考慮齒形誤差影響的擺線針輪承載特性分析

李天興,夏鑫博,吳 丹,姚 建,代 震,張 陽

(1.河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003; 2.慈溪技師學院 機械工程系,浙江 寧波 315327)

0 引言

旋轉矢量(rotate vector,RV)減速器是工業機器人最核心的零部件[1-2],而擺線針輪副的承載特性決定了RV減速器的承載能力和傳動精度[3-4]。受加工設備和生產工藝的限制,擺線輪的齒形誤差無法根除,因此探究擺線輪齒形誤差對擺線針輪副承載特性的影響十分重要。

許多學者在擺線輪齒形誤差及其承載嚙合特性方面進行了研究。文獻[5]利用消隙法分析了擺線針輪副的承載特性,解決了傳統方法難以判別嚙合區間的不確定性問題。文獻[6-7]綜合考慮了擺線輪的齒廓誤差,提出了RV擺線針輪副真實嚙合側隙和嚙合點的確定方法,解決了真實嚙合位置和理論嚙合點不一致的難題。文獻[8]依據嚙合原理對擺線輪真實齒面進行了嚙合分析,獲得了考慮齒廓誤差的擺線針輪副真實傳動誤差。文獻[9]同時考慮了擺線針輪的側隙和齒廓誤差,發現齒廓誤差會導致擺線針輪副的真實嚙合齒數減少,擺線針輪負載集中。文獻[10]考慮了擺線輪齒廓誤差,利用有限元構建了擺線輪真實齒廓誤差模型,分析了齒形誤差和嚙合接觸力之間的關系。文獻[11-12]考慮了擺線輪齒廓誤差,分析了擺線針輪副的嚙合特性,空載傳動誤差較理論狀態增加了近百倍。文獻[13-14]結合擺線輪的齒廓誤差與修形量,構建了真實狀態下的擺線針輪嚙合模型,探究了齒形誤差與嚙合應力和傳動誤差的關系。文獻[15]考慮了擺線輪磨損狀態下的齒廓誤差,提出了擺線針輪真實傳動誤差與扭轉剛度的計算方法。綜上所述,擺線針輪副的負載嚙合特性分析大多是在不考慮齒形誤差的理想情況下進行的,與工程應用中的實際狀況差異較大,而關于齒形誤差影響下的實際承載特性的研究相對不足。

鑒于此,本文綜合考慮了擺線輪的齒形誤差,提出了1種能夠反映實際嚙合狀態的擺線針輪副承載特性分析方法,探究了擺線輪齒形誤差對其承載特性的影響,期望為RV減速器承載性能的提升和預控提供有效的保證。

1 擺線針輪副誤差齒廓接觸分析

1.1 擺線輪誤差齒廓

為確定擺線輪的齒廓誤差,本文以擺線輪齒根點為測量起點,根據離散點接觸跟蹤測量方法對擺線輪進行單齒廓測量。擺線輪誤差齒廓模型如圖1所示,以設計齒廓R上P0點為例,過其法矢n,確定與P0對應的實際齒廓R*上的點P*,兩點間的偏差為齒廓誤差δ′:

圖1 誤差齒廓模型

δ′=(R*-R)n。

(1)

(2)

其中:(xc(αi),yc(αi))為擺線輪設計齒廓坐標,nxc(αi),nyc(αi)為單位法矢量在x、y上的分量。

由式(2)得到的擺線輪齒面離散點無法表征擺線輪的連續齒廓,因此需要對離散點進行擬合。三次非均勻B樣條曲線對擺線輪真實齒廓具有較高的擬合精度,故本文選用該方法重構擺線輪實際齒廓。擺線輪的齒寬為常數,故可忽略其齒寬誤差,將其簡化為二維模型,此時擺線輪誤差齒廓方程為:

(3)

其中:n為控制頂點數;Ni,3(u)為三次B樣條基函數;Pi為控制頂點矢量;參變量u的取值為0≤u≤1。

1.2 擺線針輪齒面接觸分析

為直觀表述擺線針輪的嚙合形態,在保證其嚙合特性不變的情況下,通過坐標轉換原理建立了擺線針輪嚙合坐標系,如圖2所示:(xf,yf)為定坐標系,Of為坐標原點;動坐標系(xp,yp)和(xc,yc)分別與針輪和擺線輪固連,Op、Oc為對應坐標系原點;原點Of與Op重合,φ1和φ2分別為針輪和擺線輪的轉角;Op和Oc之間的距離為偏心距a;β是針齒參量角。

