基于SRCKF 算法的多自由度非線性系統動載荷識別方法

龔璟淳，陳清華，厲硯磊，王開云

（西南交通大學軌道交通運載系統全國重點實驗室,四川 成都 610031）

準確快速地識別機械系統的動載荷對系統的振動響應測量、結構參數優化、疲勞壽命預測等具有重要意義。對于軌道車輛、飛行器等復雜非線性系統，直接測量輪軌作用力、飛行器外載荷等十分困難。因此，研究識別精度高、響應速度快的動載荷的間接識別方法具有重要的工程實用性。

動載荷識別方法主要分為時域識別法和頻域識別法。頻域識別法經過多年發展已較為成熟，其識別精度高但對噪聲敏感，只適用于穩態動載荷和平穩隨機載荷[1]。時域識別法起步較晚，其基本原理是將系統運動方程進行模態坐標變換，將動力方程解耦，再根據卷積后的激勵與系統響應的關系識別出動載荷。武江凱等[2]以二次多項式為基函數，基于Duhamel 積分推導建立了一種針對單自由度振動系統的動態載荷識別方法。樊懿葳等[3]在此基礎上通過模態坐標變換法，將多自由度振動系統運動方程解耦，建立了一種以系統加速度為輸入的多自由度振動系統動載荷時域識別方法。以上研究均針對線性系統，難以解決非線性系統的載荷識別問題。

卡爾曼濾波是一種結合模型先驗估計和測量更新的狀態估計算法[4-6]。馬也馳等[7]基于卡爾曼濾波方法和最小方差估計方法，分別建立了以系統位移和加速度為輸入參數的激振力時域識別方法。Impraimakis 等[8]設計了一個新型無跡卡爾曼濾波器，實現了非線性系統所有動態狀態參數和輸入參數的實時聯合識別。LIU 等[9]基于擴展卡爾曼濾波方法，引入主成分分析（PCA）方法變換多維區間模型，建立了一種用于線性系統動載荷識別的動態力重構方法。許多研究[10-12]表明，卡爾曼濾波在載荷識別方面具有很強的實用性。

平方根容積卡爾曼濾波（SRCKF）[13]是一種基于三階球面徑向容積準則和平方根濾波的改進卡爾曼濾波算法。穆靜等[14]應用SRCKF 算法對未知彈道系數的再入彈道目標實現了快速精確的狀態估計。肖仁鑫等[15]基于SRCKF 算法結合遺忘因子，對電池荷電狀態進行在線辨識。以上研究表明，在非線性過程問題中，平方根容積卡爾曼濾波算法有較好的估計效果。

針對鐵道車輛車鉤等存在非線性剛度阻尼的單一維度、多自由度系統的外部動載荷，本文提出了一種基于SRCKF 算法的多自由度非線性系統動載荷識別方法，通過建立包含動載荷的系統狀態非線性遞推函數，結合平方根容積卡爾曼濾波算法和系統各部件振動加速度響應來更新估計動載荷。為驗證算法可行性，本文以二自由度非線性彈簧阻尼振子系統為例分析了該算法對隨機激勵和組合諧波激勵的識別效果。

1 非線性系統建模與識別算法

1.1 二自由度非線性彈簧阻尼模型

以具有剛度非線性和阻尼非線性的彈簧振子串聯振動系統為研究對象，如圖1 所示，系統的振動方程為

式中：M為系統質量矩陣；C為系統阻尼矩陣；K為系統剛度矩陣；X、和分別為系統的位移、速度和加速度向量；F為系統動載荷。

在剛度非線性系統中，k1具有非線性特性，如圖2 所示，彈簧力計算公式為

圖2 非線性剛度特性示意圖Fig.2 Diagram of nonlinear stiffness characteristics

式中：k1i（i=1～3）為剛度系數；b為相對位移；δi（i=1～2）為間斷點對應位移值；sign()表示對取變量的正負號。

在阻尼非線性系統中，c1具有非線性特性，如圖3 所示，阻尼力計算公式為

圖3 非線性阻尼特性示意圖Fig.3 Diagram of nonlinear damping characteristics

式中：c1i（i=1～3）為阻尼系數；為相對速度；εi（i=1～2）為間斷點對應速度值。

1.2 SRCKF 算法識別原理

對于上述二自由度系統模型，其狀態變量為

式中：z1、z2分別為質量塊m1、m2的垂向位移；、分別為質量塊m1、m2的垂向速度。

將振動系統所受動載荷看作系統內在狀態，將狀態變量擴充為

此時振動系統的狀態空間方程為：

對于系統的位移、速度和加速度響應，在實際工程應用中，加速度響應相比位移和速度響應更易測量，因此，選擇系統中各部件振動加速度作為系統觀測量，為

實際上傳感器測量的數據為離散采樣，因此，將系統狀態方程離散化。根據固定積分步長采用四階龍格庫塔法對遞推式進行時域積分迭代更新。

式中：xk∈Rnx為系統狀態變量；zk為觀測量。過程噪聲wk-1和量測噪聲vk為相互獨立的高斯分布，即wk-1～N(0,Qk-1)，vk-1～N(0,Rk-1)。

結合以上公式，采用平方根容積卡爾曼濾波算法對系統動載荷的識別流程如圖4 所示。核心步驟是根據識別的第k-1 步的狀態變量xk-1遞推出第k步的狀態變量xk識別值。首先對狀態變量x0和誤差協方差矩陣P0進行初始化，給定過程噪聲矩陣Q和測量噪聲矩陣R的初始值。然后進行時間更新，通過xk-1計算容積點Xj,k-1，將容積點代入非線性狀態方程計算傳播后的容積點，再計算k時刻狀態量預測值和誤差協方差矩陣的平方根，為：

