考慮不同失效模式的索桿結構構件面積缺損限值研究

鄧滿宇 袁行飛 董永燦

（1.浙江大學 空間結構研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江大學 平衡建筑研究中心，浙江 杭州 310058；3.浙江大學 建筑設計研究院有限公司，浙江 杭州 310058）

索桿結構是一類以鋼拉索與鋼壓桿為基本單元組成的結構體系［1-3］，廣泛應用于各種大型公共建筑中。由于鋼材料的特性，長期暴露于空氣中的該類結構會出現銹蝕現象。受其影響，鋼構件的截面面積會發生損失，構件性能及結構抗力會隨之不斷退化［4］：輕則發生不適用的變形，重則發生結構倒塌破壞［5］。因此，對索桿結構的容許面積缺損限值進行研究，控制結構抗力的退化水準具有重要的工程意義。

Daniels等［6］采用纖維束模型研究了鋼索銹蝕斷絲引起的內力重分布問題，并指出銹蝕斷絲會改變剩余鋼絲的加載應力路徑歷程；Stallings等［7］用蒙特卡洛法對鋼索疲勞可靠度進行了模擬，比較了不同概率分布對鋼絲疲勞壽命的影響；Liu等［8］研究了焊接空心球節點在腐蝕和除銹條件下的力學性能，并建立了具有統計分布和腐蝕損傷動力學的實用腐蝕評估方法；孫華懷等［9］提出了基于應力強度因子的銹蝕鋼絲斷裂準則，通過模擬研究了拉索中鋼絲逐層銹蝕斷裂對拉索力學性能的影響；陳聯盟等［10］研究了構件截面面積變化對索穹頂結構整體魯棒性的影響；肖南等［11］建立了以應力為癥狀的可靠度方法，并對大氣腐蝕下的網架結構剩余壽命進行了分析，結果表明在銹蝕所致的性能退化條件下，結構可靠度和結構剩余壽命以設計年限為基準逐漸遞減。以上工作大多針對銹蝕后的鋼桿和鋼索力學性能變化開展研究，針對既有索桿結構受銹蝕影響后的整體結構性能研究雖有一定涉及，但還沒提出系統的分析方法，且現有研究大多是基于結構現狀進行分析，繼而判定結構是否安全，對于結構在剩余服役期的安全預測較少提及。同時，國內規范對于結構銹蝕限值尚處于探索階段，不利于結構服役過程中的健康監測及維護工作。因此本文針對面積缺損可能造成的3種主要失效模式，提出了計算構件面積損失限值的方法，擬通過該方法確定發生對應失效模式下的面積限值，從而方便判斷結構是否安全。

本文基于可靠度理論，結合結構的兩類極限狀態，建立了考慮強度失效、松弛失效及變形失效3 種失效模式下的臨界狀態方程與可靠度限值控制不等式。通過銹蝕發展模型及力學推導給出各個方程中參數的求解方法。分析研究索桿體系的面積缺損限值這一量化判斷標準，擬為既有結構的可靠性及實際工程的監測鑒定工作提供參考。

1 基于可靠度理論的不同失效模式

我國國家標準GB 50068—2018《建筑結構可靠性設計統一標準》中指出：結構或結構的一部分超過某一特定狀態就不能滿足設計規定的某一功能要求，此特定狀態為該功能的極限狀態。根據標準和相應設計規范，結構的極限狀態可分為兩種，即承載能力極限狀態與正常使用極限狀態。對于索桿結構而言，承載能力極限狀態應考慮構件強度失效與鋼索松弛失效兩類問題，正常使用極限狀態應考慮節點變形失效問題。

結構功能函數Z可用結構抗力變量R與荷載效應隨機變量S來表示：

式中，R與S均滿足一定的分布。當Z＞0時，結構處于安全狀態；當Z＜0時，結構處于不安全狀態；當Z=0時，結構處于臨界狀態。

設R的期望為μR、標準差為λR，S的期望為μS、標準差為λS，則結構可靠度指標的定義為

如果結構的狀態方程中含有n個獨立隨機變量{G1，G2，…，Gn}，且每一個變量Gi的均值為μGi，標準差為λGi，則結構狀態方程與可靠度指標可以表示為

式中，m0為影響Z的常量，mi為隨機變量的權重系數。式（3）中，如果變量Gi之間不是相互獨立的，則還需計算協方差矩陣來消除變量之間的相關性。下面分別討論3種失效模式下的臨界狀態方程及不等式組。

1.1 構件強度失效

考慮到構件的面積變化量相對較小，結構的性能變化近似線性，所以不同構件的面積缺損對于同一根構件的內力影響可線性疊加。由于構件是獨立制作的，且單根構件面積缺損對于整體誤差分布模式的影響有限，根據林德伯格-萊維定理［12］，構件面積缺損近似于正態分布。

