廣義數量矩陣的逆矩陣

趙 丹,楊 森

(鞍山師范學院 數學學院,遼寧 鞍山 114007)

數量矩陣是指對角線上為某數a,其余位置均為零的矩陣.適當放寬這個要求,令對角線上元素全是a,其余位置元素均為某個數b(b≠0),即形如

的矩陣,稱之為廣義數量矩陣,記為Kn(a,b),簡記為K(a,b).

文獻[1-3]探討了廣義數量矩陣的行列式的簡便求法,即從第二列開始將后面所有列全部加到第一列上,提出公因子a+(n-1)b,再從第二行開始依次減掉第一行,變成上三角形行列式進行求值,可得結果為 [a+(n-1)b](a-b)n-1.由此可知,矩陣K(a,b)可逆的充要條件是a≠b且a+(n-1)b≠0.

定理1設K(a,b)為n階廣義數量矩陣,則存在n階矩陣

使得

即

P-1K(a,b)P=diag(a-b,…,a-b,a+(n-1)b)

當K(a,b)可逆時,有

證明易求矩陣K(a,b)的特征多項式為[λ-a-(n-1)b](λ-a+b)n-1,所以它的特征值是λ1=a+(n-1)b和λ2=a-b(n-1重).

將特征值λ1=a+(n-1)b代入齊次線性方程組[λ1E-K(a,b)]X=0,有

化系數矩陣為行階梯形

將特征值λ2=a-b代入對應的齊次線性方程組[λ2E-K(a,b)]X=0,化系數矩陣為行階梯形可得

則有x1+x2+…+xn=0,令x2,…,xn為自由未知量,取

可得基礎解系為

所以屬于特征值λ2=a-b的線性無關特征向量設為

對應特征值λ2=a-b的特征子空間為n-1維.

由上可知,K(a,b)恰有n個線性無關的特征向量,因此可對角化.事實上,對?a,b都存在同一個可逆矩陣,即把所有特征向量按順序組成n階可逆矩陣

使得

即

P-1K(a,b)P=diag(a-b,…,a-b,a+(n-1)b)

當K(a,b)可逆時,兩邊同時取逆可得

定理1得證.

定理1說明了對于廣義數量矩陣K(a,b)可以實現一致對角化,即無論a,b取何值,都存在同一個矩陣

可以將其對角化.有了定理1的結論,下面,將利用定理1進一步深入研究廣義數量矩陣逆矩陣的求法.用傳統方式求廣義數量矩陣的逆矩陣有很大局限性,一是計算量很大,即便對于三階或四階的矩陣都是如此;二是針對高階的廣義數量矩陣沒有辦法利用初等變換實現求逆.例如:

(1)求A的特征值及所有特征向量;

(2)A可逆的充要條件是什么? 當s=-1時,A是否可逆? 若A可逆,求A的逆矩陣.

由此題結論可以看出,雖然將A和E并排放在一起化為行階梯形算出了逆矩陣,但初等變換的過程煩瑣,計算量很大,不能很快求出結果且中間過程容易出錯.那么思考:既然廣義數量矩陣K(a,b)的逆矩陣仍是廣義數量矩陣,是否會有一個可求一般K(a,b)的逆矩陣的更簡單有效的方法.先看以下定理:

定理2n階廣義數量矩陣K(a,b)可逆的充要條件是a≠b且a+(n-1)b≠0.此時K(a,b)的逆矩陣為K(c,d),其中

證明不妨設K(a,b)-1=K(c,d),則由定理1可知

P-1K(a,b)P=diag(a-b,…,a-b,a+(n-1)b)

(1)

則有

P-1K(c,d)P=diag(c-d,…,c-d,c+(n-1)d)

(2)

當K(a,b)可逆時,對式(1)兩邊同時取逆可得

(3)

比較式(2)和式(3)可得

(4)

將式(4)可看成以c,d為未知數的線性方程組,因為系數矩陣的行列式等于n(n≠0),因此一定有唯一解為

所以,此時K(a,b)的逆矩陣為K(c,d),其中

定理2得證.

特殊類型的矩陣求逆矩陣,除了文獻[1]中給出的一般方法外,還有其他更有效的方法,如文獻[4-5]給出了幾類特殊矩陣求逆的方法.對于廣義數量矩陣,定理2給出了求它的逆矩陣的一般化公式,將定理2的公式應用例1中,可明顯看出它的優點,因為此時求4階廣義數量矩陣的逆矩陣,可令a=1,b=-1,n=4,則由定理2給出的公式可得

解該6階廣義數量矩陣K6(1,3),設它的逆矩陣為K6(c,d),利用定理2的公式,即n=6,a=1,b=3,代入得

可以計算出

利用本文給出的結論,不但可以求出這類廣義數量矩陣的逆矩陣,而且還可以極大地簡化解題過程,提高解題效率.