不同降雨量下基于宏觀基本圖的邊界控制策略

趙小梅 郝郭宇 牛曉婧 周志前

（北京交通大學 系統科學學院，北京 100044）

近年來，我國機動車保有量迅速增長，交通擁堵問題嚴重，尤其在降雨天氣下更為明顯，極易產生路網擁堵，增加交通管理難度。因此，對不同降雨量下交通流基本規律進行分析與研究，并提出合理的管控策略，具有重要的實際應用價值。

不同降雨量對不同路網的交通流特性影響不同，國內外學者以高速公路、城市快速路以及城市路網等路段或區域為研究對象，針對降雨對交通流特性的影響做了諸多研究，如：張存保等［1］和羅京等［2］研究了不同降雨量（小雨、中雨和大雨）對高速公路交通流的影響，張存保等發現相比無雨的情況，在不同降雨量下路網平均速度分別減小4.7%、9.8%和16.1%，道路通行能力分別減小10.5%、17.4%和27.1%；羅京等得到相比無雨的情況，在不同降雨量下路網最大流量依次減小15.7%、19.1% 和32.5%，自由流速度依次減小4.4%、7.3%和10.6%的結論；Billot 等［3］發現在不同降雨強度下，城市快速路交通流的通行能力減小18.5%～21%，自由流速度減小8%～12.6%；楊中良等［4］對城市快速路在特殊天氣條件下通行能力進行研究，得到城市快速路的通行能力在小雨、中雨和大雨天氣條件下分別降低6%～8%、10%～11%和13%～15%；龔大鵬等［5］深入分析了降雨天氣對城市路網車輛速度的影響，發現受降雨影響快速路、主路和次支路的速度降低依次為15%～19%、9%～15%、5%～8%。但是，現有的國內外研究大多是針對不同降雨量對高速公路的交通流影響，而針對速度較低、車流量較大的城市路網研究很少。

路網宏觀基本圖（MFD）可以用于管控策略的設計，使路網交通流在臨界值以內運行，并保持穩定運行狀態。國內外許多學者提出了基于MFD 的邊界或交叉口控制方法，如：Keyvan-Ekbatani 等［6-8］基于路網MFD 進行反饋閘門控制法研究，通過實驗模擬方式對城市路網進行閘門控制并取得顯著效果；Geroliminis 等［9-11］通過對兩個或多個交通小區建立預測控制模型，提出了兩個或多個相鄰子區之間的邊界優化控制方法；Aboudolas等［12-13］通過多變量反饋調節器對多個MFD 子區進行邊界控制，以保持系統內交通流的穩定性；Ramezani等［14］考慮多子區路網，設計了異構控制器進行分層邊界流量控制，降低路網延誤；Hajiahmadi等［15］基于MFD提出了多區域協調優化控制策略，通過分級控制策略來降低其它區域堵塞程度；廖南楠［16］以路網行程時間最少為目標，構建基于MFD 的邊界交叉口信號控制優化模型；趙靖等［17］通過博弈論分析研究基于MFD的兩個相鄰子區協調控制方法，能夠很好地解決系統內兩個相鄰子區之間的最優邊界控制問題；李軼舜等［18-19］基于路網MFD的特性，提出對于過飽和區域定時信號配時的邊界控制措施。目前基于MFD的邊界控制對考慮不同降雨量影響下路網優化控制策略的研究很少，無法給出不同降雨量下緩解城市路網擁堵的可行策略，因此本文考慮中心城區以及市郊區域路網利用MFD 對不同降雨量下城市路網實施區域管控。

本文以天津市作為研究區域，基于實際數據構建MFD 模型，得到不同降雨量下天津市中心城區和市郊區域路網的交通狀態演化模型并驗證模型的有效性，進而基于MFD 設計不同降雨量下中心城區和市郊區域路網邊界協調優化控制策略，以求緩解降雨天氣對路網交通流的影響，保障路網交通系統的穩定運行。

1 數據分析

我國氣象部門按照降雨強度對降雨等級進行劃分。降雨強度是指單位時段內的降雨量，一般情況以1 h、12 h和24 h為單位時間，我國降雨等級劃分標準［20］如表1所示。本文使用降雨量數據以6 h為單位進行采集，以表1 中24 h 降雨量為標準對選取日期的降雨等級進行劃分。

