基于Kelvin模型的圓形巷道位移反分析的唯一性

張志增,程一桐,周林豪,余浩然,劉豐林

(中原工學院建筑工程學院)

引 言

隨著數值模擬技術在地下工程穩定性分析方面的應用日益廣泛,對數值模擬結果產生較大影響的已經不是數值計算方法,而是巖體參數[1]。然而,由于巖體經歷了數萬年的復雜演變,不僅具有尺寸效應,還具有時間效應,確定其力學參數難度較大。

一般地,常用的巖體力學參數獲取方法包括經驗類比法、現場原位試驗法與實驗室試樣試驗法等,但各有不足[2-5]。例如:現場原位試驗的結果固然可靠,卻受到試驗周期長、成本高等限制,如果將現場試驗作為獲取巖體參數的主要手段,其經濟成本將遠遠超過允許的范圍;實驗室試樣試驗法在取樣過程中已經改變了巖體的原始力學狀態,加上樣品尺寸有限,其代表性也值得進一步討論。反分析法的問世,為巖體力學參數的確定指明了一條新道路[6-7]。

反分析法[8-10]是將現場量測數據作為已知條件,通過反演模型推算出巖體初始參量的求解方法,能夠較為準確地反映巖土體的力學行為,在實際工程中得到了較為廣泛的應用。謝建兵等[11]利用簡易瑞典條分法對某露天礦滑移面的抗剪強度參數進行反分析;湯華等[12]基于均勻設計法反分析出小灣水電站地下硐室的相關物理力學參數;魏霖陽[13]論述了雙硐室存在時反分析理論。

在位移反分析中,一個重要的問題是解的唯一性,忽略反分析的唯一性可能會使計算結果失去價值,但目前針對此領域的研究并不充分。呂愛鐘等[14-15]推導了參數可辨識性條件,并論證了地下硐室彈性位移反分析的多種唯一性問題;張路青等[16]闡述了單一硐室位移反分析的唯一性;YANG等[17]用作圖的方式證明了圖譜反分析的唯一性;張志增等[18-20]對位移反分析的基礎理論進行了若干研究;李小昌[21]考慮了剪應力對位移反分析唯一性的影響。以上文獻的研究對象均為彈性介質,而理論研究和工程實踐表明,大多數巖體都反映出與時間相關的黏彈性特征[22]。因此,對黏彈性巖體位移反分析唯一性的研究在指導工程實踐、提高反分析的準確性方面有廣泛用途。本文以前人的研究成果為基礎,以Kelvin模型為基本流變模型,對黏彈性巖體中圓形巷道位移反分析的唯一性進行研究。

1 圓形巷道黏彈性解析解

圓形巷道計算模型如圖1所示,在彈性巖體中開挖一個水平向的圓形巷道,并假設巷道埋深足夠大,地應力場均勻,則圍巖內任一點因開挖引起的徑向位移(ur)[23]為:

圖1 圓形巷道計算模型Fig.1 Calculation model of circular roadway

(1)

式中:μ為泊松比;E為彈性模量(MPa);p為豎直方向的地應力(MPa);a為巷道的半徑(m);q為水平方向的地應力(MPa);r為圍巖內任一點至巷道中心的距離(m);θ為該點徑向與水平向的夾角(°)。

令

(2)

(3)

將式(1)改寫為:

(4)

黏彈性巖體介質的本構方程f(D)σ為:

f(D)σ=g(D)ε

(5)

Kelvin模型的微分本構方程σ為:

(6)

則拉式空間下Kelvin模型的微分算子形式為:

(7)

由此得到Kelvin模型的蠕變柔量J1(t)與廣義蠕

變柔量J2(t)[24]為:

(8)

(9)

對式(4)進行Laplace變換得到圓形巷道黏彈性徑向位移表達式:

ur(t)=ArJ1(t)+BrJ2(t)

(10)

將式(2)、式(3)、式(8)、式(9)代入式(10),得到符合Kelvin本構模型的黏彈性巖體在圓形巷道下的位移解析解:

(11)

2 位移反分析的唯一性

2.1 判定準則

位移反分析的唯一性可用式(12)所示的參數可辨識法則進行判別[10],?fi/?βj為待反演參數fi的靈敏系數,根據?fi/?βj的線性相關性來判別βj的可辨識度:若?fi/?βj線性無關,待反演參數能夠唯一地被辨識,反之則不能唯一地被辨識。

(12)

式中:fi為位移輸出值;β1,β2,…,βj為待反演參數;n為測點的數目,n≥j。

當式(12)成立時,至少存在一個不等于0的Cj,此時靈敏系數線性相關;反之,當且僅當Cj等于0時式(12)才成立,此時靈敏系數線性無關。

將各參數的靈敏系數代入式(12),整理得到:

(13)

(14)

相應的系數矩陣為:

(15)

方程組(14)中有5個未知數,3個方程,所以最少要已知2個參數,其他參數才有可能唯一地被反分析出來,否則,無論增加多少測量點,都不能把所有參數唯一地反分析出來。為使反分析結果更加通俗明了,在此引入如下概念:

1)不唯一,指當各參數之間滿足任意條件時,反分析的結果都不唯一。

2)條件唯一,指當各參數之間滿足某種條件時,反分析的結果才唯一。

3)絕對唯一,指各參數之間無論存在何種條件,反分析結果都唯一。

2.2 已知任意2個參數時的情況

假設已知豎向地應力p與水平地應力q,反分析E、η與μ3個參數,此時?ur/?p、?ur/?q應為0,此時的系數矩陣為:

(16)

