關于樹的biharmonic指數的研究*

鄭學謙,喬曉云

(山西工程科技職業大學 基礎課教學部,山西 榆次 030619)

設G是n階簡單連通圖,其頂點集為V={v1,v2,…,vn},邊集為E={e1,e2,…,em},頂點vi的度記作di(i=1,2,…,n),不妨設d1≥d2≥…≥dn,于是G的度序列可記為(d1,d2,…,dn).用A表示G的鄰接矩陣,而G的度對角矩陣表示為D=diag(d1,d2,…,dn),則G的Laplace矩陣定義為L(G)=D-A,其特征多項式|λI-L(G)|稱為G的Laplace特征多項式,其特征值稱為G的Laplace特征值(記作λi,i=1,2,…,n,并約定0=λ1≤λ2≤…≤λn).本文涉及的其他概念可見文獻[1].

1 相關引理

引理1[8]設a1,a2,…,an均為非負實數,則有

其中等式成立當且僅當a1=a2=…=an.

引理2[8](Pólya-Szeg不等式) 設ai,bi(1≤i≤n)均為正實數,則有

其中

M1=max{a1,…,an},M2=max{b1,…,bn},

m1=min{a1,…,an},m2=min{b1,…,bn}.

引理3[7]設Tn是n階樹,且d1+d2=n,則Tn的Laplace特征多項式為

φTn(λ)=λ(λ-1)n-4(λ3+(n+2)λ2+(n+2+d1d2)λ-n).

2 主要結果

證明由引理1得

定理2設Tn是n階樹,且有d1+d2=n,則

證明由引理3得

φTn(λ)=λ(λ-1)n-4(λ3+(n+2)λ2+(n+2+d1d2)λ-n).

記

f(λ)∶=λ3+(n+2)λ2+(n+2+d1d2)λ-n.

設f(λ)的三個根為x1,x2,x3,則由韋達定理得

故

于是有

推論1設Hn是度序列為(n-2,2,1,…,1)的n階樹,則

證明由定理2得

推論2設Sn是度序列為(n-3,3,1,…,1)的n階樹,則

證明由定理2得

設K1,s是含有s+1個頂點的星圖.

定理3設T(s,t)是用一條邊連結不相交的星圖K1,s和K1,t的中心所得到的n階樹,則

證明直接計算得φT(s,t)(λ)=λ(λ-1)n-4(λ3-(n+2)λ2+(2n+st+1)λ-n).記

f(λ)∶=λ3-(n+2)λ2+(2n+st+1)λ-n.

設f(λ)的三個根為x1,x2,x3,則由韋達定理得

故

從而