基于擾動預測的網聯車魯棒協同巡航預測控制

何德峰,馮陽輝,穆建彬

(浙江工業大學 信息工程學院,浙江 杭州 310023)

協同自適應巡航(Cooperative adaptive cruise control,CACC)的主要功能是基于V2V(Vehicle-to-vehicle)車載通信技術,保證多輛車以相同速度在同一車道上保持近距離行駛,其對于提高交通效率和駕駛安全性有著重要意義[1-3]。相較于自適應巡航控制(Adaptive cruise control,ACC),CACC不僅可以通過傳感器獲取前車速度和位置信息,還可以通過V2V通信獲取更多附加信息,如前車當前的加速度信息。有效利用這些信息可以很好地提高車輛隊列的整體性能。在網聯車協同控制中,如何有效利用V2V的附加信息提高控制性能已經受到了學者們的廣泛關注[4-10]。模型預測控制(Model predictive control,MPC)作為一種先進的控制技術已被廣泛應用于智能網聯車控制中,與傳統控制算法相比,它能夠處理飽和約束和多目標控制問題。然而傳統的MPC對模型較為依賴,當出現模型外的擾動時,控制器可能違反約束,無法保證原本的控制性能[11-12]。為了解決這一問題,提出了可以顯式處理擾動影響的魯棒MPC算法。目前魯棒MPC主要分為min-max MPC和tube MPC。前者考慮擾動作用下性能指標最差的情況來求解優化變量[13]。然而考慮到該算法在線求解的優化問題較為復雜,在實際應用中實時性可能無法得到保證。而tube MPC在線計算時,無須顯式處理擾動的影響。tube MPC在離線階段已經計算好擾動的魯棒不變集,之后通過擾動的魯棒不變集對名義系統的約束進行緊縮處理,以確保實際系統在擾動下仍滿足約束[14-15]。在車輛控制過程中擾動是不可避免的,因此針對使用魯棒MPC處理擾動已經有了諸多研究成果,Lin等[16]針對ACC系統前車未來速度未知的情況,首先通過常數預測的方法得到前車的速度預測值,然后根據已知的物理約束條件,通過離線計算得到一個更緊湊的擾動不變集,達到降低保守性的目的。Luo等[17]通過設計比例多重積分觀測器來估計擾動,采用前饋和干擾補償的方式組成綜合控制律來控制PLF(Predecessor-leader-follower)通信拓撲下的車隊,保證車輛在擾動下達到控制目標。

針對魯棒MPC在處理擾動下的車輛隊列控制方面雖然已經有了諸多研究,但是當車輛通信傳遞的信息有限時,如車輛只能獲取前車的當前加速度信息,現有方法處理系統不確定性帶來的擾動均有一定的局限性,如tube MPC具有較高的保守性,min-max MPC的計算復雜度較高、實時性難以保證。因此在通信資源和計算資源有限的情況下,如何保證車輛隊列控制在不確定工況下的實時性和穩定性仍具有進一步研究的意義。因此筆者針對前車未來加速度信息不確定的工況,基于管(tube)的概念,設計了一種tube MPC算法來處理車輛隊列的巡航控制問題[12]?？刂破髦饕蔂顟B反饋、前饋補償和tube MPC組成。筆者在Lan等[13]的研究基礎上用tube MPC代替了min-max MPC,在不影響控制性能的前提下,縮短了優化問題的在線計算時間。此外,還根據滾動預測擾動范圍得到了更緊湊的擾動多面體,進而降低了保守性,提升了控制性能。筆者首先介紹了車輛隊列的縱向運動學模型以及控制目標;然后介紹了算法設計并分析了遞推可行性和穩定性;最后通過仿真驗證了算法的有效性。

1 問題描述

由于筆者研究的車輛隊列中車輛都行駛在同一車道,因此沒有轉向操作。假設車隊的橫向控制是穩定的,只需考慮縱向運動學。假設車隊由M輛車組成,車隊的領航車輛編號為0,其他的跟隨車輛編號依次為1到M-1。車隊采用PF(Predecessor-follower)通信拓撲,即每輛車可以通過V2V接收到前車的當前加速度信息,并將自車加速度信息發送給后車,前車的未來加速度對于后車是未知的。

