Klein-Gordon-Schr?dinger方程的幾種差分格式及比較

林周瑾 汪佳玲 霍昱安

摘要： 探究在特定的初值和邊界條件下一維Klein-Gordon-Schr?dinger方程的幾種差分格式并進行比較。利用經典的向前差分算子、中心差分算子、Crank-Nicolson方法和緊差分算子分別為Klein-Gordon-Schr?dinger方程構造向前Euler式、Crank-Nicolson格式及緊差分格式。結果表明：Crank-Nicolson格式及緊差分格式能夠精確地保持離散電荷和能量守恒。數值實驗驗證了理論結果的正確性。

關鍵詞：Klein-Gordon-Schr?dinger方程； 向前Euler格式； Crank-Nicolson格式； 緊差分格式； 電荷守恒； 能量守恒

中圖分類號： O 241.82文獻標志碼： A?? 文章編號： 1000-5013（2024）01-0108-13

Several Difference Schemes and Comparisons for ?Klein-Gordon-Schr?dinger Equation

LIN Zhoujin， WANG Jialing， HUO Yu′an

（School of Mathematics and Statistics， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China）

Abstract： Several difference schemes of one-dimensional Klein-Gordon-Schr?dinger equation under specific initial value and boundary conditions are investigated and contrasted. The classical forward difference operator， central difference operator， Crank-Nicolson method and compact difference operator are used to construct forward Euler scheme， Crank-Nicolson scheme and compact difference scheme respectively. Results show that Crank-Nicolson scheme and the compact difference scheme can accurately conserve the discrete charge and energy conservation. The correctness of the theoretical result has been verified by numerical experiments.

Keywords： Klein-Gordon-Schr?dinger equation； forward Euler scheme； Crank-Nicolson scheme； compact difference scheme； charge conservation； energy conservation

Klein-Gordon-Schr?dinger（KGS）方程是薛定諤方程的狹義相對論形式，該系統于1970年被Yukawa首次提出。1975年，由Fukuda和Tsutsumi提出了帶有Yukawa作用的KGS系統模型［1］，被用來描述量子場理論中守恒復標量核子場與實標量介子場之間相互作用，是相對論量子力學和量子場論中的最基本方程。隨著學術科研的發展與科學技術的創新，KGS方程的研究越來越受到國內外學者的重視。在過去的二十年中，許多學者們針對KGS方程的解析解和數值解進行了一系列的研究。

在數學方面，Fukuda等［1］討論了三維空間中耦合的KGS方程的初邊值問題，建立了初邊值問題整體解的存在唯一性定理。Baillon等［2］討論了耦合的KGS方程的柯西問題，并且證明了KGS方程柯西問題的唯一整體解的存在性。Darwish等［3］設計了一種代數方法來統一構造KGS耦合方程的一系列顯式精確解。Wang等［4］用雅可比橢圓函數展開法的推廣得到KGS方程的周期波解。文獻［5-10］也在數學上對KGS方程展開研究。

然而，該方程的解析解很難得到，大多數情形只能靠數值方法進行求解。因此，對于如何得到能夠長時間地保持系統解的行為的KGS方程的數值解就顯得尤為重要。在數值方面，學者們利用許多不同的數值方法對KGS方程進行了數值計算［11-17］。Wang［11］提出一個緊差分格式來計算具有齊次Dirichlet邊界條件的KGS方程。通過連接合適的辛Runge-Kutta-type方法和辛Runge-Kutta-Nystr?m-type方法，Hong等［12］提出了KGS方程的顯式多辛格式，并證明用該方法構造的方法是多辛的，可在適當的邊界條件下精確地保持離散電荷守恒定律。Wang等［13］提出用傅里葉譜方法求解具有周期邊界條件的空間分數階KGS方程，并且表明該格式可以保持離散電荷和能量守恒。

