害蟲-天敵種群廣義系統模型的建立與幾何分析

李晉芳,趙立純,劉敬娜

(1.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學院 數學學院,遼寧 鞍山 114007)

我國是農業大國,在農業生產過程中,農業害蟲會直接導致農作物產量下降,據統計,在害蟲重發時可造成農作物減產30%,因此,農業害蟲的防治問題需要重點關注[1-2].害蟲管理最常用的有物理、化學、生物等管理方法.物理管理方法包括燈光誘殺、顏色誘殺、偏好誘殺、阻隔分離等,這些方法有一定效果,但是投入資金大、 操作費時費力;化學管理方法會導致農產品農藥殘留超標,不僅危害人體健康,還會污染環境,容易使農業害蟲產生抗藥性,所以化學農藥治理害蟲不能夠一勞永逸[3-4];生物管理方法可以克服上述問題.

一些害蟲種群(如蚜蟲)具有繁殖快、生命周期短的特點,經常出現暴發現象,突變理論能很好地描述這一現象.突變有七種基本模型,即折迭、尖點、燕尾、雙曲、橢圓、蝴蝶及拋物臍點突變模型,一些學者常應用這七種模型描述害蟲種群的生態機制.趙惠燕等[5-6]研究發現:基于不同影響因素,麥蚜生態系統符合折迭突變模型和尖點突變模型,從突變理論的角度證明了麥蚜危害關鍵期為灌裝期,并提出了相應的管理方法.魏雪蓮[7]建立害蟲燕尾突變模型,解釋了害蟲種群數量的突跳和滯后現象.李禎等[8]建立害蟲種群動態蝴蝶突變模型,解釋了害蟲種群的暴發現象.李建峰等[9]建立獼猴桃園節肢動物群落橢圓突變模型,并分析了群落穩定性,解釋了害蟲種群的暴發動態及原因.李媛[10]針對獼猴桃園節肢動物群落建立了橢圓與雙曲兩種突變模型,證明了雙曲突變模型比橢圓突變模型在描述獼猴桃園節肢動物群落時更有優勢.趙惠燕等[11]建立了拋物臍點突變模型,通過勢函數法確定了其突變區域、突變臨界點以及穩定性.上述模型皆用微分方程描述害蟲種群的暴發現象.

針對害蟲種群的生物管理,釋放天敵是常用方法之一.由于天敵的捕食,害蟲種群的數量會驟然減少,但天敵種群的消化相對緩慢,用微分方程難以描述這一過程,而代數方程和微分方程共同形成的廣義系統模型是描述該過程的有力工具.本文基于尖點突變模型,建立害蟲-天敵種群的廣義系統模型,并利用幾何分析方法,研究害蟲與天敵種群的相互作用關系,為害蟲種群暴發的理論研究提供了新思路.

1 模型建立

本文以蚜蟲為例,建立害蟲-天敵種群廣義系統模型.由于蚜蟲種群的天敵種群(如雀鳥)是脊椎動物,因此對蚜蟲種群的捕獲滿足Holling-Ⅲ型功能反應,且其增長受到蚜蟲種群的密度制約.假設在無敵種群的情況下,蚜蟲種群滿足Logistic增長,得模型

(1)

其中:x(t)表示雀鳥種群的種群密度,A>0表示半飽和常數,a*>0表示雀鳥(捕食者)的最大收獲率,e*>0表示每單位收獲獵物的新生雀鳥的數量,d>0為雀鳥(捕食者)的死亡率,y(t)表示蚜蟲種群的種群密度,r*>0表示蚜蟲種群的內稟增長率,K>0表示蚜蟲的承載能力.

針對模型(1),基于蚜蟲種群生命周期短和繁殖系數高的特點,蚜蟲種群密度變化速率快,即r*高;而天敵種群(如雀鳥)密度的變化速率相對較慢,即e*低,且攻擊性較強,即a*高,令

其中ε為充分小的數.

基于上述,模型(1)變為

(2)

其中c=e*a*=ea.

針對模型(2),令ε→0,則模型(2)變為

(3)

下面針對模型(3),探討蚜蟲種群快速達到平衡狀態時雀鳥種群密度的變化規律.

2 幾何分析

為了簡化模型(3),參考文獻[12],令

(4)

其中

模型(4)存在平衡點

其中

針對模型(4),利用定性理論,對上述平衡點進行幾何分析.

由

得

再由

得

Γ3:y=0;Γ4:-Ry3+kRy2-Ry-kxy+Rk=0

通過改變參數D和k,研究平衡點個數及穩定性.由于Γ4的圖像會隨k的取值不同而改變,導致平衡點個數及其穩定性發生變化,具體如下:

基于D的不同,分如下幾種情況:

情況1.1D≥1

圖1 情況1.1的幾何分析圖

情況1.20

Γ2的上下移動會導致模型(4)的平衡點個數改變.

此條件下有兩個平衡點(見圖2),同理,得到定理2.

圖2 情況1.2.1的幾何分析圖

此條件下有三個平衡點(見圖3),同理,得到定理3.

圖3 情況1.2.2的幾何分析圖 圖4 情況2.1的幾何分析圖

基于D的不同,分如下幾種情況:

情況2.1D≥1

情況2.20

Γ2的上下移動會導致模型(4)的平衡點個數改變.

此條件下有兩個平衡點(見圖5),同理,得到定理5.

圖5 情況2.2.1的幾何分析圖

圖6 情況2.2.2的幾何分析圖

進而得到定理6.

3 結論

由上述研究可得如下生物解釋:

本文基于不同時間尺度研究害蟲-天敵種群的相互作用,拓寬了廣義系統理論研究的應用范圍．