圖2 擺線針輪副嚙合坐標系

根據輪齒嚙合原理可知,擺線輪和針輪在嚙合位置處的位置矢量和單位法矢分別相等,則E-TCA方程組可表示為:

(4)

方程組(4)中有3個非線性方程,4個未知量,無法求解。假定主動輪轉角φ1初始值為φ10,以Δφ為增量,以初始嚙合點為起始點,利用牛頓迭代法求解E-TCA方程,可得到一系列對應的嚙合參數,直至針齒脫離嚙合。

分析擺線針輪接觸模型要先明確初始嚙合點位置,齒形誤差導致使用節點確定擺線針輪初始嚙合點位置的常規方法不再適用,本文利用針輪轉角來確定其初始嚙合點。將擺線輪保持固定不動,依次滾動所有針齒,直至接觸擺線輪,對比各針齒轉角,其中轉角最小的針齒與擺線輪的嚙合點即初始嚙合點位置。

由于擺線輪存在齒形誤差,傳統的嚙合間隙計算公式無法真實表達其嚙合間隙,文獻[16]給出了包含擺線輪齒形誤差的嚙合間隙di(i為針齒號):

(5)

其中:(xpi,ypi)為針齒中心坐標;(xci,yci)為擺線輪距針齒中心最近的齒廓坐標;rrp為針輪曲率半徑。

2 考慮齒形誤差的承載模型及分析策略

空載時,擺線針輪副僅有1對齒嚙合,其他輪齒均存在不同的側隙。當施加載荷后,擺線針輪會出現彈性變形,初始嚙合位置的彈性變形最大。將E-TCA模型得到的嚙合間隙和最大彈性變形量進行對比,以此判斷擺線針輪的可能嚙合齒數與區間,結合能量最低原理確定其真實承載特性。

2.1 考慮齒形誤差的承載分析模型

盡管擺線輪存在齒形誤差,但在承載特性分析時仍滿足Hertz接觸理論、變形協調關系和力矩平衡原理?；诖?構建包含齒廓誤差的擺線針輪承載分析模型。

擺線針輪副的接觸印痕在空載時是1條線段,但隨著施加載荷的增大會逐漸變形為矩形。擺線針輪接觸模型如圖3所示。

圖3 擺線針輪接觸模型

根據Hertz接觸理論[17],擺線針輪的接觸半寬ai與彈性變形量δi可表示為:

(6)

(7)

其中:ρi為擺線針輪綜合曲率半徑;Fi為接觸力;b為擺線輪齒寬;μ1和μ2分別為擺線輪與針輪的泊松比;E1和E2分別為擺線輪與針輪的彈性模量;δci和δpi分別為擺線輪與針輪的彈性變形量;ρci為擺線輪接觸點的曲率半徑;rrp是針輪曲率半徑。

擺線針輪副完成多齒同時嚙合的條件是嚙合點處的誤差轉角si滿足變形協調關系。轉角誤差si是由接觸力臂Li、變形量δi和嚙合間隙di共同導致,且處處相等,變形協調關系可表示為:

(8)

由力矩平衡原理可知:當擺線傳動系統達到平衡狀況時,擺線輪所承載的全部力矩T之和為零。在不考慮力的正負號時,力矩平衡方程可表示為:

(9)

其中:n為嚙合齒數;Fi為接觸力;Li為接觸力臂。

江西省水資源的一個不利特點，是時空分布不均、水資源分布與需求不匹配。全年降雨量的60%左右集中在主汛期4—6月，而用水量的60%則集中在主汛期后的7—9月，由于控制性水利工程少，往往出現汛期洪水成災、汛后無水可用的局面。水資源開發利用能力不足，特別是水資源調蓄能力不足、供水保證率不高、水資源開發利用率偏低等問題仍然比較突出。一些水問題逐漸顯現，甚至成為經濟社會發展的制約因素。

2.2 能量最低原理及承載分析策略

由于擺線輪齒形誤差的存在,導致擺線針輪副的真實嚙合齒數及區間難以確定,但其滿足能量最低原理。依據能量最低原理可知,當系統處于平穩狀況時的總能量最低[18-19]。擺線針輪副的系統總能量NE是n個嚙合齒對的嚙合接觸力Fi與彈性變形量δi的乘積之和:

(10)

根據考慮擺線輪齒形誤差時的初始嚙合參數確定方法和承載接觸分析模型,結合能量最低原理,其承載特性分析流程如圖4所示。

圖4 擺線針輪副承載分析流程

(Ⅰ)利用E-TCA模型確定其初始嚙合點位置參數及各嚙合點間隙。

(Ⅱ)負載后,根據初始嚙合點處的接觸力和接觸半寬的非線性關系計算出最大彈性變形量。

(Ⅲ)對比各齒對嚙合間隙和初始嚙合點的最大彈性變形量,判斷可能的嚙合齒數及區間。

(Ⅳ)根據承載嚙合模型,分別計算不同嚙合齒數時各嚙合點處的接觸力和彈性變形量。

(Ⅴ)分析各可能嚙合狀況下的系統總能量,能量最低時的嚙合齒數與區間即真實嚙合狀態。

(Ⅵ)給定針輪初始轉角,利用牛頓迭代法計算E-TCA方程組,獲取各嚙合點的位置參數,直至脫離嚙合。

(Ⅶ)根據擺線針輪嚙合參數,確定承載下的接觸印痕;利用擺線針輪副的真實輸出轉角和理論輸出轉角之差確定承載傳動誤差。

3 齒形誤差對承載特性的影響分析與驗證

本文以RV-40E型減速器中的擺線針輪為例,其基本參數如表1所示。如圖5所示,利用JD45+測量機在擺線輪齒廓上測量了1 200個點,獲取了如圖6所示的擺線輪齒形誤差,齒形誤差中存在1個突異點0.021 mm,為避免該突異點影響擺線輪齒廓重構,對齒形誤差進行了均值濾波處理,此時擺線輪齒形誤差幅度為-0.013～0.011 mm。

表1 擺線針輪基本參數

圖5 擺線輪齒形誤差測量

圖6 擺線輪齒形誤差

利用三次非均勻B樣條曲線對擺線輪實際齒廓進行重構,最大重構偏差為8.6×10-10mm,滿足精度要求,因此可用擬合得到的數字化齒廓探究擺線輪齒形誤差對承載特性的影響。同樣以RV-40E型減速器中的擺線針輪副為例,對其施加T=50 N·m的轉矩進行承載特性分析。

同時為了驗證承載特性分析方法的正確性與可行性,進行了有限元分析。根據表1中的擺線針輪基本參數,結合擺線輪誤差數據,在UG軟件中構建了包含齒形誤差的擺線針輪三維模型,將其導入ABAQUS有限元分析軟件中。采用Free對擺線輪和針輪進行網格劃分,并在接觸面上進行網格加密,網格數分別為216 973和186 769個。將擺線針輪副定義為摩擦因數為0.05的面面接觸。在擺線輪上施加T=50 N·m順時針負載轉矩,在針輪上施加0.02 rad/s的逆時針轉速,施加完全約束來模擬擺線輪的偏心運動。

3.1 承載嚙合區間

根據式(5)計算出擺線針輪副的嚙合間隙分布趨勢,如圖7所示。由圖7可知:2種情況下的第5號齒對處的嚙合間隙均為0,即二者的初始嚙合點均發生在第5對齒。2種情況下的嚙合間隙對比承載后,根據式(7)計算出2種情況下的初始嚙合點處的最大變形量,如圖7所示,紅色和黑色橫線分別表示考慮齒形誤差與不考慮齒形誤差的最大變形量。當齒側間隙小于等于最大變形量時,對應齒對可能參與嚙合,則2種情況下的可能嚙合齒數為1～21。利用能量最低原理分析得出考慮齒形誤差和不考慮齒形誤差的系統最低總能量分別為289.5 J、307.6 J,二者對應的嚙合區間分別為1～15齒和1～16齒,嚙合齒數減少了1對。

圖7 兩種情況下的嚙合間隙對比

有限元分析完成后,在可視化功能模塊查看擺線輪嚙合印痕,如圖8所示。藍色線段代表嚙合痕跡,嚙合區間為1～15齒,齒數為15,第5號針齒的嚙合印痕最寬,代表初始嚙合點發生在第5號針齒處,初始嚙合點、嚙合齒數和嚙合區間與理論結果完全一致。