基于此，本文在一定的初值和邊值條件下，利用不同的差分格式求解一維KGS方程并進行比較。

1 數值格式的構造

在區域Ω=［a，b］×［0，T］上考慮一維KGS方程，即

選取初值條件

φ（x，0）=φ0（x），? u（x，0）=u0（x），? ut（x，0）=u1（x），? x∈［a，b］（3）

和Dirichlet零邊界條件

φ（a，t）=φ（b，t）=0，? u（a，t）=u（b，t）=0，? t∈（0，T］。（4）

式（3）中：φ0（x）是給定的具有足夠光滑性的復值函數；u0（x）和u1（x）是兩個給定的具有足夠光滑性的實值函數，這3個函數充當求解過程中的初始解。

式（1）～（4）具有電荷守恒律和能量守恒律，即

定義空間

V0h={v|v={vj|0≤j≤J}∈Vh，v0=vJ=0}

和三對角矩陣

其中：矩陣A根據二階中心差分算子可得，矩陣B為對角占優矩陣，因此是可逆矩陣。

設u，v∈Vh，定義離散內積和離散范數，即

2 幾種差分格式

2.1 向前Euler格式

令Φnj=φ（xj，tn），Unj=u（xj，tn）。在節點（xj，tn）處考慮KGS方程（1）～（2），有

式（7），（8）中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

由向前差分算子及二階中心差分算子，有

將式（9）～（12）代入式（7），（8），得到

結合式（3），（4），可得

忽略式（13），（14）的小量項，則有

并用φnj，unj分別代替Φnj，Unj，得到差分格式為

式（15）～（18）即為KGS方程的向前Euler格式。稱R（1）j，n和R（2）j，n為差分格式（15）和差分格式（16）的局部截斷誤差。記

則可知截斷誤差R（1）j，n，R（2）j，n滿足

|R（1）j，n|≤c1（τ+h2），? 0≤n≤N-1， 1≤j≤J-1，|R（2）j，n|≤c2（τ2+h2），? 1≤n≤N-1， 1≤j≤J-1。

其中：c1，c2是與h和τ無關的常數。

注1 向前Euler格式（15）～（18）是一個非線性顯性格式，并且該格式下φ的數值解在時間方向和空間方向上分別具有1階和2階精度，u的數值解在時間方向和空間方向上都具有2階精度。

2.2 Crank-Nicolson格式

其中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

應用公式

可得到

再利用式（9）及

可以得到

在（xj，tn+1/2）處考慮方程（2），即

式（24）中：1≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

結合式（11），（12），（21）及

可將式（24）改寫為

略去式（23）和式（28）的小量項，則有

結合初值條件（3）和邊值條件（4），并用φnj，unj分別代替Φnj，Unj，得到Crank-Nicolson差分格式為

式（29）～（32）即為KGS方程的Crank-Nicolson格式。稱R（3）j，n和R（4）j，n為差分格式（23）和差分格式（28）的局部截斷誤差。記

則可知截斷誤差R（3）j，n，R（4）j，n滿足

|R（3）j，n|≤c3（τ2+h2），? 0≤n≤N-1， 1≤j≤J-1，|R（4）j，n|≤c4（τ2+h2），? 1≤n≤N-1， 1≤j≤J-1。

其中：c3，c4是與h和τ無關的常數。

注2 與向前Euler格式不同，Crank-Nicolson格式（29）～（32）是一個非線性隱性格式，并且該格式下φ和u的數值解在時間方向和空間方向上都具有2階精度。

2.3 緊差分格式

在點（xj，tn+1/2）處考慮方程（1），有

其中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

結合式（19）～（22），有

式（33）中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

式（33）兩邊同時左乘緊差分算子Ah，可以得到

由于有

所以有

將式（35）代入式（34），有

在點（xj，tn+1/2）處考慮方程（2），有

式（37）中：1≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

將式（25）～（27）代入式（37），可以得到

將式（38）兩邊同時左乘緊差分算子Ah，并利用式（11）及

可得

略去式（36）和式（39）中的小量項，則有

結合初值條件（3）和邊值條件（4），并且用φnj，unj分別代替Φnj，Unj，得到KGS方程的緊差分格式為

式（40）～（43）即為KGS方程的緊差分格式。稱R（5）j，n和R（6）j，n為差分格式（36）和差分格式（39）的局部截斷誤差。記

則可知截斷誤差R（5）j，n，R（6）j，n分別滿足

|R（5）j，n|≤c5（τ2+h4），? 0≤n≤N-1， 1≤j≤J-1，

|R（6）j，n|≤c6（τ2+h4），? 1≤n≤N-1， 1≤j≤J-1。

其中：c5，c6是與h和τ無關的常數。

注3 緊差分格式（40）～（43）也是一個非線性隱性格式，并且該格式下的φ和u的數值解在時間方向和空間方向上分別具有2階和4階精度。

3 守恒性

引理1［18］ 對于任意的u，v∈V0h，有〈δ2xu，v〉=-〈δ+xu，δ+xv〉。

引理2［18］ 對于任意的u∈Vh，n=0，1，…，N-1，則有

Re〈-B-1A（un+1+un），（un+1-un）〉=|||δxun+1|||2-|||δxun|||2，

Im〈B-1A（un+1+un），（un+1-un）〉=0。

其中：Re和Im分別表示取函數的實部和虛部。

定理1 Crank-Nicolson格式（29）～（32）能夠精確地保持離散的電荷和能量守恒，即

Qn=φn2≡Q0，? n=1，2，…，N，（44）

En=un2+δ+tun2+δ+xun2+δ+xφn2-2〈un，|φn|2〉=E0，? n=1，2，…，N-1。（45）

證明：式（29），（30）可以表示為

將式（46）與φn+1/2作內積，并取虛部，有

由引理1可知

〈δ2xφn+1/2，φn+1/2〉=-〈δ+xφn+1/2，δ+xφn+1/2〉=-δ+xφn+1/22∈R。

又

因此，有

故有

φn+12=φn2。（48）

因此，式（44）成立。

將式（46）與φn+1-φn做內積，并取實部，有

對上式進行逐項分析，即

整理可以得到

-δ+xφn+12+δ+xφn2+〈un+1+un，|φn+1|2〉-〈un+1+un，|φn|2〉=0。（49）

將式（47）與un+1-un做內積，有

〈δ2tun+1/2，un+1-un-1〉-〈δ2xun+1/2，un+1-un〉+〈un+1/2，un+1-un〉-12〈|φn|2+|φn+1|2，un+1-un〉=0。

