借助Python實現“概率統計”實驗教學的改革與探索

姚海云 胡曉飛 王子群 李振華 梁蘭菊

摘?要：“概率統計”是一門非常重要的公共必修基礎課，然而傳統教學中存在諸多痛點問題，導致該門課程的教學目標難以完成。本團隊秉承“以學生發展為中心”的思想，基于OBE教學理念，借助Python軟件，結合教學內容模擬繪制本課程的定理、公式概率模型的圖形，實現可視化的教與學，真正做到數形結合，加深學生對抽象概念和定義的理解，激發學生的學習積極性，鍛煉學生獨立探索創新和解決實際問題的能力，提高課堂教學質量，達到本課程的培養目標。

關鍵詞：概率統計；Python；實驗教學；實踐教學

一、概述

隨著當今數據時代的到來，數據的重要性已經成為各行各業決策的關鍵驅動力，與數據分析密切相關的“概率統計”作為一門大學生必修的公共基礎課程，越來越受到各大高校的重視［13］?！案怕式y計”課程涉及許多領域，如醫療、金融、工程、生物、材料等，在今天數據爆炸的時代，“概率統計”更是成為大數據時代的必備技能［45］。通過學習“概率統計”，學生可以了解如何從數據中提取有用的信息，如何對數據進行建模和分析，以及如何在實際應用中運用概率統計方法來解決問題［67］。但是“概率統計”知識結構偏重理論推導與證明，數學邏輯很強，抽象內容多，學習難度大，這就導致很多學生失去學習本課程的興趣和積極性，最終只是為了考試而學習，無法達到本課程的培養目標。此外傳統教學模式單一，偏重教師講解，學生被動聽講和做練習，缺乏對實際應用的訓練，導致學生缺乏實際操作能力，難以將理論知識應用于實際問題中，無法培養學生學習這門課的創造力和思維能力。因此，“概率統計”的創新改革勢在必得，也是順應時代發展的必經之路［89］。

Python語言［10］在數據分析和統計學方面非常流行，有許多相關的庫可提供各種計算和統計功能，使Python在處理大量數據和進行高級分析方面非常出色。本團隊提出借助Python軟件的強大功能，引入“概率統計”課程教學改革中。利用Python軟件模擬本課程中難以理解的公理化定義、定理等，將內容用圖形表示出來，學生通過可視化圖形加深對知識的理解和記憶，可達到事半功倍的效果，提高教學質量。下面通過4個具體的項目實驗案例說明Python可視化效果在課堂教學中的應用。

二、Python軟件實現實驗教學的實踐探索

（一）項目實驗——三門問題

三門問題出自美國的一檔電視游戲節目。游戲規則如下：現場有三扇門，只有一扇門后有汽車，其余兩扇門的都是山羊。首先參賽者選擇其中一扇門，然后主持人打開另外兩扇門后有羊的一扇門，最后主持人詢問選手是否選擇更換門。問題是：選手更換門是否可以增加贏得汽車的機會？作為一個項目案例，與之相關的概率統計內容是本課程的第一章中非常重要的一個公式——貝葉斯公式：

PAi|B=PB|AiPAi∑jPB|AjPAj（1）

利用貝葉斯公式解決三門問題時，首先假設選手選擇1號門，主持人打開3號門（事件A），車在i門后（事件Bi），實際上問題就變成了計算PB1|A，PB2|A2個概率的大小，通過計算概率我們發現第一個概率是13，第二個概率是23，顯然選擇換門會加大贏得汽車的機會。此時讓學生利用軟件Python構建情景教學，進行數學實驗模擬，計算以上兩個概率數值分布，更加直觀地認識加深理解和運用。最后讓學生自己從模擬結果總結規律，加深理解貝葉斯公式，實現高階性、創新性的培養目標。

Python程序設計代碼如圖1：

程序運行結果如圖2所示：

（二）項目實驗——離散型隨機變量分布實驗（泊松分布）

第二章講到離散型隨機變量的分布，其中泊松分布是最貼切生活的重要分布之一。它主要來描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布，比如在一段時間內發生的地震次數、特大洪水次數、商場接聽電話次數等都近似服從泊松分布。其分布律為：

PX=k=λkκ！e-λ（2）

利用案例講解分析泊松分布的實際應用：客服接聽電話的案例，假設每一個來電是相互獨立隨機的，一個小時內客服接聽來電數量就符合泊松分布。同樣使用Python模擬的方法繪制本案例的泊松分布曲線，更加直觀深刻地加深學生對于泊松分布的理解。假設每個小時來電數量分別是5和10（即SymbollA@