圖4 SRCKF 算法流程圖Fig.4 Algorithm flow chart of SRCKF

式中：Sk-1為Pk喬列斯基分解后得到的上三角矩陣；ξj（j=1～m）為容積點集；Tria()表示對矩陣進行三角化，獲得矩陣的方陣；為中心加權矩陣，為

接著進行測量更新，根據k時刻狀態量預測值和誤差協方差矩陣的平方根計算容積點Xj,k，將Xj,k代入測量方程進行傳播，得到傳播后的容積點Zj,k，再計算k時刻的測量量預測值、測量誤差協方差矩陣的平方根和誤差協方差矩陣Pk，為：

式中SR,k為Rk的平方根。γk、χk定義為：

最后，計算卡爾曼增益Wk、狀態量估計值xk和誤差協方差矩陣平方根估計值Sk，完成一次狀態更新。

通過連續的狀態更新過程，就能實現振動系統動載荷的實時識別。

2 算法驗證

以圖1 所示的二自由度非線性振動系統為例進行驗證。系統的各部件質量為m1=4 kg，m2=8 kg，剛度非線性系統參數如表1 所示，阻尼非線性系統參數如表2 所示。

表1 剛度非線性系統參數Tab.1 Stiffness parameters of nonlinear system

表2 阻尼非線性系統參數Tab.2 Damping parameters of nonlinear system

采用相關系數和均方根誤差值對識別結果進行判斷。相關系數能描述識別結果的變化趨勢，均方根誤差值側重于衡量真實值與識別值之間的差異。均方根誤差計算公式為

式中：y為真實值；為預測值；m為觀測次數。

2.1 隨機激勵識別

圖5 為隨機激勵作用下剛度非線性系統動載荷識別的時域圖、頻域圖和均方根誤差圖?？梢钥闯?，系統動載荷的識別曲線和仿真輸入曲線十分接近，識別曲線和動載荷曲線的相關系數達0.997。由圖5（b）可知，在動載荷高于0.8 Hz 頻段時識別結果十分準確，低于0.8 Hz 頻段識別結果存在較小誤差。由圖5（c）可知，在識別過程開始時，均方根誤差達到最大值17.553 N，隨后快速減小并穩定在2.052 N 以下。

圖5 剛度非線性系統隨機激勵識別結果圖Fig.5 Results of random excitation identification for nonlinear stiffness systems

圖6 為隨機激勵作用下阻尼非線性系統動載荷識別的時域圖、頻域圖和均方根誤差圖。從圖6（a）可以看出，識別曲線和真實曲線大致重合，相關系數達0.999。圖6（b）的頻域結果表明，在各個頻段識別效果都很好。圖6（c）顯示均方根誤差在識別過程開始時出現最大值1.258 N，隨后急劇減小并穩定在0.033 N 以下。

圖6 阻尼非線性系統隨機激勵識別結果圖Fig.6 Results of random excitation identification for nonlinear damping systems

2.2 組合諧波激勵載荷識別

圖7 為對剛度非線性系統施加頻率為1、2、3、5 和7 Hz 的組合諧波激勵時的動載荷識別結果。圖7（a）的動載荷時域識別圖表明，識別曲線和動載荷曲線變化趨勢一致，相關系數為0.997。圖7（b）的頻域動載荷曲線和識別曲線的對比可知，在頻率大于0.8 Hz 時識別效果較好，在小于0.8 Hz 時，隨著頻率的減小，識別誤差逐漸增大。由圖7（c）的系統動載荷曲線和識別曲線的均方根誤差可知，識別過程中均方根誤差存在一定波動，最大值為0.866 N，均方根誤差整體處于較低的水平。

圖7 剛度非線性組合諧波激勵識別結果圖Fig.7 Results of harmonic excitation identification for nonlinear stiffness systems

圖8 為對阻尼非線性系統施加頻率為1、2、3、5 和7 Hz 的組合諧波激勵時的動載荷識別結果。圖8（a）表明，識別曲線和真實曲線基本重合，二者的相關系數達0.999。由圖8（b）可以看出，在頻率大于0.8 Hz 時識別曲線和動載荷曲線基本重合，在頻率小于0.8 Hz 時識別幅值偏大。從圖8（c）可以看出，識別值與真實值的均方根誤差隨識別過程不斷變化，其最大值為0.234 N，整體收斂在一個較低的水平。

圖8 阻尼非線性系統組合諧波激勵識別結果圖Fig.8 Results of harmonic excitation identification for nonlinear damping systems

3 結論

本文基于SRCKF 算法提出了一種多自由度非線性振動系統動載荷的識別方法，并通過二自由度的剛度非線性和阻尼非線性的彈簧阻尼振子系統對算法進行了驗證。

1）在剛度非線性系統上施加隨機激勵和組合諧波激勵時，識別曲線與輸入載荷曲線相關系數均達0.997。在阻尼非線性系統上施加隨機激勵和組合諧波激勵時，識別曲線與輸入載荷曲線相關系數均達0.999。

2）在頻率大于0.8 Hz 的頻段，識別結果與輸入載荷基本吻合。在小于0.8 Hz 的低頻段，識別結果存在一定誤差。

3）對于隨機激勵，識別結果的均方根誤差的最大值出現在識別初始時，隨著識別過程的進行，識別的誤差逐步收斂至較低的水平；對于組合諧波激勵，識別結果的均方根誤差存在小幅波動，整體處于較低水平。