氮氣在微米管中的微尺度流動端面效應

方 欣 * 廖海嬰 * 岳湘安

*(中國石油化工股份有限公司石油勘探開發研究院，北京 102206)

?(中國石油大學（北京）石油工程學院，北京 102249)

隨著微機械、微型設備和裝置在微電子、微機電、生物、通訊尤其是航空航天等領域的廣泛應用，以提高傳熱、傳質效率為目的的氣體微尺度流動研究備受關注[1-3]。大量的實驗及分析結果表明微細通道內氣體的流動規律與常規尺度通道中氣體的流動規律并不相同，尤其是受通道尺寸的影響，微尺度通道對氣體流動阻力的影響顯著。

氣體在微細通道中受到的流動阻力通常由兩部分構成：一是沿程阻力，一是變截面處的局部阻力。自微流動的概念提出以來，國內外學者針對微通道中氣體的流動阻力問題進行了大量的實驗研究，但大部分實驗均以沿程阻力作為研究重點，對于局部阻力卻關注得很少。近幾年來隨著微裝置的應用越來越廣泛，一些學者發現入（出）口端效應引起的壓降在很多情況下對于流動、傳熱和傳質的影響很大[4]。例如，為了獲得更高的傳輸效率，在一些研究當中采用了增大氣體流速或縮短微細通道長度的方法[5-6]。由于隨著微通道長度的縮短，端面效應引起的壓降在總壓降中占的比例增大，其對流動的影響不容忽略。因此，了解微尺度流動中端面效應引起的附加壓降的大小對相關微結構器件的研究與設計具有重要意義。同時，在氣體微尺度流動實驗中，端面附加壓降會導致實測的壓差高于穩定流動壓差，影響實驗結果的準確性，甚至有可能導致錯誤的結果。因此，實驗數據的解釋中也離不開對端面附加壓降的修正。

端面附加壓降的主要研究方法是在流動方程的基礎上引入端面附加壓降修正項[7-9]，主要的研究工作集中在修正系數的確定上[10-11]。常規管流中關于修正系數確定的研究至今已有100 多年的歷史，Hagenbach 于1860 年提出了用于修正流體質點在管道入口端因流速改變而產生動能損耗的動能修正系數[8]；Couette 于1890 年提出了用于修正流體在管道入口流線變形而產生附加能量損耗的非線性流修正系數[12]。目前，對于常規管流修正系數的確定已有公認的比較權威的方法，絕大多數實驗中所采用的局部阻力系數均來自于Idel’cik 流體阻力手冊[6]。微尺度流動中端面修正系數的研究仍很少，主要采用的是實驗方法[13-14]。由于微通道水力直徑量級很小，實驗裝置的加工和實驗參數的測量難度很大，需要對常規測量手段加以改進乃至發展新型實驗儀器和測試技術。多數學者采用小孔取壓（孔徑為0.5 mm）的壓力測量方式[15-17]對微細通道內端面局部阻力特性進行了系統的實驗研究。然而受實驗裝置和測量技術的限制，實驗條件通常為常溫常壓，微通道的水力直徑一般較大（200～1000 μm），雷諾數Re一般在160～10 000 之間。雖然不同研究者得到的實驗結果相差很大，有的甚至相互矛盾，但學者們普遍認為常規管流的局部阻力計算公式無法準確預測氣體在微通道中受到的局部阻力。而對于水力直徑更小的微通道，僅有少部分學者采用DSMC（direct simulation monte carlo）和LBM (lattice boltzmann method）等數值模擬方法模擬了氣體在端面處的流動規律。而相關的實驗報道更是少之又少，Lee 等[18]采用表面微加工技術，將微壓力傳感器與微細通道結合在一起，在通道尺寸為H×W=1 μm×40 μm 和1 μm×20 μm 的微槽中對局部阻力引起的附加壓降進行了測量。但無論是數值方法還是實驗方法小通道中的端面的局部阻力特性研究結果均包含了氣體壓縮效應和滑移效應的綜合影響，因此無法定量地得到端面局部阻力損失的大小。

相比于常規尺度管流，微尺度管流端面效應研究面臨的問題更多、難度更大。微管流動端面局部阻力的直接測量，不僅受制于微壓差的高精度測量技術，如果測壓通道尺寸與實驗微管尺寸相比不是足夠小，將在測壓通道處造成另外的“端面”或形成另外的局部阻力，影響測量結果的準確性[19-21]。針對上述問題，本文應用高壓微壓差和高壓微流量測量專利技術[22-23]進行了高壓條件下的微尺度流動實驗，建立了排除滑移效應和壓縮效應影響的端面局部阻力確定方法，應用該方法研究了氣體流速、管徑和氣體性質對端面局部阻力的影響規律，并根據實驗規律建立端面局部阻力的計算模型。