本文使用的交通流數據由天津市主要道路上的卡口檢測器獲取，卡口檢測器分布如圖1所示，布設在主要道路交叉口的停車線處，總量約600個，覆蓋率達到90%以上，能夠反映城市道路交通情況。當車輛通過卡口時執行抓拍操作，獲取抓拍車輛的信息，原始數據記錄的信息包括車輛通過卡口的時間、車牌號、卡口編號、行駛方向以及卡口所在的位置等。天津市中心城區為內環快速路以內的路網，包含內環快速路，呈現出人車流量大、出行比較集中的特點；市郊區域指外環快速路和內環快速路之間的路網，包含外環快速路，出行相對比較分散。如圖1所示，黑色實線表示研究區域內中心城區邊界，深藍色實線表示研究區域內市郊區域邊界，兩子區之間以內環快速路作為邊界。本文中選取不同降雨量和對應的無降雨時間數據進行對比分析，共選擇11組不同降雨量的工作日數據，如表2所示。

圖1 研究區域地圖圖示Fig.1 Map representation of the study area

表2 降雨量等級及不同時段降雨量和無雨日期Table 2 Rainy levels and different periods of rainfall and norain days mm

1.1 數據處理方法

文中通過路網交通流參數（平均流量、平均速度和平均密度）以及MFD 即路網交通流參數間的關系，對天津市交通狀態演化規律進行分析，其計算方法如下。

（1）平均流量

流量是指在一段時間內，通過道路某橫截面的車輛總數。本文以5 min 為一個時段，全天24 h 共分成288個時段，每個時段每條車道路網的平均流量為

式中：t為時段編號，t=1，2，3，…，288；i為卡口檢測器編號，i=1，2，3，…，n；Ni為卡口i對應路段的車道數；n為路網內卡口檢測器的數量；為時段t路網的平均流量，輛/（小時·車道）；qt，i為時段t通過第i個卡口檢測器的車輛數。

（2）平均速度

路段的平均速度是指在該路段上所有行駛車輛的速度平均值，可通過路段長度與路段上車輛的平均行駛時間之比求得，其中車輛的平均行駛時間是通過提取同一輛車經過相鄰卡口的時間差來獲取的。

式中：vt，j為時段t路段j的平均速度，km/h；Z為車輛編號，Z=1，2，3，…，mt，j；Nt，j為時段t內通過路段j的車輛數；lj為路段j的長度，km；為時段t內車輛Z在路段j上的行駛時間，h。

每個時段路網的平均速度為

式中：j為路段編號，j=1，2，3，…，Nr；Nr為路網內的路段數；為在時段t路網的平均速度，km/h。

（3）平均密度

時段t路網的平均密度記為，輛/（千米·車道），路網的平均密度為該時段的平均流量與平均速度之比，計算公式為

式中：為時段t路網的平均流量，輛（/小時·車道）；為時段t路網的平均速度，km/h；為時段t路網的平均密度，輛（/千米·車道）。

1.2 不同降雨量城市路網交通狀態規律

天津市工作日早高峰時段為7：00—9：00，晚高峰時段為16：00—19：00，其余為平峰時段。通過對不同降雨量下的天津中心城區以及市郊區域路網交通流和降雨數據進行處理與對比，計算得到如表3所示的統計對比結果。表3 是對表2 中所有日期的交通流數據進行計算，從平均流量、平均速度以及平均密度三方面總結不同降雨量對中心城區與市郊區域路網交通流特征的影響?；诒? 可以發現，在小雨和中雨環境中，路網平均流量以及平均密度相對于無雨環境均呈現出增長趨勢，市郊區域路網增加幅度更大；但在大雨環境中，兩種類型路網的交通流特征值變化存在顯著差異。將其異同點進行具體總結如下。

表3 不同降雨量對交通流特征的影響（06：00—22：00）Table 3 Influence of different rainfall on traffic flow characteristics（06：00—22：00） %

