Frobenius函子和投射余可解Gorenstein平坦模*

劉義佳

(重慶師范大學 數學科學學院,重慶 401331)

本文中的環均指有單位元的結合環,模均指酉模.對于環R,用Rop表示R的反環,RM和MR分別表示左R-模范疇和右R-模范疇,I(R)和P(R)分別表示內射左R-模范疇和投射左R-模范疇.記號SMR表示M是(S,R)-雙模.

Gorenstein同調代數可追溯到1969年Auslander和Bridger[1]對雙邊Noether環上的有限生成模的G維數的研究.20世紀90年代,Enochs等[2]對結合環引入了Gorenstein投射(內射、平坦)模的概念.2004年Holm[3]研究了Gorenstein同調模及其維數的性質.在Gorenstein同調代數的研究中,人們發現經典同調代數中一些關于投射(內射、平坦)模的同調性質和不變量的結論在Gorenstein同調代數中有對應的版本.眾所周知投射模都是平坦模,但Gorenstein投射模是否都是Gorenstein平坦模仍是一個未解決的問題.為了研究這個問題,2020年Saroch和Stovivcek[4]引入了投射余可解Gorenstein平坦模的概念.

環的Frobenius擴張是一個經典的問題.1954年Kasch[5]引入了Frobenius擴張的概念,它是域上的Frobenius代數的推廣.1960年Nakayam[6]等和Morita[7]發展了Frobenius擴張理論.1999年Kadison[8]引入了Frobenius雙模的概念.Frobenius雙模與模范疇之間的Frobenius函子具有一一對應關系[7,9],因此Frobenius函子可看作Frobenius雙模的范疇版本[10].近來,Hu等[11]研究了Frobenius函子和Gorenstein平坦模及其維數之間的關系,Chen等[10]研究了Frobenius函子作用下的Gorenstein同調性質.

受以上研究的啟發,本文研究投射余可解Gorenstein平坦模及其維數在Frobenius函子作用下的同調不變性.設R和S是環,SMR是Frobenius雙模且MR是生成子.我們先證明了對任意R-模X,X是投射余可解Gorenstein平坦的當且僅當M?RX是投射余可解Gorenstein平坦S-模.然后證明了當F:RM→SM是忠實的Frobenius函子時有PGfd(RX)=PGfd(SF(X)).接著說明投射余可解Gorenstein平坦模及其維數在環的Frobenius擴張下是保持的.最后證明了若環的Frobenius擴張是可裂的,則環的PGF整體維數也具有不變性.

1 預備知識

定義1[8]如果(S,R)-雙模M滿足以下條件,則稱M是Frobenius雙模:

(1)SM和MR均是有限生成投射的.

(2) 存在(R,S)-雙模的同構:

*M∶=RHomS(M,S)S?RHomRop(M,R)S=∶M*.

定義2[6]稱環擴張S→R是Frobenius擴張,如果下列等價條件之一成立:

(1)SR是有限生成投射的,且

RRS?(SRR)*?HomS(SR,SS).

(2)RS是有限生成投射的,且

SRR?(RRS)*?HomSop(RS,SS).

由以上定義可知環擴張S→R是Frobenius擴張當且僅當R作為(S,R)-雙模是Frobenius雙模.

定義3[9,12]設A和B均為Abel范疇,F:A→B,G:B→A是兩個函子.

(1) 稱(F,G)是伴隨對,如果存在自然同構

HomB(F(-),-)?HomA(-,G(-)).

此時稱G是F的右伴隨,F是G的左伴隨.

(2) 稱(F,G)是Frobenius對,如果G既是F的左伴隨又是它的右伴隨.

(3) 稱函子F是Frobenius函子,如果對函子G,(F,G)是Frobenius對.

由定義可知若(F,G)是Frobenius對,則F和G均是Frobenius函子,即Frobenius函子總是成對出現的.根據[9,Theorem 2.1],函子F:RM→SM是Frobenius函子當且僅當存在Frobenius雙模SMR使得F?M?R-.

以下是一些常見的Frobenius函子.

例1[10](1) 設SMR是Frobenius雙模,N是(R,S)-雙模,則(M?R-,N?S-)是RM與SM之間的Frobenius對.

(2) 設S→R是環的擴張,則有純量擴張函子R?S-:SM→RM和遺忘函子U:RM→SM,且環擴張S→R是Frobenius擴張當且僅當(R?S-,U)是Frobenius對.

本文將用到Frobenius雙模的如下基本性質.

引理1[8,13]設R和S是環,SMR是Frobenius雙模,記N∶=*M,則有:

(1)RNS是Frobenius雙模.