圖8 擺線輪嚙合印痕

3.2 承載嚙合印痕

利用擺線針輪副的承載接觸模型,分別計算出2種情況的嚙合點位置αi與接觸半寬αi,如表2所示。為便于觀察,將其承載接觸印痕集中于同一齒面上,2種情況下的承載嚙合印痕如圖9所示。由圖9可知:二者嚙合印痕的最寬處與最大差值均在第5號齒對,不考慮齒形誤差時,嚙合印痕由0.144 mm增至0.492 mm,再逐漸減小至0.252 mm;考慮齒形誤差時,嚙合印痕由0.139 mm增至0.518 mm,隨后減至0.247 mm。嚙合印痕峰值增大了0.026 mm,最大差值為5.2%,第4齒到第10齒的嚙合印痕寬度增大,其余齒的嚙合印痕寬度變小,導致受力更加集中。

表2 嚙合點位置及接觸半寬

圖9 擺線輪負載嚙合印痕

3.3 承載嚙合應力

根據赫茲接觸理論可知接觸應力σi的公式為[20]:

(11)

根據式(11)得到了2種情況下的嚙合應力,如圖10所示。由圖10可知:二者變化趨勢均為隨針齒號增大先增至峰值,隨后逐漸減小。不考慮齒形誤差時,最大應力值494.37 MPa出現在第8號齒對處;存在齒形誤差時,最大嚙合應力值520.68 MPa出現在第9號齒對處,峰值應力相差5.3%。這是因為擺線輪齒形誤差導致嚙合點處的接觸力和綜合曲率半徑均發生了變化。

圖10 嚙合點處的接觸應力

在有限元可視化模塊中導出擺線輪的嚙合應力,如圖11所示。由圖11可知:最大嚙合應力為509 MPa,與理論結果相差2.2%,均小于GCr15軸承鋼許用應力,滿足其強度要求,且變化趨勢相同。

圖11 擺線輪的嚙合應力云圖

3.4 承載傳動誤差

傳動誤差Δφe是指傳動裝置的實際輸出轉角與理論輸出轉角的差值[21]:

Δφe=Δφi/i-Δφo,

(12)

其中:i為傳動比;Δφi為輸入轉角;Δφo為輸出轉角。

不斷改變針輪輸入轉角,求解得到對應擺線輪輸出轉角,結合式(12)得到了2種情況下的加載傳動誤差,如圖12所示。由圖12可知:二者呈周期性變化且趨勢一致。不考慮齒形誤差時,隨針輪轉角增加,傳動誤差先逐漸減至最小值-6.489′,再緩慢增至峰值-6.559′,隨后進入到下個周期,傳動誤差曲線的波動幅度為0.07′?？紤]齒形誤差時,隨著針輪轉角的逐漸增加,承載傳動誤差先不斷減小至最小值-6.617′,隨后增至最大值-6.691′,承載傳動誤差波動幅值為0.074′,但在進入下個周期時有明顯跳動?？紤]齒形誤差時的波動幅度增大了5.7%,使得傳動精度和平穩性惡化。

圖12 承載傳動誤差曲線

將有限元分析得到的擺線針輪副的輸入轉角和輸出轉角代入式(12),得到了擺線針輪副在旋轉1周內的傳動誤差,如圖13所示。與圖12中的包含齒形誤差的傳動誤差曲線對比,二者均呈周期性變化,在同一周期內均是先逐漸減小至最小值,再逐漸增大,趨勢基本一致,有限元分析的承載傳動誤差幅值為0.071′,略小于理論結果。這是因為有限元結果受網格劃分精度、邊界約束、接觸對設置等因素的影響,但二者的誤差僅為4%,滿足精度要求。因此仿真分析驗證了理論模型的可行性。

圖13 有限元承載傳動誤差

4 結論

(1)本文綜合考慮了擺線輪的齒形誤差,采用三次非均勻B樣條擬合出擺線輪真實齒廓,基于此,建立了E-TCA分析模型,得知齒形誤差的存在導致實際嚙合間隙增大。

(2)建立了包含齒形誤差的承載接觸分析模型,利用能量最低原理確定了實際承載嚙合區間和負載狀況。

(3)利用有限元模型驗證了理論模型的正確性。由于齒形誤差的影響,同時嚙合齒數減少了1對,嚙合應力和傳動誤差增大了5.3%和5.7%。