1.1 車輛縱向運動學

車輛i的縱向運動學模型可以表示為

(1)

式中:pi(t),vi(t)分別為車輛i在t時刻的縱向位置和速度;ai(t)為車輛i在t時刻的加速度。車輛i可以通過車載傳感器獲得前車i-1的相對速度ev,i(t)和相對位置ep,i(t),其中ev,i(t)=vi-1(t)-vi(t),ep,i(t)=pi-1(t)-pi(t)。為了便于控制器設計,將原來的二階模型式(1)改寫為誤差模型,即

(2)

式中:Δpi(t)=ep,i(t)-ds;Δvi(t)=ev,i(t)。?i∈Z[1,M-1],ds代表車輛間的安全間距。為了便于之后的算法設計,選擇采樣時間為T,得到對應的離散模型,即

xi(k+1)=Axi(k)+Bui(k)+Ddi(k)

(3)

預測模型在k時刻對k+j時刻的預測表示為

(4)

(5)

因為前車加速度的變化是有界的,所以wi(j|k)是有界的,即

wi(j|k)∈[wmin,wmax],Δwi(j|k)∈[Δwmin,Δwmax]

(6)

式中:wmin,wmax表示擾動的極限值;Δwmin,Δwmax表示擾動變化率的極限值。因為無法直接對wi(j|k)進行建模,所以采用tube MPC對名義模型進行控制,使名義狀態可以收斂,并將實際狀態控制在以名義軌跡為中心的“tube”內。不考慮擾動wi(j|k)的影響,式(3)的車輛名義模型為

(7)

1.2 車輛隊列控制目標

為了實現車輛隊列穩定跟蹤,需要滿足以下控制目標:

1) 當車隊穩定之后,所有跟隨車輛可以跟蹤領航車的速度軌跡,并且車輛之間可以保持一個固定的安全間距ds,即

(8)

2) 所有車輛的速度和加速度都滿足物理約束,即

(9)

式中:vmin,vmax分別表示速度上、下界;amin,amax分別表示加速度上、下界。

3) 車隊所有車輛的軌跡偏差ei(k)=[ep,i(k)-di,s,ev,i(k)]T需要滿足以下約束,即

(10)

式中:ep,min,ev,min均小于0;ep,max,ev,max均大于0。

4) 車輛隊列滿足ISPF(Input-to-state-leader-predecessor)弦穩定[13],即存在一個KL函數σ1,一個K∞函數σ2和正數c1和c2,使車輛軌跡誤差ei(t)滿足

(11)

2 控制器設計

為實現第1節中的控制目標,筆者設計了一種由tube MPC、反饋控制和前饋補償組成的綜合控制策略,總體控制框架如圖1所示。車輛i的控制律表示為

(12)

圖1 控制器設計框架Fig.1 Framework of controller design

2.1 線性控制部分設計

(13)

控制律式(12)要求系統是穩定的,并且滿足l2增益屬性,即

(14)

(15)

式中

(16)

式中P為半正定矩陣。對于上述Riccati方程可以通過遞歸的方式來求解P[16]。當P確定后,對應的最優控制增益可以表示為

(17)

2.2 擾動范圍預測

從預測模型式(4)中可以看出預測模型需要使用前車的加速度信息。由于前車的未來加速度無法直接獲取,因此需要通過前車歷史加速度信息di(k)對前車未來加速度進行預測,以此得到前車的未來加速度預測序列,即

(18)

W(j|k)={w|wmin(j|k)≤w≤wmax(j|k)}
?j=0,1,…,N-1

(19)

式中

wmin(k+i|k)=min(max(0,w(k)+iΔwmax),wmax)
wmax(k+i|k)=max(min(0,w(k)+iΔwmin),wmin)

(20)

與式(6)相比,式(19)具有更緊湊的擾動范圍。相較于k時刻,擾動wi(1|k)在k+1時刻是可獲得的。因此不同時間擾動多面體的關系可以表示為

W(j|k+1)?W(j+1|k) ?j=0,1,…,N-1

(21)