1.2.1 小雨

（1）對于路網的平均流量，整體上，中心城區和市郊區域路網相比，無雨時平均流量均增加，市郊區域增加的幅度更大。在早高峰時段降雨，路網平均流量增加更明顯。

（2）對于路網的平均速度，整體上，中心城區和市郊區域路網相比，無雨時平均速度均減小，市郊區域減小的幅度更大，在降雨時段內，單位時間內降雨量越大路網平均速度減小的越快。

（3）對于路網的平均密度，整體上，中心城區和市郊區域路網相比，無雨時平均密度均增加。早高峰降雨量越大，路網平均密度增幅越大，市郊區域遠大于中心城區的增加幅度。

（4）對于路網MFD，市郊區域在早晚高峰路網MFD 散點分布較為離散，在部分研究日期內出現“回滯現象”，如圖2（a）所示，以出現“回滯現象”的日期3月24日為例，展示了市郊區域路網早高峰流量-密度散點圖，可以發現在路網平均密度大于20輛/（千米·車道）時，隨著平均密度的增加，平均流量開始緩慢增加，隨后略有減小，且減少過程中路網平均流量低于上升過程路網平均流量。但是中心城區路網MFD 散點在各個時段分布都較為集中，且沒有“回滯現象”出現。

圖2 市郊區域早高峰回滯現象Fig.2 Hysteresis phenomenon of early peak in suburban area

1.2.2 中雨

（1）對于路網的平均流量，整體上，中心城區和市郊區域路網相比，無雨時平均流量均增加，在早高峰時段市郊區域增加的幅度更大。

（2）對于路網的平均速度，整體上，中心城區和市郊區域路網相比，無雨時平均速度均減小，在早高峰時段市郊區域減小的幅度更大。市郊區域相比中心城區路網平均速度較大，并且速度的波動性也較大。

（3）對于路網的平均密度，整體上，中心城區和市郊區域路網相比，無雨時平均密度均增加，在早高峰時段市郊區域增加的幅度更大。

（4）對于路網MFD，市郊區域在早晚高峰MFD密度散點分布較為離散，且部分研究日期內出現“回滯現象”。圖2（b）以出現“回滯現象”的日期5 月22 日為例展示了市郊區域路網早高峰流量-密度散點圖，可以發現當路網密度大于20 輛/（千米·車道）時，平均流量在減少過程中其值低于上升過程平均流量值。而中心城區無“回滯現象”出現。

1.2.3 大雨

在大雨的環境條件下，對于路網的平均流量以及平均密度，中心城區和市郊區域的整體路網變化相比無雨時，無較統一的規律。對于路網的平均速度，市郊區域路網的整體平均速度略增大，但是中心城區整體路網平均速度變化沒有較統一的規律。

2 問題描述與建模

2.1 中心和市郊區域路網動態演化模型

由于天津市不同降雨量下的中心城區和市郊區域路網交通狀態演化過程不同，構建交通狀態演化模型如圖3所示。該模型用流量的輸入、流量的轉移和流量的輸出來描述交通狀態的演化過程。其中路網i為中心城區路網(i=1)和市郊區域路網(i=2)。市郊區域路網有恒定的外部輸入流量A2；兩個路網之間的轉移流量Fij(i=1，2；j=1，2；i≠j)與路網i的平均流量成線性比例關系，其中F12為中心城區路網到市郊區域路網的轉移流量，F21為市郊區域路網到中心城區路網的轉移流量；市郊區域向外部的輸出流量E2與路網2的平均流量成線性比例關系；Q(Ki)為每個路網的MFD 模型，Ki為路網i的平均密度。通過平均密度表示路網交通狀態，可以得到不同降雨量的中心城區和市郊區域路網的交通狀態演化方程式為

圖3 交通狀態演化模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of traffic state evolution model

式中：Li為路網i的道路長度，km；Kj為路網臨界密度，輛/（千米·車道）；qi為路網i的平均流量，輛/（小時·車道）；Q(Ki)=qi表示路網i的MFD 函數，輛/（小時·車道）；E2為路網2 的輸出流量，輛/（小時·車道）；PE2=E2/Q(K2)表示路網2向外部輸出流量與平均流量的比例；PFij=Fij/Q(Ki)表示路網i到路網j的轉移流量與路網i平均流量之比。