(2)M?R-?HomR(N,-),N?S-?HomS(M,-).

(3) HomRop(M,-)?-?RN, HomSop(N,-)?-?SM.

(4) 若X是投射(內射,平坦)R-模,則M?RX是投射(內射,平坦)S-模.

(5) 若Y是投射(內射,平坦)S-模,則HomS(M,Y)是投射(內射,平坦)R-模.

(6) 對任意i≥0、任意Rop-模X和R-模Y,有

下面敘述投射余可解Gorenstein平坦模的概念及相關結論.

定義4[3,4]設X是R-模.

(1) 稱X是Gorenstein投射的,如果存在投射R-模的正合列

P:…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…,

使得X?Ker(P0→P1),且對任意Q∈P(R),序列HomR(P,Q)仍正合.用GP(R)表示Gorenstein投射R-模類.

(2) 稱X是Gorenstein平坦的,如果存在平坦R-模的正合列

F:…→F-2→F-1→F0→F1→F2→…,

使得X?Ker(F0→F1),且對任意I∈I(Rop),序列I?RF仍正合.用GF(R)表示Gorenstein平坦R-模類.

(3) 稱X是投射余可解Gorenstein平坦的(簡稱為PGF模),如果存在投射R-模的正合列

P:…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…,

使得X?Ker(P0→P1),且對任意E∈I(Rop),序列E?RP仍正合.用PGF(R)表示投射余可解Gorenstein平坦R-模類.

由以上定義可知PGF(R)?GF(R).由[4,Theorem4.4]知PGF(R)?GP(R).

引理2[4]PGF(R)關于擴張和直和項封閉.

引理3[14]對于R-模X,下列條件等價:

(1)X∈PGF(R).

(3) 存在R-模的短正合序列0→X→P→G→0,使得P∈P(R),G∈PGF(R).

2 主要結果

本節先討論在Frobenius函子作用下PGF模及其維數的同調不變性,作為應用給出PGF模及其維數在環的Frobenius擴張S→R下的同調不變性;然后討論在Frobenius函子作用下Gorenstein平坦模、Gorenstein投射模和PGF模之間的關系;最后討論環的PGF整體維數在可裂Frobenius擴張下的保持性.

引理4 設SMR是Frobenius雙模,則有:

(1) 若X是PGFR-模,則M?RX是PGFS-模.

(2) 若Y是PGFS-模,則HomS(M,Y)是PGFR-模.

證明(1) 設X是PGFR-模,則存在投射R-模的正合列

P:…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…,

使得X?Ker(P0→P1),且對任意E∈I(Rop),序列E?RP仍正合.由引理1,有投射S-模的正合列

M?RP:…→M?RP-1→M?RP0→M?RP1→M?RP2→…,

且M?RX?Ker(M?RP0→M?RP1).設I∈I(Sop),則I?SM是內射Rop-模,因此序列I?SM?RP正合.故M?RX是PGFS-模.

(2) 設Y是PGFS-模.因為RNS是Frobenius雙模,因此由(1)可知N?SY是PGFR-模.由引理1知N?SY?HomS(M,Y),故HomS(M,Y)是PGFR-模.

由[11,Theorem 2.2]知,函子F:RM→SM是忠實的Frobenius函子當且僅當存在Frobenius雙模SMR使得F?M?R-且MR是生成子.由此可得

定理1設SMR是Frobenius雙模且MR是生成子,則有:

(1)X是PGFR-模當且僅當M?RX是PGFS-模.

(2)Y是PGFRop-模當且僅當HomRop(M,Y)是PGFSop-模.

證明(1) 必要性由引理4可得.下證充分性.設X是R-模,使得M?RX是PGFS-模.以下只需證明X是PGFR-模.

設E是內射Rop-模,則HomRop(M,E)是內射Sop-模.因M?RX是PGFS-模,故對任意i>0有

由同構

由引理4知HomS(M,M?RX)是PGFR-模,故存在短正合列

0→HomS(M,M?RX)→P0→L1→0,

使得P0是投射R-模,L1是PGFR-模.由[11,Theorem2.2]知,存在R-模的短正合列

考慮推出圖

用函子M?R-作用后可得

(2) 由于SMR是Frobenius雙模且MR是生成子,故RNS是Frobenius雙模且RN是生成子.由(1)知Rop-模Y是PGF模當且僅當Y?RN是PGFSop-模,故由同構Y?RN?HomRop(M,Y)知HomRop(M,Y)是PGFSop-模.證畢.