2.3 tube MPC設計

控制律式(13)可以保證控制目標式(8)和式(11)的實現,然而不能保證控制目標式(9,10)。因此接下來需要設計tube MPC控制器使系統式(4)滿足物理約束和安全約束?？刂颇繕耸?9,10)要求系統式(3)滿足

xi(k)∈X,ui(k)∈U,wi(j|k)∈W(j|k)

(22)

名義模型和實際模型的失配可以表示為

(23)

式中AK=A+BKx。擾動所在的集合可以表示為

(24)

式中⊕表示Minkowski集合相加。當R(j|k)確定后,名義模型的輸入約束和狀態約束可以表示為

(25)

(26)

為了實現1.2節中的式(9,10),將優化問題的目標函數設計為

(27)

Vi(k)=[vi(0|k),vi(1|k),…,vi(N-1|k)]

(28)

為了使實際系統狀態軌跡保持在名義軌跡為中心的管上,將tube MPC的優化問題設計為

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

約束式(32)分別是名義模型的狀態約束和輸入約束,為了使綜合控制律式(9)滿足目標式(6,7)。約束式(33)為終端約束,其作用是保證系統最終收斂到終端約束范圍內。

算法1車輛i的分布式tube MPC設計

當k≥0時,循環:

1) 車輛i通過雷達獲得和前車i-1的相對速度ev,i(k)和相對位置ep,i(k),將傳感器得到的當前狀態作為名義模型的初始狀態。

6)k=k+1,返回步驟1)。

3 性能分析

3.1 遞推可行性

引理1如果優化問題式(29～34)在k-1時刻是有解的,那么系統對應的狀態和控制輸入滿足控制目標。

證明令k-1時刻優化問題式(29～34)的解為

(35)

名義系統式(7)對應的預測控制輸入序列為

(36)

(37)

(38)

因此,對優化問題式(29～34)的求解可以保證實際的系統式(3)滿足狀態約束和輸入約束。證畢。

引理2如果優化問題式(29～34)在k-1時刻有解,那么在k時刻也一定有解。

證明將k-1時刻的最優控制序列作用于k時刻,控制輸入預測序列表示為

(39)

(40)

進一步推導得到

(41)

(42)

(43)

由于在k-1處的最優解考慮了在預測時域上的擾動影響,因此在k處的名義狀態滿足以下關系[18],即

(44)

定理1假設優化問題式(29～34)在初始時刻k=0有解,那么優化問題式(29～34)是遞推可行的。

證明根據引理1可知優化問題式(29～34)的解可以使原系統滿足約束。由引理2可知如果優化問題式(29～34)在k-1時刻有解,那么在k時刻也一定有解。綜上所述,若系統在初始時刻有解,則優化問題式(29～34)是遞推可行的。證畢。

3.2 穩定性

(45)

(46)

(47)

式中j=0,1,…,N-1。進一步推導可得

(48)

(49)

假設1加權矩陣Q和R的選取滿足

(50)

定理2若假設1成立,則系統式(3)在式(29～34)作用下是輸入到狀態穩定(Input to state stability,ISS)的。

(51)

(52)

將式(45～47)帶入式(52)可得

(53)

(54)

若假設1成立,則

(55)

將式(55)帶入式(53)可得

(56)

因為擾動wi是有界的,所以存在一個常數λ滿足

(57)

因此

(58)

根據范數乘法性質和幾何序列求和公式可得

(59)

選取標量常數ξ1和ξ2,使其滿足

(60)

因此可以得到

(61)

4 數值仿真

在Matlab上考慮了由1輛領航車和4輛跟隨車組成的車輛隊列。車隊保持PF通信拓撲,每輛車可以通過V2V通信,接收到前車的加速度信息并把本車的加速度信息發送給后車。車輛的具體參數如表1所示。

表1 仿真參數

傳統的tube MPC和Pre tube MPC通過離線計算得到名義系統的終端不變集,結果如圖2所示。由圖2可知:通過滾動預測擾動范圍,擾動魯棒不變集的范圍變小了,與此同時得到了更寬松的終端不變集。很明顯Pre tube MPC在傳統tube MPC的基礎上降低了保守性。

