基于計算機仿真的功能梯度陶瓷材料剛柔耦合動力學問題研究

蔡麗江

（廣州華商學院 廣東 廣州 510030）

0 引言

轉子葉片用陶瓷材料可作為旋轉中心剛體—柔性梁結構進行動力學研究，在熱環境下高速旋轉的葉片所承受的熱應力以及旋轉剛體運動與柔性梁變形耦合作用對葉片的工作強度會產生很大的影響［1－3］。 本文針對具有內冷通道且截面尺寸不一致的旋轉中心剛體—梯度功能材料柔性梁在熱環境下的動力學特性進行了研究，先后分析了物理彎曲引起的非線性耦合變形量和外高溫、內冷卻條件下柔性梁的溫度場分布，并通過計算機仿真說明了葉片陶瓷材料的實際動力學特征。

1 功能梯度陶瓷材料模型建立

具有內冷通道的旋轉中心剛體—FGM 柔性梁模型如圖1 所示。 中空的柔性梁安裝在圓形橫截面的中心剛體上，中心剛體半徑為R，圍繞Z 軸高速旋轉，O－XYZ是模型運動的慣性坐標系。τ為驅動系統旋轉的外部作用力的力矩，l為柔性梁長度，he（x）為梁的橫截面高度，be（x）梁的橫截面寬度，內冷通道即中控部分的高度和寬度分別為hi（x）和bi（x）。

圖1 旋轉中心剛體－FGM 柔性梁模型

柔性梁的外表面兩側采用的是耐高溫陶瓷材料，且由外到內材料按照冪律漸變為金屬，具體的材料梯度分布形式如式（1）所示。

具體的參數取值分別為am＝2.3×10－5，Km＝204，ρm＝2.707×103kg／m3，Em＝7.0×1011Pa，ac＝1.0×10－5，Kc＝209，ρc＝3.0×103kg／m3，Ec＝1.51×1011。

1.1 熱傳導方程

本文的研究基于轉子葉片在相對穩定高溫條件下的動力學特性，因此將外部溫度T1和內冷溫度T0設定為恒定值，由此柔性梁的熱傳導方程可表示為式（2）所示。

假定橫向對稱面兩側實心處的溫度為T0，那么實心部分的邊界條件即如式（3）所示。

式（2）與式（3）相結合可得到實心部分的溫度分布函數如式（4）所示。

1.2 動力學方程

針對柔性梁的物理變形所建立的浮動坐標系o′xyz如圖2 所示。 該坐標系中o′x軸與慣性坐標系OX軸的夾角為θ，由于FGM 梁沿厚度方向材料的冪律漸變，所以柔性梁的熱傳導系數k（y）、熱膨脹系數a（y）、材料密度ρc（y）、彈性模量E（y）均為以y為自變量的函數。

圖2 FGM 梁浮動坐標系

在圖2 中，柔性梁發生變形后其任意一點p在浮動坐標系中的矢量半徑表達式如式（5）所示。

2 計算機仿真分析

2.1 已知大范圍運動

葉片處于加速旋轉和勻速運轉交替的工作狀態，本文首先對已知葉片轉速變化規律的旋轉中心剛體—FGM 柔性梁系統特性進行分析。 在大范圍運動已知的條件下系統的轉動角速度變化規律可由式（6）所示：

式（6）中，ω0＝4 rad／s，Tt＝15 s，即加速旋轉15 s 后梁的轉動角速度達到4 rad／s，自此開始角速度維持不變。

建立3 種不同形式的簡化葉片模型，即等截面實心梁（equal section solid beam，ESSB） 模型、等截面空心梁（equal section hollow beam，ESHB）模型、變截面空心梁（tapered hollow beam，THB）模型。 對這3 種模型的動力學特征進行對比。

以上3 種模型的尺寸數據如下：

（1）ESSB：L＝8 m，b1＝1.985 9 mm，h1＝3.675 9 cm；

（2）ESHB：L＝8 m，be＝2.808 5 mm，he＝5.198 5 cm，Bi＝1.985 9 mm，hi＝3.675 9 cm，gi＝0.293；

（2）THB：L＝8 m，be＝3.439 7 mm，he＝6.366 8 cm，Bi＝1.985 9 mm，hi＝3.675 9 cm，gi＝0.634。

當N與ΔT均為0 時，整個柔性梁均為陶瓷材料且不受熱，為了證明本文的建模方法是正確的，設定Qc＝Qm并進行仿真，圖3 為仿真結果，通過與杜超凡等［4］的對比兩者的結果是一致的。

圖3 模型驗證仿真實驗結果

大范圍運動已知條件下3 種葉片模型尾部變形情況如圖4 所示。 由圖4（a）可見，等截面實心梁的尾部變形量最大，其次為等截面空心梁，與葉片實際結構接近的變截面空心梁尾部變形量最小。 由圖4（b）可見，在大范圍旋轉角速度維持不變的狀態下，柔性梁產生固定周期的振動，其中頻率最高、振幅最小的是變截面空心梁，頻率最低、振幅最大的是等截面實心梁。 由此說明柔性梁的結構對其動力學特性具有較大影響，因此必須根據實際結構創建系統模型。