2.2 中心和市郊區域路網動態演化模型標定

為緩解城市路網交通擁堵問題，本文選擇不同降雨量下早高峰時段路網交通流數據與無雨相比變化較大且發生擁堵的日期進行分析，對表2中11組數據的宏觀交通流狀態進行綜合分析，選取小雨（6 月6 日）、中雨（6 月22 日）、大雨（7 月6 日），進行路網動態演化模型標定。

為了方便模型求解，利用三次函數分別構建不同降雨量下中心城區和市郊區域路網MFD。Q(K1)、Q(K2)分別為中心城區路網以及市郊區域路網平均流量，K1、K2分別為中心城區以及市郊區域路網平均密度，結果如圖4 以及式（6）、（7）和（8）所示。

圖4 中心城區和市郊區域路網宏觀基本圖擬合曲線Fig.4 MFD fitting curves of road network in central and suburban area

由圖4（a）可以得到：

由圖4（b）可以得到：

由圖4（c）可以得到：

為了驗證模型參數的擬合優度，本文基于決定系數R2對不同降雨量時中心城區與市郊區域MFD函數的擬合優度進行計算：

式中：y為實際數值；f為預測數值；為實際值的平均值，用于評估預測值與實際值的符合程度，其值介于0～1之間，越接近于1，回歸擬合效果越好。不同降雨量時中心城區與市郊區域MFD 函數決定系數的計算結果如表4所示，可以發現擬合優度R2均大于0.9，可認為上述MFD函數擬合程度良好。

表4 不同降雨等級不同路網類型MFD函數標定結果Table 4 Calibration results of MFD functions with different rainfall levels and different road network types

轉移比例PTij為不同降雨量時中心城區和市郊區域路網之間的轉移流量Fij與該路網的平均流量Q(Ki)之比，通過選取日期的交通流數據計算不同降雨量時中心城區和市郊區域路網流量轉移比例，結果如表5 所示?？梢园l現：對于PT12，有雨相比無雨都有不同程度的減小，其中變化比較大的是小雨，其次是大雨、中雨。對于PT21，變化比較大的是大雨，其次是中雨、小雨，其中中雨是增大，小雨和大雨是減小。綜上所述，有雨與無雨相比較，會增加路網的擁堵程度，整體變化比較大的是小雨，其次是中雨、大雨。

表5 不同降雨量時中心城區和市郊區域路網流量轉移比例對比Table 5 Statistical comparison of traffic transfer ratio of road network between urban areas and suburban areas with different rainfall

輸出比例PE2為路網輸出流量E2與該路網平均流量之比，通過選取日期的交通流數據計算不同降雨量時市郊區域路網向外部的輸出流量比例，結果如表6 所示，其中變化最大的是大雨，其次是中雨、小雨，小雨和中雨降雨條件下市郊區域路網向外部的輸出流量比例減小，大雨天氣條件下輸出流量比例增大。

表6 不同降雨量時市郊區域路網輸出比例統計對比Table 6 Statistical comparison of road network output proportion in suburban areas with different rainfall

通過上述MFD 擬合函數以及參數標定，用Matlab 對式（6）、（7）和（8）所示動態演化的模型進行求解，圖5為早高峰不同降雨量中心城區和市郊區域路網平均密度的動態演化曲線與實際密度的對比圖，其中曲線表示模型求解得出的不同降雨量中心城區和市郊區域路網的平均密度演化曲線，散點為其實際平均密度。為了驗證模型的有效性，計算動態演化模型與實際數據之間的決定系數，結果如表7 所示。表7 表明，模型求解的動態演化曲線和實際數據的趨勢基本一致，且擬合優度R2均大于0.9，驗證了模型效果良好。

圖5 早高峰時段中心城區和市郊區域路網的交通狀態演化曲線Fig.5 Evolution curve of traffic state of road network in urban and suburban area during early peak hours

表7 不同降雨等級動態演化模型有效性驗證Table 7 Validation of dynamic evolution models with different rainfall levels

