。由圖11(b)可知采用本文提出的CC-SMO時,在不同a值下位置估計誤差依然能夠得到有效抑制,相電流幅值基本沒有變化,為16.2 A?？梢奱給定0.01時,采用本文提出的CC-SMO后,相電流幅值減小了11.96%。該實驗結果進一步驗證了本文提出的CC-SMO算法在帶載情況下的有效性。

為了驗證所提出的CC-SMO的位置估計誤差收斂速度,在a分別為0.09、0.04和0.01三種情況下進行了算法切入實驗。CC-SMO算法切入瞬間的實驗結果如圖13所示。

圖13 CC-SMO的收斂速度Fig.13 Convergence speed of CC-SMO

由圖13可以看出,CC-SMO算法切入前估計位置存在不同程度的相位滯后,而切入CC-SMO算法后,位置估計誤差快速收斂至0°附近。a越小、位置估計誤差越大,位置估計誤差的收斂時間越長,a給定0.01時收斂時間為4.33 ms。該實驗結果驗證了本文提出的CC-SMO算法在不同a值下均具有良好的收斂速度。

為了驗證所提出的CC-SMO在動態工況下的有效性,分別在突變轉速與突變負載工況下進行實驗。實驗結果如圖14、圖15所示。

圖14 突加突減速動態過程的實驗結果Fig.14 Experimental results of dynamic process of sudden acceleration and sudden deceleration

圖15 突加突卸載動態過程的實驗結果Fig.15 Experimental results of dynamic process of sudden loading and sudden unloading

其中,圖14為轉速從600 r/min到3 000 r/min(額定轉速)再到600 r/min突加突減速動態過程的實驗結果。圖15給出了額定轉速下突加突卸100%額定負載的實驗結果?？梢钥闯鲈谕患油粶p速和突加突卸負載的動態工況下,估計轉速能夠準確跟蹤實際轉速,位置估計誤差快速收斂至0附近,進一步驗證了本文所提出算法在突加突減速與突加突卸負載的動態工況下均具有良好的性能。

為了分析所提出的CC-SMO對運算時間的影響,分別對傳統SMO、本文提出的CC-SMO誤差抑制方案和根據式(12)的直接補償方案進行實驗測試。由于直接補償方案涉及反正切運算與除法運算,需要較長的計算周期,而本文提出的CC-SMO僅通過加法與乘法實現。CC-SMO的運算時間與傳統SMO相比增加了0.1 μs,而直接補償方案的運算時間與傳統SMO相比增加了1.75 μs,采用CC-SMO與直接補償方案相比運算時間減少了12.17%。

綜上所述,本文進行了較為全面的實驗對比,有效驗證了對位置估計誤差進行抑制的必要性以及本文提出的CC-SMO在不同工況下的有效性。

5 結 論

本文分析了采用sigmoid函數的傳統滑模觀測器的估計反電動勢相位滯后原因,在此基礎上構造了一種復系數滑模觀測器。通過引入復系數電流誤差項,抑制了位置估計誤差。根據理論分析和實驗結果得出以下結論:

1)傳統滑模觀測器的相位滯后由估計反電動勢表達式中的復數項導致,轉速越高、a越小,估計反電動勢的相位滯后角越大;

2)復系數滑模觀測器能夠消除估計反電動勢的相位滯后,在不同轉速和a值的情況下將位置估計誤差抑制到2°電角度以內,提高了轉子位置的估計精度,算法收斂時間在5 ms以內,并且沒有影響觀測器的穩定條件與動態性能;

3)復系數滑模觀測器沒有引入額外參數、結構簡單,與直接補償方法相比運算時間減少了12.17%。