=5和SymbollA@

=10）。最后讓學生總結規律以及不同SymbollA@

值對于泊松分布曲線的影響。

Python程序設計代碼如圖3：

程序運行結果如圖4所示：

（三）項目實驗——連續型隨機變量分布實驗——正態分布

第二章講到連續型隨機變量的分布，其中正態分布是所有分布中最常用也是最重要的分布。它可以來解決生活中許多概率問題，而且正態分布有許多獨特的性質，比如概率分布曲線成對稱性、x軸是漸近線以及3SymbolsA@

規則等。其概率密度函數為：

fx=1?2πσe-（x-μ）22σ2，-SymboleB@

<x<+SymboleB@

（3）

其中SymbolsA@

（SymbolsA@

>0）、SymbolmA@

是常數。講解完正態分布的密度函數以后，對應給出密度函數曲線圖形，同時讓學生利用Python模擬繪制不同SymbolsA@

、SymbolmA@

的值對于密度函數曲線圖形的影響，總結規律。

Python程序設計代碼如圖5：

程序運行結果如圖6所示：

（四）項目實驗——拋硬幣實驗

第五章講到伯努利大數定律時，從理論上說明了頻率和概率的關系，即概率是由頻率推導出來的，且頻率依概率收斂于隨機變量的概率值，

其定理如下：對于任意給定的SymboleA@

>0有

limn→SymboleB@

Pmn-p<ε=1（4）

實際上要得到概率的值，就需要進行大量獨立重復的試驗，且重復試驗次數越多，頻率越接近概率。為了更加直觀地表達大數定理的含義，利用Python編寫代碼模擬拋硬幣實驗，繪制拋硬幣次數的多少與正面朝上出現的頻率的動態變化關系曲線，總結規律，從拋硬幣的實驗上驗證大數定理。隨著試驗次數的增加逐步體現出頻率穩定性的結論。

Python程序設計代碼如圖7：

程序運行結果如圖8所示：

三、結論

針對本課程目前存在的教學痛點問題，團隊教師幾年來一直在積極參與教學改革創新探索，秉承“以學生發展為中心”的思想，提出把Python軟件引入課堂教學中，充分發揮Python軟件的功能，模擬“概率統計”中的定理、公式模型，繪制曲線圖形。這樣的創新改革不僅豐富了教學手段和教學內容，便于數形結合思想的運用，而且把感知、理解、運算和應用融為一體，通過可視化圖形更加直觀地為學生揭示數學原理的本質和內在聯系，從而激發學生學習本課程的積極性和興趣，使學生更好地理解概率統計的實際應用，以及更好地將這些知識應用于實際問題的解決方案中，提升課堂教學質量。

參考文獻：

［1］郭良棟，武力兵.大數據時代下《概率論與數理統計》課程教學改革的研究與實踐［J］.教育教學論壇，2018，358（16）：149150.

［2］黎薇.基于翻轉課堂概率論與數理統計課程教學研究［J］.當代教育實踐與教學研究，2020（04）：2324.

［3］尚云艷.創新教育下概率論與數理統計課程教學改革研究［J］.新課程研究，2021（21）：2627.

［4］王劍凌.概率論與數理統計課程的教學改革——以創新創業教育為導向［J］.科教文匯，2020（07）：5758+86.

［5］尹慧，周末.《概率論與數理統計》課程“三聯兩強一創”教學創新的研究與實踐［J］.數據，2022（09）：104106.

［6］田苗，陳俊英，王福順.概率論與數理統計課程“四合三聯”創新性教學體系探索［J］.中國大學教學，2022（08）：6367.

［7］劉鐵.基于WA的數學建模與實驗融入概率統計課程的案列設計——防疫檢測效率提升模型及其改進［J］.安康學院學報，2022，34（04）：4953.

［8］劉明姬.大學數學課程實驗在教學改革中的探索——Mathematica在概率統計中的應用教學研究［J］.吉林廣播電視大學學報，2016（05）：82+91.

［9］劉澤顯，劉志偉，王勤龍.基于Matlab的概率統計實驗教學的探索與實踐［J］.賀州學院學報，2014，30（04）：122126.

［10］王書芹，郭小薈.基于百度AI?Studio平臺+騰訊課堂的“Python程序設計”課程線上教學［J］.江蘇師范大學學報（自然科學版），2023，41（01）：7375.

基金項目：2022年度教育部產學合作協同育人項目（項目編號：220502116300328）

作者簡介：姚海云（1990—?），女，漢族，內蒙古烏蘭察布人，博士研究生，副教授，研究方向：太赫茲微納器件。