根據結果，可以看出隨著時間的推移，中心城區相比較市郊區域路網平均密度更易向阻塞密度演化，中雨最容易出現擁堵，其次是大雨、小雨。根據交通狀態演化曲線，當中心城區的平均密度達到40 輛/（千米·車道）時，對應市郊區域在小雨、中雨和大雨天氣條件下的平均密度分別是30 輛/（千米·車道）、30 輛/（千米·車道）和25 輛/（千米·車道），說明市郊區域路網較為暢通，能夠進行調控。

2.3 不同降雨量下城市路網優化策略

2.3.1 區域邊界控制策略

考慮中心城區和市郊區域路網的流量分布差異問題，將中心城區和市郊區域路網作為整體控制系統，建立區域控制模型。

設控制時段為t，在控制時段t時區域內路網的流入流量為A(t)、流出流量為E(t)、平均流量為Q(t)，下一控制時段t+1時路網的平均流量為

當高峰時段路網平均密度達到臨界值時，通過限制流入路網邊界的車流量，將路網的平均流量維持在最大流量以內，區域路網的流入流量邊界控制策略為

式中：t為控制時段，h；Qa為區域路網的最大流量，輛/（小時·車道）；Q(t)為t時段內區域路網的平均流量，輛/（小時·車道）；A(t)為t時段內區域路網的流入流量，輛/（小時·車道）；E(t)為t時段內區域路網的流出流量，輛/（小時·車道）。

2.3.2 區域內部優化控制策略

根據對中心城區和市郊區域路網宏觀交通狀態的分析，相比中心城區路網，市郊區域路網較為暢通。當中心城區路網的平均流量接近最大流量時，可以通過限制市郊區域路網流量向中心城區路網轉移，即限制由市郊區域路網向中心城區路網的轉移流量與市郊區域平均流量的比例PT21(t)以及市郊區域路網的流入流量A2(t)，關閉一些通往中心城區路網邊界的匝道、調控入口信號燈周期和在交叉口設置警示牌以提醒出行市民中心城區的路況等措施；也可以增大中心城區路網流量向市郊區域路網的轉移比例，即增大中心城區路網向市郊區域路網的路網轉移流量與中心城區平均流量的比例PT12(t)以及市郊區域路網的流出流量E2(t)，通過市郊區域路網高速免費、播報實時路況信息，采取錯峰出行的引導措施來減小中心城區路網壓力。

（1）目標函數

通過上文中對天津市不同降雨量時中心城區和市郊區域路網交通狀態的分析，可以發現不同降雨量時中心城區和市郊區域的路網交通狀態有很大差異：市郊區域相比較中心城區整體路網平均流量小，路網平均速度較大，且速度的波動性也較大，平均密度小。針對天津市不同降雨量時中心城區和市郊區域路網的交通狀態差異，為使路網在臨界狀態下平均流量最大化，本文以中心城區和市郊區域路網最大流量與路網平均流量的方差最小為目標函數，即

式中：Qai為路網i的最大流量，輛/（小時·車道）；Qi(t) 為t時段內路網i的平均流量，輛/（小時·車道）。

（2）約束條件

根據車流平衡方程可以得出下一時段各路網的平均流量為

中心城區和市郊區域路網的流出流量和轉移出的流量總和應該不大于該路網的平均流量，計算式為

式（14）可以轉化為

中心城區和市郊區域路網的流入流量和轉移的流量總和小于該路網的最大流量，計算式為

3 結果分析

通過邊界控制改變中心城區和市郊區域路網轉移比例、市郊區域路網輸出比例或者市郊區域路網輸入比例，使天津市中心城區和市郊區域路網在不同降雨量下交通量能合理分布，路網平均密度盡可能不向阻塞密度演化，減少擁堵路段，優化控制模型通過Matlab 中FMINCON 函數對非線性規劃問題求解得出。

3.1 小雨天氣路網控制策略

在小雨天氣條件下，對PF12、PF21、A2及PE24 參數中的任一參數進行控制均能實現中心城區和市郊區域路網交通流在臨界值以內運行，具體見表8?？紤]臨界值解的大小以及控制方案的實際可行性，降雨等級為小雨時對PT21參數進行控制更符合實際，取PF21分別減小3%、9%和15%進行分析，結果如圖6（a）所示。當PF21減小9%時，路網密度達到30 輛/（千米·車道）且不再增加；當PF21減小量為15%時，中心城區路網平均密度減小，市郊區域路網平均密度沒有太大變化，中心城區路網呈現出很好的調控效果；當PF21減小量為3%時，中心城區路網平均密度增加，因此，將PF21減小量控制在9%～50%范圍之內時路網調控的效果更好。

