教學,多一些貼合
——以“基本不等式證明”教學為例

潘龍生

江蘇省鹽城市第一中學 (224005)

教之道在于度,對于這個度,筆者給出了這樣一種詮釋:貼合就是度.教學,就是要多一些貼合,即貼合教材意圖,貼合學生實際,貼合教學發展.近期,筆者作為評委參與了某市高中數學優質課評選活動,課題是《基本不等式的證明》(蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修5第三章《不等式》的第4講第一課時),最后應邀就本課題上了一節示范課,現將這節課的教學過程實錄如下,并就這三層貼合談一些感受和體會,期與同仁們探討.

1 創設情境 提出問題

師:我這有一張A4紙,大家知道A4紙(矩形)的長、寬分別是多少嗎?我來告訴大家,長29.7厘米,寬21厘米.

現在我們就從這張A4紙開始本節課的學習.

師:矩形變正方形.

正方形1:面積相等;正方形2:周長相等.

思考:兩個正方形的邊長誰大?

這就是本節課我們一起要探究解決的問題——《基本不等式的證明》.

2 引導探究 解決問題

生2:作差比較:(展臺投影)

證法1：

師:很好,比較兩個量的大小,我們可以轉化為比較兩個量的差與0的大小(板書:①比較法).

師:再看下一位同學的證明:

證法2：

4ab≤a2+2ab+b2,

0≤(a-b)2

師:誰來點評下這種證法.

生4:這種證法不對,把證明的結論當條件用了.

師:從這位同學的證明過程中可以感受到解題的思路,這么修改一下就對了.

只要證4ab≤a2+2ab+b2,

只要證0≤(a-b)2

師:這個證法叫做分析法,最明顯的特點是從結論出發,推出一個已有的結論,用四個字概括為“執果索因”.(板書:②分析法)

師:如果不想采用分析法這樣的證明格式,也可以根據分析法的思路,從不等式成立需要的條件逐步推導到要證明的結果,這種方法叫做綜合法,也可以用四個字概括為“由因導果”.(板書:③綜合法)

對于正數a,b,有(事先手寫好,直接投影):

0≤(a-b)2,

3 探幽入微 加深理解

下面再來欣賞一下這個發現,請問其成立的前提條件是什么?

生5:a>0,b>0.

師:能不能將這個條件擴大到更大的范圍?

生5:如果a,b中有一個或者兩個都為0,也是可以的,但不能是負數,可以推廣到a≥0,b≥0.

師:很好,基本不等式描述了兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數,還可以用其它方式描述嗎?(學生思考,畫外提示音)

(此處停頓1～2分鐘,巡視學生思考情況,機動處理)

圖1

師:很好,這就是基本不等式的幾何解釋.

師:圖形構造簡潔直觀,堪稱基本不等式美妙的無字證明.有人說,圖形是一種語言,在這里,它是一首無字的詩.下面我們再來欣賞一首詩.

(觀看微視頻:《基本不等式幾何證明賞析》)

師:趙爽弦圖中所蘊含的不等關系a2+b2≥2ab,何時取等號?成立的條件又是什么?

生7:a=b時取“=”,不等式成立的條件為a>0,b>0.

師:能進行推廣嗎?

生7續答:可以推廣到a,b為一切實數,因為(a-b)2≥0恒成立.

師:得到的這些不等式為基本不等式的變式.a2+b2≥2ab和基本不等式或其變式之間有關聯嗎?

師:這可以證明不等式a2+b2≥2ab,大家再從結構上觀察它們之間的相通之處.

師:正確,a2+b2≥2ab也是基本不等式的一種變式,至于其它的變式,留給同學們課后去探究.

4 學以致用 鞏固成果

例設a,b為正數,證明下列不等式成立:

(巡視學生證明情況,尋找典型案例,案例一學生采用比較法證明,案例二學生采用剛剛學習的基本不等式證明,請學生點評)

生12:這兩種證明方法都可以,但既然我們已經學習了基本不等式,直接使用其結論進行證明更簡潔.

師總結:對于滿足基本不等式結構特征的式子可以直接使用基本不等式來證明.

(學生自主訓練,合作批改討論,教師總結點評)

師:利用基本不等式進行證明時,當問題不滿足定值條件或同正條件時,可以通過構造來實現.

5 課堂小結 盤點收獲

數學知識:①成立條件a≥0,b≥0;②描述方式:幾何平均數不小于算術平均數;半弦不大于半徑.③應用類型:證明不等式.

數學方法:①歸納猜想;②數形結合;③特殊一般.

6 教學 多一些貼合

6.1 貼合教材意圖,定位合理教學內容

教學不能唯教材論是目前一致的共識,不唯教材指的是教學不能按部就班、一成不變地套用教材,而應該對教材的內容進行適當整合,調整最佳教學順序,但無論怎么調整,合理定位教學內容,貼合教材意圖這是基本要求.從對課標和教材的理解上,《基本不等式的證明》應該包含兩層教學含義,即基本不等式本身的被證明和運用基本不等式證明其他不等式.審視參評的教學設計,不少教師淡化了這兩類證明,而基本不等式的應用,如求函數的最值或實際問題中的應用,則占了課堂教學的很大篇幅,這明顯偏離了教學重心,越過了本課合理的教學范圍.對于這個問題,筆者在教學前與蘇教版教材的主要編寫者作了交流,得到了肯定,在教學中作了較為準確的定位,同時也得到了與會教師的一致認可.

6.2 貼合學生實際,創設合適問題情境

創設合適的問題情境可以激發學生的學習興趣和動機,從而調動學生的學習積極性和主動性,但情境的創設要貼合學生實際,如果為了“情境”而憑空創設一些脫離學生認知實際的情境,則不能引起學生共鳴與互動.針對參賽選手的各種情境設計,筆者做了如下思考:按教材以物理中的天平稱重引入兩個均值再去比較大小,天平在生活中運用很少,只是在物理實驗中使用,學生難以產生一致共鳴,且模型不是太簡單,僅為了引出這兩個均值,稍顯不“經濟”;以24屆國際數學家大會會標引入,也就是借助趙爽弦圖得到基本不等式的一個變式,高一學生對圖形的閱讀分析能力還有欠缺,作為引入,應該簡潔,直白些;以基本不等式的幾何意義引入,圖形中由半弦和半徑的不等關系直接得到均值不等式,但是后繼的探究、歸納猜想就不能展開,不便于在數學教學中培養學生分析解決問題的能力.基于這些思考,筆者以學生熟悉的A4紙為背景設計了一個簡單的數學問題,引出算術平均數和幾何平均數的定義,由于貼合學生的實際認知,這個設計也激發了學生對兩個平均數不等關系的思考,從而順利地引出本節課的課題.

6.3 貼合教學發展,調整合時呈現方式