1 實驗簡介

研究氣體在微米管中流動的端面效應需要實驗裝置具有以下兩個特點：（1）測量范圍（如壓力、壓差、流速的測量范圍）足夠寬；（2）能夠實現高壓條件下微壓差和微流量等參數的精準測量。本文采用“高壓微壓差計”、“高壓微流量計”和“高壓微流量實驗系統壓力調控裝置”解決高壓條件下微壓差、微流量的計量和出口端高壓的穩定和精確控制等問題。

高壓微壓差計是利用電阻自動識別液位原理實現對微壓差的實時測量。高壓微壓差計采用了U 形管的原理，壓差計內部裝有兩種不同濃度的導電液體，中心密封著一根鉑線。當施加壓降時，壓差計內部的液位會發生變化，同時導致電阻的變化。通過使用高精度電阻率計測量電阻，可以確定液位的高度從而計算出壓差。該微壓差計工作壓力上限為80 MPa；在80 MPa 壓力環境下，測量的壓差下限可達10–6MPa 微量級，其相對誤差可控制在1%以內[22]。

高壓微流量計是利用電感識別相界面的原理實現高壓環境下微流量的測量。在測量時，先將一水銀段塞注入到流量計中。當氣體進入流量計時，水銀段塞被氣體推動，電感器可以檢測到氣汞界面的變化。通過測量水銀段塞的體積位移率可以計算出氣體的流量。該微流量計工作壓力上限可達100 MPa；在100 MPa 壓力環境下，測量的流量下限可達nL/min 量級，相對誤差小于1%[23]。

氣體的微管流動實驗對壓力穩定性要求非常高，尤其是在高壓微速（或微壓差）流動實驗中，壓力的微小波動將導致實驗結果的很大偏差?！案邏何⒘髁繉嶒炏到y壓力調控裝置”是利用氣體蓄能穩壓和微管輔助調壓實現微尺度流動實驗的穩壓調控[24]。調控裝置中含有體積較大的高壓氣體，具有強大的壓縮性，而微管輔助調壓系統能夠保證進入調控裝置的實驗系統流體流量較小，兩者結合可以實現實驗系統的回路穩壓。

高壓微管流動實驗裝置如圖1 所示。圖中，1 為注入泵，2 為微管連接器（內含微圓管），3為高壓微壓差計，4 為高壓微流量計，5 為穩壓調壓系統，6 為數據采集處理系統，7 為恒溫箱，8 為壓力表。實驗用微管為石英管，內徑為31～100 μm（表1）。用原子力顯微鏡測得微管內壁絕對粗糙度僅為0.16 nm，按實驗用最小內徑的微管計算，其相對粗糙度為0.001%。所有實驗用微管均為水力光滑管。

表1 實驗用微管Table 1 The microtubes used in experiment

圖1 高壓微管流動實驗裝置Fig.1 High-pressure microtube flow experimental apparatus

微管通過耐溫耐壓膠黏劑固定在自行設計的微管連接器內部，如圖2 所示，微管連接器一方面起到裝置間的連接作用，另一方面也能夠對其內部的微管起到保護作用。由于微管連接器為不銹鋼材質，最高可耐壓70 MPa，當微管受內部高壓氣體作用時微管連接器可在微管外側形成反作用力，避免微管發生變形，提高微管抗壓強度。

圖2 微管連接器實驗裝置圖Fig.2 The microtube connector

實驗用氣體純度為99.9%的N2，實驗壓力范圍為5～20 MPa，實驗溫度為25～60℃；流量范圍為9.92 μL/min～4.4 mL/min。實驗系統中總的不確定度通常來自微圓管內徑測量、微圓管長度測量、流量測量、壓差測量等，總的不確定度可以由以下方程確定

式中，σx1, σx2, …, σxn為測量過程中不同裝置的不確定度。經計算全部實驗中的不確定度小于0.17。

2 微管流動端面附加壓差的確定方法

在特定的氣體微管流動條件下，微管中實測的總壓差Δp由端面局部阻力產生的附加壓差Δpend和沿程分布阻力形成的壓差Δpx構成；在Δpx中，除了Hagen–Poiseuille 流壓差ΔpH–P之外，還包含氣體滑移效應引起的減阻壓差Δpslip和壓縮效應附加壓差Δpcomp，即