待反演參數靈敏系數的線性相關性可用系數矩陣的秩R來判斷,矩陣滿秩的情況下,線性方程組(14)只存在0解,靈敏系數線性無關,反分析唯一;否則,靈敏系數線性相關,反分析不唯一。矩陣(15)的秩R=2<3,屬于反分析不唯一的范疇。其余反分析結果及其充分條件如表1所示,每個參數都被反分析了6次,結果如表2所示。根據表1、表2中的數據,可以得到以下結論:

表1 已知2個參數時的反分析唯一性Table 1 Back analysis of uniqueness for the case of 2 known parameters

表2 已知2個參數時的反分析結果統計Table 2 Statistics of back analysis of results for the case of 2 known parameters

1)在已知任意2個參數的條件下,反分析不唯一的情形只有1種,條件唯一的情形有9種。

2)地應力顯著影響了反分析的結果,2個方向的地應力作為已知量且不等于0時,反分析結果唯一;二者不相等時,反分析結果唯一。

3)參數p與q的可辨識性最好,μ、E與η次之。

2.3 已知任意3個參數時的情況

假設已知豎向地應力p、水平地應力q與黏滯系數η,反分析E、μ2個參數,此時,?ur/?p、?ur/?q和?ur/?η都應為0,此時的系數矩陣為:

(17)

2個方向的地應力相等時,矩陣(17)的秩R=1,反分析不唯一;不相等時,矩陣的秩R=2,反分析唯一。其余反分析結果及其充分條件如表3所示,每個參數都被反分析了4次,結果如表4所示。根據表3、表4中的數據,可以得到以下結論:

表3 已知3個參數時的反分析唯一性Table 3 Back analysis of uniqueness for the case of 3 known parameters

表4 已知3個參數時的反分析結果統計Table 4 Statistics of back analysis of results for the case of 3 known parameters

1)在已知任意3個參數的條件下,絕對唯一有4種,條件唯一有6種,不存在不唯一的情況。

2)地應力對結果的影響同樣明顯,在2個方向的地應力作為已知量且相等時,反分析結果不唯一;二者不相等時,反分析結果唯一。

3)參數p的辨識性最好,q、E次之,η與μ最差。

2.4 已知任意4個參數時的情況

假設已知豎向地應力p、水平地應力q、黏滯系數η與彈性模量E,反分析泊松比μ。此時?ur/?p、?ur/?q、?ur/?η與?ur/?E都應為0,即方程組(14)中含有C1、C2、C3與C4的項都為0,此時的系數矩陣為:

(18)

當地應力相等時,上述矩陣為0矩陣,反分析結果不唯一;當地應力不相等時,反分析結果唯一。

其余反分析結果及其充分條件如表5所示,每個參數均被反分析了1次,結果如表6所示。根據表5、表6中的數據,可以得到以下結論:

表5 已知4個參數時的反分析唯一性Table 5 Back analysis of uniqueness for the case of 4 known parameters

表6 已知4個參數時的反分析結果統計Table 6 Statistics of back analysis results for the case of 4 known parameters

1)在已知任意4個參數的條件下,絕對唯一的情形有4種,條件唯一的情形有1種。已知條件增多,各參數的可辨識性明顯增強。

2)較于前兩種情況(已知任意2個參數,已知任意3個參數),地應力之間的關系對反分析結果的影響逐漸降低。

3)參數p、q、η與E的可辨識性較好,μ較差。

3 待反分析參數的數量對唯一性的影響

黏彈性巖體的位移解析解較為復雜,以至于求解系數矩陣存在一定難度,且參數的可辨識性表現不太理想,絕對唯一的情況只占少數。在實際工程中,通過位移反分析將所有的巖體參數都反分析出來,既缺乏可能性,也缺乏必要性。所以位移反分析的工作要點要放在對地下工程影響較大或通過常規手段難以確定的參數上。在本文反分析的5個參數中,泊松比μ的影響相對來說不如其余4個參數重要,因而可以考慮將其排除在外從而提高其余參數的唯一性。若不將泊松比作為已知參量,此時線性方程組對應的系數矩陣為:

(19)

矩陣(19)的秩為3,共有4個未知數,至少已知1個參數,才有可能反分析出其余參數。按照上述分析方法進行反分析,結果如表7～9所示。

表7 已知1個參數時反分析的唯一性Table 7 Back analysis of uniqueness for the case of 1 known parameter

表8 已知2個參數時反分析的唯一性Table 8 Back analysis of uniqueness for the case of 2 known parameters

表9 已知3個參數時反分析的唯一性Table 9 Back analysis of uniqueness for the case of 3 known parameters

從反分析結果可以看出,在不考慮泊松比的前提下,其余參數的可辨識性均有提升。在所有的反分析結果中,前提唯一的情況占比從64%降低到35.7%,絕對唯一的情況占比從32%提高到64.3%,不存在不唯一的情況。

綜上所述,對待反分析參數進行合理的取舍,不僅可以降低工作量,對提高參數可辨識性也有很大幫助。

4 結 論

1)討論了3種情形(已知2個參數、已知3個參數和已知4個參數)下符合Kelvin本構模型的黏彈性巖體位移反分析的唯一性。最少已知2個力學參數,其他參數才有可能唯一地被反分析出來,否則,無論增加多少根測線,都不能把所有參數唯一地反分析出來。

2)已知的參數越多,待反分析參數被辨識的可能性就越大。當未知參數較多時,各參數的可辨識性存在顯著差距。2個方向的地應力是否已知、是否相等及是否為0對反分析結果的影響較為明顯。

3)根據實際需要適當地選擇待反分析參數,對提高反分析結果的唯一性有顯著影響。

4)總體看來,地應力具有最好的可辨識性,其次是彈性模量、泊松比及黏滯系數最差。