圖4 大范圍運動已知條件下梁尾部變形情況

大范圍運動已知條件下承受不同熱沖擊時柔性梁尾部變形情況如圖5 所示。 由圖5（a）可見，柔性梁內外部溫差越大，其尾部的變形量越小，這是因為高溫一側的陶瓷材料熱膨脹系數低，而溫度相對較低的一側金屬材料膨脹系數高，且柔性梁的梯度材料分布是對稱的，從而抑制了梁的橫向彎曲變形，抑制能力也隨著溫差的增大而持續增強。 由圖5（b）可見，大范圍運動維持不變時柔性梁內外溫差越大，熱沖擊的影響越明顯，主要表現為梁的振動頻率升高、周期變短，同時會產生高頻振蕩，而且抑制強度越高振動的幅度越大。

圖5 不同熱沖擊作用時梁尾部橫向總變形情況

設定柔性梁內外溫差為ΔT＝300 K，在此條件下變截面空心梁尾部變形量及穩態響應受到功能梯度指數N的實際影響如圖6 所示。 由圖6（a）可見，柔性梁尾部的變形量會隨著功能梯度指數N的遞增而變大，且當N＜10 變化量較大，之后N繼續增大時變形量僅發生較小的增長變化。 由圖6（b）可見，穩態響應過程中振幅的變化是非線性的，隨著N的遞增振幅先增大后減小之后又持續增大，曲線的拐點分別為N＝3 和N＝7。

圖6 N 的變化對梁尾部變形情況的影響

2.2 未知大范圍運動

渦輪葉片工作過程中是在外力的驅動下旋轉的，因此需要針對已經外力矩的狀態進行動力學研究。 以時間為變量的外力矩函數表達式為式（7）所示［5］：

式（7）中，Tt＝10 s，τ0＝1N·m。

對于ESSB、ESHB、THB 這3 種模型，排除熱沖擊影響的大范圍運動未知狀態下的柔性梁尾部橫向彎曲變形情況進行數據分析。 3 種柔性梁尾部變形量的差別相對于大范圍運動已知狀態下的變形量差別是一致的，ESSB 的尾部變形量最大，THB 的最小。 外力矩消失后，柔性梁開始周期性地持續振動，其中ESSB 的振動頻率最低、振幅最大，而THB 的振動頻率最高、振幅最小。

在大范圍運動未知狀態下，施加驅動力的外力矩較小，因此熱沖擊的驅動作用不能被忽略，實際上，此時葉片的旋轉作用力是外力矩和熱沖擊作用耦合施加的，因此該狀態下柔性梁尾部的變形應基于這種耦合作用進行研究。由此可見，由于溫度場的作用柔性梁的變形產生了高頻振蕩，而且溫度越高振蕩幅度越大。 此時，梁的振動已不再呈現周期性，隨著時間的推進，在熱沖擊的耦合作用下變形量會持續增大。

分析不同熱沖擊作用時大范圍運動狀態下中心剛體的角位移時程能夠進一步分析計入熱沖擊作用后柔性梁不再進行周期性振動的原因。 隨著內外溫差的升高，外力矩消失后中心剛體旋轉角位移的變化幅度有所增加，因此Tt＞10 s 后運動響應開始波動，且隨著時間的推進振動愈加劇烈。 在大范圍運動未知狀態下外力矩與熱沖擊作用耦合驅動系統旋轉，熱力耦合使得運動的初始階段就產生了高頻振蕩，即使撤去外力矩，在熱沖擊的作用下柔性梁仍保持了這種高頻振蕩的狀態，而且振幅有所增加，并帶動了剛體隨之旋轉，由此剛柔熱耦合效應開始出現。

設定內外溫差ΔT＝2 K，分析隨著外力矩τ0的增加THB 尾部橫向彎曲變形情況。 隨著τ0的增加，熱沖擊作用所引發的振蕩效應逐漸變弱，Tt＞10 s 后大范圍運動保持穩定振蕩也隨之逐漸平穩，如果增大外力矩熱沖擊作用的影響會有所減小。 設定內外溫差ΔT＝2 K，對功能梯度指數N對梁尾部橫向彎曲變形的影響進行數值仿真分析。 柔性梁尾部變形量會隨著N的遞增而增大。 此時的高頻振蕩是在熱沖擊與彈性變形的耦合作用下產生的，N的變化改變了柔性梁的材料結構，進而改變了其振型與固有頻率，分析可知，N增加到10 時外部作用對柔性梁的變形振蕩影響較小。

3 結語

本文對旋轉中心剛體—功能梯度材料梁剛柔熱耦合動力學特性進行了研究。 基于物理變形研究了不同結構形式下柔性梁的動力學特性，對大范圍運動已知狀態下熱沖擊作用對梁的變形所產生的影響進行了分析，說明了大范圍運動未知狀態下熱沖擊與彈性變形結合的剛柔耦合作用對柔性梁所產生的振蕩效應。 本次研究深入分析了高速旋轉的中心剛體—FGM 梁的剛柔熱耦合動力學特性，對于陶瓷材料轉子葉片在高溫狀態下的運動強度研究具有一定的參考價值。