對上式進行逐項分析，可得到

整理得到

δ+tun+12-δ+tun2+δ+xun+12-δ+xun2+un+12-un2-〈|φn|2+|φn+1|2，un+1-un〉=0。（50）

用式（50）減去式（49）得到

un+12+δ+tun+12+δ+xun+12+δ+xφn+12-2〈un+1，|φn+1|2〉=un2+δ+tun2+δ+xun2+δ+xφn2-2〈un，|φn|2〉，

因此，式（45）成立。

定理2 緊差分格式（40）～（43）能夠精確保持離散電荷和能量守恒，即

Qn=φn2≡Q0，? n=0，1，…，N，（51）

En=un2+δ+tun2+|||δxun|||2+|||δxφn|||2-2〈un，|φn|2〉≡E0，? n=0，1，…，N-1。（52）

證明：利用前面定義的矩陣A和B，式（40），（41）可以表示為

將式（53）與φn+1/2作內積，并取虛部，則有

對上式進行逐項分析，有

又〈un+1/2φn+1/2，φn+1/2〉∈R，所以有

由此可知，式（51）成立。

將式（53）與δ+tφn作內積，并取實部，有

逐項分析，有

則式（56）可表示為

|||δxφn+1|||2-|||δxφn|||2-〈un+1+un，|φn+1|2〉+〈un+1+un，|φn|2〉=0。（57）

將式（54）與δ+tun作內積，并取實部，有

分析式（58）的每一項，可得

則式（58）可以寫成

δ+tun+12-δ+tun2+|||δxun+1|||2-|||δxun|||2+un+12-un2-〈|φn|2+|φn+1|2，un+1-un〉=0。（59）

結合式（57）與式（59），有

un+12+δ+tun+12+|||δxun+1|||2+|||δxφn+1|||2-2〈un+1，|φn+1|2〉=un2+δ+tun2+|||δxun|||2+|||δxφn|||2-2〈un，|φn|2〉。

由此可知，式（52）成立。

4 數值實驗

通過數值實驗驗證前面的理論結果。根據文獻［19］可以得到KGS方程的解析解，即

式（60），（61）中：v為孤立波的傳播速度；x0為初始相位。對于固定的t，當x→∞時，φ（x，t）和u（x，t）迅速衰減到0。因此，在數值上可以在有限區域（a，b）中求解KGS方程。其中，-a，b1，邊界條件為零邊界。

4.1 數值解

考慮初值條件

φ0（x）=φ（x，0，v，0），? u0（x）=u（x，0，v，0），? u1（x）=ut（x，0，v，0）。

計算主要在區間［-20，20］中進行，選取空間步長h為0.2，時間步長τ為0.001 s，傳播速度v為0.1。向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊差分格式在數值運算時間（T）分別為1，16 s時得到的數值解，如圖1～3所示。

由圖1～3可知：當T=16時，向前Euler格式的數值解出現了一些輕微的振蕩，Crank-Nicolson格式和緊差分格式的數值解較為光滑。這表明相較于其他兩種穩定的隱式格式，作為顯式格式的向前Euler格式相對不穩定。

當T分別為1，16 s時，分別運用向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊差分格式求解KGS方程時的CPU運行時間（tCPU），結果如表1所示。由表1可知：顯式的向前Euler格式的計算速度明顯優于隱式的Crank-Nicolson格式和緊差分格式，這是因為向前Euler格式在計算過程中沒有迭代。

4.2 電荷守恒與能量守恒

分別定義離散電荷誤差error Q和能量誤差error E為

式（62）中：Qn和En分別表示第n步的電荷值和能量值。計算在區間［-20，20］中進行，選取空間步長h為0.2，時間步長τ為0.001 s，傳播速度v為0.1。分別繪制T=10 s時Crank-Nicolson格式和緊差分格式的電荷、能量值及其離散誤差，如圖4，5所示。

由圖4可知：電荷誤差和能量誤差分別在10-13和10-12左右，表明Crank-Nicolson格式的電荷和能量是守恒的。由圖5可知：緊差分格式的守恒量誤差分別在10-11和10-12左右，表明緊差分格式能夠很好地保持離散電荷和能量守恒。

5 結束語

利用經典的差分算子為一維KGS方程分別構造向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊差分格式。利用相關理論知識討論了3種格式的精度，詳細證明了Crank-Nicolson格式和緊差分格式能夠精確保持離散電荷守恒及能量守恒。數值實驗結果表明，與Crank-Nicolson格式和緊差分格式相比，向前Euler格式長時間計算的穩定性稍差，但是其計算效率更高。另外，在數值上，Crank-Nicolson格式和緊差分格式能夠精確地保持離散的電荷和能量守恒，驗證了理論結果的正確性。

通過對3種格式的比較，可以看出它們在求解KGS方程時的優缺點，為不同工程應用提供合適的選擇。

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