圖6 不同控制條件下交通狀態演化曲線Fig.6 Evolution curve of traffic state under different control conditions

表8 邊界控制參數臨界值解（單一變量）Table8 Critical value solution of boundary control parameters（Single variable）

3.2 中雨天氣路網控制策略

在中雨天氣條件下，單一變量只有控制市郊區域路網輸入比例A2才可以實現中心城區和市郊區域路網交通流在臨界值以內運行，其它參數無法實現，具體見表8。而單獨控制A2并且減小到一半以上很難控制，因此，通過調控兩個變量可提供兩種策略：

控制策略1 從中心城區向市郊區域的交通流量轉移比例PT12增加54.84%，市郊區域路網輸出比例PE2增加27.3%；

控制策略2 從市郊區域向中心城區的交通流量轉移比例PF21減小23.08%，市郊區域路網輸出比例PE2增加29.2%。

比較控制策略1和2，在數值上控制策略2需要調控的量值較小，因此保持PE2增加29.2%不變，PT21分別減小15%、23%和30%進行分析，結果如圖6（b）所示。當PT21減小23%時，路網密度達到30 輛/（千米·車道）且不再增加；當PT21減小量為30%時，兩個路網向阻塞狀態演化，路網平均密度增加；當PT21減小量為15%時，中心城區路網平均密度增加比較明顯。綜上所述，當降雨等級為中雨時需要動態調整兩個及兩個以上的參數，無明顯的變化規律，需要具體變量具體分析。

3.3 大雨天氣路網控制策略

在大雨天氣條件下，對PF12、PF21及A23 個參數中的任一參數進行控制均能實現中心城區和市郊區域路網交通流在臨界值以內運行，具體見表8。和小雨天氣條件下一樣，對PT21參數進行控制更符合實際，取PT21分別減小15%、23%和30%進行分析，結果如圖6（c）所示。當PT21減小23%時，路網密度達到30 輛/（千米·車道）且不再增加，當PT21減小量為30%時，中心城區路網平均密度減小，市郊區域路網平均密度沒有太大變化，中心城區路網呈現出很好的調控效果。當PT21減小量為15%時，中心城區路網平均密度增加，因此將PT21減小量控制在23%～50%范圍之內時路網調控的效果更好。

綜上所述，根據圖6，紅色實線為實測數據的交通狀態演化曲線，不同降雨量下，中心城區和市郊區域路網的平均密度均向阻塞狀態演化，中雨天氣條件下最明顯，其次是大雨和小雨。其它顏色的曲線為不同條件下邊界控制后的演化曲線，從圖中可以看出，通過邊界控制，中心城區和市郊區域路網的平均密度不再增加并且比實測數據明顯減小，兩個路網的交通狀態更加均衡。

4 結論

本文得到的主要結論如下：

（1）對不同降雨量時中心城區和市郊區域的交通流變化進行對比，在小雨和中雨天氣條件下，市郊區域路網與中心城區相似，相比無雨情況，路網平均流量增大，平均速度減小、平均密度增大，但整體變化幅度市郊區域路網更大；在大雨天氣條件下，相比無雨情況市郊區域與中心城區路網交通流變化趨勢都沒有較統一的規律。

（2）不同降雨量下，對于路網MFD 變化規律，市郊區域在各個等級降雨條件下，早晚高峰路網MFD密度散點分布均較為離散，其中在小雨、大雨的早高峰時段以及中雨條件下均出現“回滯現象”，而中心城區僅在中雨早高峰時段出現“回滯現象。

（3）不同降雨量下，中心城區與市郊區域路網的宏觀交通流特性不同，中心城區相比較市郊區域路網平均密度更易向阻塞密度演化，且中雨環境下更容易出現擁堵。

（4）基于MFD 設計不同降雨量下中心城區和市郊區域路網邊界協調優化控制策略能夠有效的提高中心城區和市郊區域路網的運行狀態。