圖2 終端不變集對比Fig.2 Comparison of terminal invariant set

為了分析Pre tube MPC在車輛隊列加減速工況下的有效性,跟隨車輛的初始狀態為xi(0)=[0.2,-0.1]T,i=1,2,…,5。領航車有一個加減速過程,速度軌跡如圖3所示。

圖3 領航車速度軌跡Fig.3 The pilot vehicle speed trajectory

上述3種算法在一個5輛車隊列中的速度誤差比較如圖4所示。由圖4可知:從初始誤差的收斂性可以看出,tube MPC的收斂速度比min-max MPC的收斂速度快,當速度變化時,Pre tube MPC的收斂速度最小,這可以在緊急情況下減少不必要的加減速。3種算法的位置誤差如圖5所示。從圖5中的局部放大圖可以看出:3種算法都是ISPF穩定的,即前車的干擾誤差不會沿著車輛隊列的方向將擾動傳播給后車。在車輛減速的過程中,與傳統的tube MPC相比,Pre tube MPC位置誤差變化范圍較小,并且可以在短時間內快速收斂到0,min-max MPC位置誤差變化幅度較小,然而最后會存在一個較小的恒定誤差。Pre tube MPC可以將車間距離誤差控制在更小的誤差范圍內,因此車輛間可以保持更小的車間距,這樣在長度有限的車隊中可以容納更多的車輛。

圖4 速度誤差對比Fig.4 Speed error comparison

圖5 位置誤差對比Fig.5 Spacing error comparison

由圖4,5可知:Pre tube MP和min-max MPC的控制效果相差不大,兩者的線性控制部分的控制增益是一樣的,兩者區別主要在于對擾動的處理不同,min-max MPC將前車加速度視為擾動,因此擾動的范圍是加速度的范圍,擾動范圍較大。而Pre tube MP對前車加速度進行了預測,將預測值和真實值的偏差視為擾動,相對來說擾動的范圍比直接把前車加速度視為擾動的范圍更小。

3種算法的控制輸入比較如圖6所示。傳統tube MPC的控制輸入大約在7.5 s時超過加速度約束范圍,而Pre tube MPC仍然滿足控制約束。這表明Pre tube MPC的保守性較低,在處理擾動方面更具有優勢。3種算法的平均每步計算時間如表2所示。由表2可知Pre tube MPC的平均每步計算時間介于其他兩種算法之間。相較于min-max MPC,Pre tube MP能夠保證車輛在加性擾動作用下可以快速收斂到平衡點,同時具有更快的計算速度。

表2 計算時間對比

圖6 控制輸入對比Fig.6 Control input comparison

為了進一步分析Pre tube MPC在未建模擾動下的魯棒性能,在一個所有車輛在同一車道上都以15 m/s勻速行駛的工況中引入一個正弦衰減擾動,仿真結果如圖7所示。由圖7可知:Pre tube MPC雖然在擾動衰減方面略低于min-max MPC,但其總體具有更好的性能。與傳統的tube MPC相比,筆者所提Pre tube MPC在加性擾動下具有較好的弦穩定性。Pre tube MPC通過滾動預測擾動范圍放寬了原名義系統約束的范圍,從而提高了魯棒性。

圖7 外部輸入擾動下的位置誤差對比Fig.7 Spacing error comparison under external input disturbance

5 結 論

筆者提出了一種基于PF通信拓撲的Pre tube MPC算法,該算法可以處理前車在未來加速度不確定情況下帶來的加性擾動并實現ISPF弦穩定。Pre tube MPC只需車輛通過PF通信拓撲來傳輸當前加速度信息,因此在一定程度上降低了通信負擔。對應設計的算法通過滾動預測擾動范圍降低前車未來加速度不確定的影響,相較于現有的tube MPC,Pre tube MPC有效降低了保守性,提升了控制性能。通過5輛車的仿真驗證了算法的性能和實時性。此外,V2V中的通信延遲往往是不可避免的,燃油經濟性也是一個重要的性能指標,在未來的工作中將考慮通信延遲和經濟MPC。