若S→R是環的Frobenius擴張,則SRR是Frobenius雙模且RR是生成子,因此R?R-:RM→SM是忠實的Frobenius函子.于是由定理1可得

推論1設S→R是環的Frobenius擴張,X是R-模,則X是PGFR-模當且僅當X是PGFS-模.

文獻[15]證明了任意PGFR-模在環的可分Frobenius擴張下是保持的,因此上述推論是對[15,定理1]的推廣.鑒于PGF模既是Gorenstein平坦模又是Gorenstein投射模,下面討論在Frobenius函子作用下Gorenstein平坦模、Gorenstein投射模和PGF模之間的關系.由定理1和[11,Theorem 3.3,Theorem 3.4]可得如下推論.

推論2設SMR是Frobenius雙模且MR和SM均是生成子,則有:

(1) 每個Gorenstein平坦R-模都是PGF模當且僅當每個Gorenstein平坦S-模都是PGF模.

(2) 每個Gorenstein投射R-模都是PGF模當且僅當每個Gorenstein投射S-模都是PGF模.

證明只證(1).必要性:設Y是Gorenstein平坦S-模,則由[11,Theorem 3.3(2)]知HomS(M,Y)是Gorenstein平坦R-模,從而是PGFR-模.因為SM是生成子,故由定理1(2)知Y是PGFS-模.

充分性:設X是Gorenstein平坦R-模,則由[11,Theorem 3.3(1)]知M?RX是Gorenstein平坦S-模,從而是PGFS-模.因為MR是生成子,故由定理1(1)知X是PGFR-模.

定義5[16]設X是任意R-模,X的投射余可解Gorenstein平坦維數(簡稱為PGF維數)為

若不存在這樣的n,則記PGfd(RX)=∞.環R的PGF整體維數為

引理5[15]設X是R-模,則下列兩條件等價:

(1) PGfd(X)≤n.

(2) 若存在正合列

0→K→Pn-1→…→P1→P0→X→0,

其中Pi是PGFR-模,則K是PGFR-模.

下面利用上述引理討論PGF維數在忠實的Frobenius函子作用下的不變性.

定理2設F:RM→SM是忠實的Frobenius函子,X是R-模,則PGfd(RX)=PGfd(SF(X)).證明因F是忠實的Frobenius函子,故存在Frobenius雙模SMR且MR是生成子,使得F?M?R-.設X是R-模,易知PGfd(SM?RX)≤PGfd(RX),所以只需證明PGfd(RX)≤PGfd(SM?RX).

PGfd(SM?RX)=∞時結論顯然成立.設PGfd(SM?RX)=m<∞.考慮R-模的正合列

0→K→Gm-1→…→G1→G0→X→0,

其中Gi是PGFR-模(0≤i≤m-1).由定理1知M?RGi是PGFS-模,故有S-模的正合列

0→M?RK→M?RGm-1→…→M?RG1→M?RG0→M?RX→0,

其中M?RGi是PGFS-模(0≤i≤m-1).因PGfd(SM?RX)=m,故M?RK是PGFS-模,于是由定理1知K是PGFR-模,從而由引理5可得PGfd(RX)≤m.證畢.

由定理2可得如下推論.

推論3設S→R是環的Frobenius擴張,X是R-模,則PGfd(RX)=PGfd(SX).

文獻[15]中證明了模的PGF維數在環的可分Frobenius擴張下是保持的,故推論3是該結論的一個推廣.

推論4設SMR是Frobenius雙模,則有:

(1) 若MR是生成子,則PGF-gl.dim(R)≤PGF-gl.dim(S).

(2) 若SM是生成子,則PGF-gl.dim(S)≤PGF-gl.dim(R).

證明只證(1).PGF-gl.dim(S)=∞時結論顯然成立.設PGF-gl.dim(S)=m<∞,X是R-模.由定理2可得PGfd(RX)=PGfd(SM?RX),進而PGfd(RX)≤m.故PGF-gl.dim(R)≤PGF-gl.dim(S).

稱環擴張S→R是可裂的[17],如果作為(S,S)-雙模S是R的一個直和項.眾所周知,如果環的Frobenius擴張S→R是可裂的,則SR是生成子.從而有以下推論.

推論5設S→R是環的可裂Frobenius擴張,則有:

(1) PGF-gl.dim(R)=PGF-gl.dim(S).

(2) 每個Gorenstein平坦R-模是PGF模當且僅當每個Gorenstein平坦S-模是PGF模.

(3) 每個Gorenstein投射R-模是PGF模當且僅當每個Gorenstein投射S-模是PGF模.