在氣體微管 流動實驗中，ΔpH–P，Δpslip，Δpcomp和Δpend同時共存于實測總壓差Δp中，目前尚無可靠的方法獨立地測取這些附加壓差。這正是長期以來微尺度流動及其端面效應研究所面臨的關鍵難點。本文試圖基于Δpx和Δpend在實驗微管中分布特征的差異，建立量化確定Δpend的方法。

2.1 零管長壓差外推法

微管流中Δpend與Δpx在微管中分布特征具有明顯的差異。作為均勻管中的穩定流動，ΔpH–P，Δpslip和Δpcomp分布于整個實驗微管中，與管長L成正比，且當微管足夠短，Δpx趨于零。

Δpend形成作用于微管端面附近的有限范圍，在此范圍之外，Δpend與管長無關，微管長度足夠短時所測得的壓差可認為是端面附加壓差，即

取一系列長度Li的微管，在壓力、溫度、管徑、流速等均相同的條件下，進行微管流動實驗；測取相應的壓差pi；繪制Δp–L關系曲線；依據式(6)，將Δp–L實驗曲線外延至L=0，所得到的壓差值即為特定實驗條件下微管端面附加壓差。圖3 為氮氣在如表2 所示實驗條件下Δp–L關系曲線和相應的端面附加壓差。

表2 Δp–L 關系的實驗條件Table 2 The experimental condition of the Δp–L relationship

圖3 壓差與管長的關系曲線Fig.3 The relationship between pressure difference and pipe length

圖3 所示的3 個實例PL-1，PL-2，PL-3中，端面附加壓差分別為0.127 kPa，0.348 kPa，0.827 kPa；在長度為0.4 cm 的微管中，端面附加壓差在實例總壓差中所占的比例由圖中回歸曲線確定，分別為18.5%，21%，21.3%?？梢娫跉怏w微管流動實驗中，如果管長度過短則端面效應對實驗結果的影響很大，不可忽略。

上述零管長壓差計外推法確定微管流端面附加壓差的準確性較好，但其實驗工作量較大，難以作為大量應用的實用方法。為此，提出了確定微管流動端面附加壓差的雙管長壓差計算法。

2.2 雙管長壓差計算法

由于端面附加壓差僅產生和作用于微管端面，其值與管長無關。在特定的實驗條件下，僅長度具有明顯差異的兩個微管（L1和L2）的端面附加壓差相等（Δpend1=Δpend2）。沿程壓差Δpx分布于整個實驗微管，在相同的實驗條件（壓力、溫度、管徑、流速）下，只要兩管長度及其長度的差異不是過大，可假設微管中總的壓力梯度相等（Δpx1/L1=Δpx2/L2）。據此，可由流體在兩個具有長度差異的微管中流動實測壓差Δp1和Δp2計算端面附加壓差

式（7）是利用兩個不同長度微管在相同流動條件下實測壓差的差異，識別并確定Δpend，將該方法稱為管長壓差計算方法。

式（7）計算的N2微管流端面附加壓差如圖4所示。另外，將用零管長外推法確定的Δpend也繪制于圖4 中（圖中的實心點）。由圖4 可見，用2 種方法確定的Δpend吻合度非常高，這說明由式（5）確定的Δpend具有很好的準確性。

圖4 N2 微管流端面附加壓差Fig.4 The end-effects induced additional differential pressure for N2 in microtube flow

3 微管中氮氣流動端面附加壓差的主控因素及規律

在特定的實驗條件下，利用式（7），可由兩個不同長度的微管流總壓差的差異確定?pend，據此分析流速、管徑和壓力、溫度對?pend的影響規律。

3.1 流速對氮氣微管流端面附加壓差的影響規律

圖5 為3 種直徑微管中氮氣流動端面附加壓差與流速的關系，實驗壓力為5 MPa，溫度為25℃。由圖5 可知，在本文實驗的流量范圍內（0.2～1.5 m/s），?pend與流速v具有非常好的正相關性。隨流速的增大，?pend單調升高。?pend隨v而升高的規律在臨界流速vc處發生明顯的改變。在v(0,vc]范圍，?pend隨v緩慢升高；而在v[vc, 4)范圍，?pend隨v的增大而急劇升高。不同的微管內徑，?pend與v的相關規律發生轉折，臨界流速vc具有明顯差異。在圖5 所示的3 個典型實例中，內徑為31 μm，41 μm，50 μm 的微管的臨界流速vc分別為1.18 m/s，1.52 m/s，2.09 m/s。

