相對論變換下的兩種量子信息對稱態研究

楊昊戩

西南交通大學物理科學與技術學院 四川 成都 610031

引言

量子信息是一門研究利用量子物理學的原理和方法來存儲、處理和傳輸信息的學科[1]。量子信息處理有著經典信息處理下難以比擬的技術優越。近些年，隨著量子信息處理的技術的發展，量子態的制備和控制變得愈發重要。量子態的穩定性對于保證通信和計算的正確性具有關鍵作用。

Werner態[2]和isotropic態作為量子信息理論中非常重要的兩種兩體量子混合態，其不僅具有較為重要的基礎研究意義，還有重要的應用價值。

目前，在非相對論量子力學的背景下，Werner態與isotropic態受到了廣泛的研究。然而，相對論變換對于二者的影響并沒有得到充分的研究。

在相對論變換下，由于不同參考系的時間和空間坐標系的變化,量子態的表示也會發生變化。同一個物理現象在不同的慣性系下進行觀察，結果可能會發生改變。

因此，研究Werner態及isotropic態在相對論變換下的變化規律，有助于我們更好地理解量子態的本質和穩定性，并為其在量子信息處理的應用提供理論和實驗的支持。本文旨在研究Werner態及isotropic態在相對論變換下的性質，并探討其在量子信息處理中的應用。

1 Werner態及isotropic態的定義及其性質

量子糾纏是目前量子信息理論的一個關鍵物理量。而量子信息理論的另一個關鍵物理量——量子非局域性，被Bell發現為量子力學的核心性質之一，并得到了實驗驗證。

1989年，在對兩個物理量之間關系的開創性研究中，R.F.Werner提出了一種由兩個粒子的糾纏態混合而成的具有高度對稱的量子態，即Werner態。他用Werner態來分析指出了量子糾纏與貝爾非局域性為兩個不同的物理概念，并首次給出了量子糾纏的嚴格數學定義。

由于其對稱性，Werner態成為研究量子糾纏和非局域性的理想模型，對于我們深入理解量子糾纏性和量子信息學中的一些重要概念具有重要的貢獻。

每個Werner態都是對稱子空間和反對稱子空間上的投影的混合態，d是空間的維數。根據定義，對于作用于d維空間上的所有酉算子，Werner態具有幺正變換后密度矩陣不變的特性，滿足：

而Werner態具有豐富的關聯結構[3]，可以用不同的參數表示，其中一種表達式定義為：

實驗上，可以使用高亮度自發參量下轉換(SPDC)光源成功地合成可調諧的Werner態。通過調節SPDC光源的參數，可以控制Werner態的純態分量相對權重，從而實現任意結構的Werner態的合成，并進行表征[4]。

isotropic態同樣滿足類似的性質：

2 相對論變換的兩比特Werner態及isotropic態

在量子信息領域中，不同的慣性系下，量子態的形式及性質一般隨之改變。而相對論變換后的Werner態及isotropic態是否仍然是原有形式其參數如何變化，這是一個有趣并且具有實際應用價值的問題。具體地，我們討論了兩比特Werner態及isotropic態在Wigner轉動下的變化。

Wigner轉動[6]描述了在相對論框架下兩個慣性系之間的旋轉變換，旋轉變換可以用旋轉矩陣來表示。

兩比特Werner態可以表示為：

兩比特Werner態可以寫成最大糾纏態和完全混合態的凸組合，因此可以通過計算該四階矩陣的特征值與特征向量來判斷任意一個量子態的四階矩陣是否為兩比特Werner態。

再根據公式，可以計算出其變換后的一般性的式子為：

公式中，

假設此處兩比特Werner態中的相對參數x為，進而可以后有：

可判斷其仍為Werner態，且相對參數x和變換前一致仍為。

圖1 與較小時與x的比值

圖2 與趨近于∞時與x的比值

而針對isotropic態，根據公式，兩比特形式下的量子態矩陣為：

同樣，公式經過變換后有：

綜上所述，研究量子態演化時應考慮相對論效應的影響，而兩比特的Werner態及isotropic態在相對論變換下仍為原量子態形式，其相對參數在速度趨近于光速時不變。良好的抗相對論噪聲性質可用應用。

3 結論

本文的主要目的是研究相對論變換對Werner態及isotropi影響。通過計算，得出結論：兩比特Werner態及isotropic態在相對論變換下仍然為Werner態及isotropic態，且其相對參數在速度趨近于光速時不變。未來研究可以進一步討論高維的情形，及對其他常用的量子態進行同樣研究。