圖5 端面附加壓差與流速的關系Fig.5 The relationship between the end-effects induced additional differential pressure and flow velocity

3.2 管徑對氮氣微管流端面附加壓差的影響規律

圖6 是4 種流速條件下，氮氣微管流端面附加壓差與管徑的實驗關系，實驗壓力為5 MPa，溫度為25℃。由圖6 可見，在本文實驗的管徑范圍內（31～100 μm）, ?pend與管徑d具有非常好的負相關性。隨管徑的增大，?pend單調降低。?pend隨d的變化規律在臨界管徑dc處發生明顯的改變。在d[de, 100 μm]范圍，?pend隨d的減小線性地緩慢升高；在d(0,dc]范圍，?pend隨d的減小而急劇升高。與d[dc, 100 μm)范圍內?pend～d相關規律相比，在d(0,dc]范圍內，?pend與d的異常變化規律可以認為是氮氣微管流的端面微尺度效應。

圖6 端面附加壓差與管徑的關系Fig.6 The relationship between the end-effects induced additional differential pressure and tube diameter

3.3 壓力和溫度對氮氣微管流端面附加壓差的影響規律

由于溫度和壓力是影響氣體性質的重要因素，所以本節在不同壓力(5～20 MPa)和溫度(25～60℃)條件下進行了N2在微管中的流動實驗。圖7 為不同壓力條件下?pend與v的關系。由圖7可見，在不同流速條件下，壓力對?pend的影響不同，在較低的流速范圍內(v≤0.7 m/s)，壓力對?pend的影響較小，隨著壓力的升高，?pend的變化很小，這說明在該流速范圍內壓力升高端面效應對流動的影響不明顯。而在較高的流速范圍內（v＞0.7 m/s），壓力對?pend的影響則很大，隨著壓力的升高，?pend增大，這說明在該流速范圍內壓力越高端面效應對流動的影響越大。

圖7 端面附加壓差與壓力的關系Fig.7 The effect of pressure on the end-effects induced additional differential pressure

圖8 為不同溫度條件下?pend與v的關系。由圖8 可見，在本文的實驗范圍內，溫度對?pend的影響不明顯。

圖8 端面附加壓差與溫度的關系Fig.8 The effect of temperature on the end-effects induced additional differential pressure

4 氮氣微管流端面附加壓差的經驗模型

綜合分析上述研究結果，在本文實驗條件范圍內，氮氣微管流端面附加壓差的主控因素為管徑和流速。依據?pend與管徑單調負相關性和?pend與流速單調正相關性的實驗規律，采用量綱分析方法，可以建立無量綱參數團

式中，v為氮氣在微管中的平均流速，m/s；d為微管內徑，10–6m；g為重力加速度，9.81 m/s2。

對微管流端面附加壓差無量綱化可得

將包括圖5 和圖6 在內的所有實驗結果用式（8）和式（9）所用的無量綱參數Δpend*和ζ 進行處理，繪制無因次端面附加壓差Δpend*與ζ 的關系（圖9）。由圖9 可見，在本文實驗條件范圍內，所有無因次端面附加壓差Δpend*與ζ 的相關性非常好，這說明式（8）的無量綱參數團是合理的。如圖9 所示，?pend*與ζ 為單調正相關規律。對圖9 中的數據進行擬合，可以得到本文實驗條件范圍氮氣微管流端面附加壓差的經驗模型

圖9 Δpend*與ζ 的關系曲線Fig.9 The relationship between Δpend* and ζ

式中，a和b是實驗常數，a=2.995，b=3×10–7。

5 結論

（1）實驗表明零管長壓差外推法和雙管長壓差計算法兩種確定微管流端面附加壓差的方法得到的結果吻合非常好。由于零管長壓差外推法實驗工作量很大，將雙管長壓差計算法作為確定氣體微管流端面附加壓差的實用方法。

（2）應用雙管壓差計算法對氣體微管流端面附加壓差及有關規律的定量研究。發現微管流端面效應附加壓差Δpend與管徑d之間為單調遞減關系，與流速v之間為單調遞增關系。在低流速范圍壓力對Δpend影響不大，而在高流速的范圍壓力對Δpend的影響逐漸增大，壓力越高端面效應引起的附加壓差越大。在本文實驗條件范圍內，溫度對Δpend的影響不明顯。

（3）采用量綱分析法對實驗數據進行處理，發現?pend與管徑和流速相關的參數團ζ=v2/(gd)之間呈單調正相關規律，由此可以擬合得到微管流端面附加壓差的經驗計算模型。