當構件的內力超過某一限值時，構件將會發生強度失效問題。設結構共有ne個構件（其中索的數量為nes）、nn個節點，將各個構件的面積缺損作為隨機獨立變量，建立第i根構件的強度失效臨界狀態方程為

式中：Tci為第i根構件的最大內力容許限值，該限值與構件的類別及其對應材料的強度有關；Ti為考慮面積缺損后的第i根構件的內力值；α1i為Tci的安全系數，其取值越小，Tci的強度儲備越大，容許面積缺損限值則越小，α1i=1時，結構及構件將不再考慮額外的強度儲備；φi為拉壓桿件穩定系數，當構件受拉時，φi=1，當構件受壓時，φi為受壓構件的穩定系數，應按GB 50017—2017《鋼結構設計規范》取值。

式（5）中，

式中，為第i根構件不考慮面積缺損的內力值，ΔAj為第j根構件的面積缺損限值，mij為第j根構件發生單位面積缺損時對第i根構件內力的影響系數。

結構的安全度可以通過可靠度指標β來衡量［13］，根據式（4）、（6）進一步建立第i根構件達到強度失效時的可靠度指標βi：

式中，μj與λj分別為第j根構件面積缺損限值ΔAj的均值與標準差。

可靠度指標β與失效概率Pf有一一對應的關系：

式中，Φ(·)為標準正態分布概率函數。

要保證結構的安全度，需使得失效概率Pf=其中與分別是保證結構安全的容許失效概率與可靠度指標限值?？汕蟮忙隆荭隆?，代入式（7），化簡可得到以下可靠度指標限值控制不等式：

設結構共含有ne個構件，則可得

式中：Mne為構件內力影響系數矩陣，

λ為面積缺損標準差矩陣，

Tcβ為內力可靠限值矩陣，

1.2 鋼索松弛失效

當鋼索的內力小于某一限值時，鋼索將會發生松弛失效。建立第i根鋼索的松弛失效臨界狀態方程為

式中：Tsi為拉索維持結構外觀及剛度的最小預張力；α2i為Tsi的安全系數，其取值越大，鋼索的松弛強度儲備越多，通過計算得到的容許面積缺損限值則越小，α2i=1時，結構及構件將不再考慮額外的松弛強度儲備。Tsi可按下式計算［14］：

式中，W為拉索自重，L為拉索跨度，w為不影響結構外觀的拉索垂度，一般取w≤，θ為拉索與地面的夾角。

同理，建立第i根構件達到松弛失效時的可靠度指標βi：

以及可靠度指標限值控制不等式：

整理所有構件的可靠度指標限值控制不等式，并將其表示成矩陣形式可得

式中：Mnes定義為鋼索內力影響系數矩陣，

Tsβ為松弛可靠限值矩陣，

強度失效模式與松弛失效模式下的臨界狀態方程組中面積缺損標準差矩陣λ相同；同時，鋼索內力影響系數矩陣Mnes是構件內力影響系數矩陣Mne的子矩陣。

1.3 節點變形失效

設結構有nn個節點，當結構構件出現面積缺損時將會導致結構剛度降低，從而導致節點位移增大。而節點的位移超過某一限值時，將會發生變形失效。建立第k個節點的變形失效臨界狀態方程：

式中，Hck為第k個節點的最大變形容許限值，本文取結構跨度的1/250 進行控制，Hk為考慮面積缺損影響后的第k個節點構件的變形值，α3i為Hck的安全系數，其取值越小，Hck的變形儲備越多，通過計算得到的容許面積缺損限值則越小，α3i=1時，結構及構件將不再考慮額外的Hck變形儲備。

式（16）中，

其中，為第k個節點不考慮面積缺損影響的變形值，ηkj為第j根構件發生單位面積缺損時對第k個節點變形的影響系數。

同理，建立第k個節點達到變形失效時的可靠度指標βi：

以及可靠度指標限值控制不等式：

整理所有構件的可靠度指標限值控制不等式，并將其表示成矩陣形式可得

式中：Nnn定義為節點變形影響系數矩陣，

Hcβ為位移可靠限值矩陣，

當一種及以上失效模式出現時，說明結構的安全可靠度已不滿足相應設計要求，此時應對結構進行預警，并在具體分析后采取相應的措施。

2 可靠度指標限值控制不等式求解

由式（2）、（4）可知，可靠度指標βi是變量Gi的均值μGi與標準差λGi的函數，因此要計算構件面積誤差限值，首先要確定{μ1，μ2，…，μne} 與{λ1，λ2，…，λne}的范圍。通過3種失效模式下的可靠度指標限值控制不等式（10）、（15）、（20）可知，若要滿足其求解條件，需確定3 類影響系數矩陣Mne、Mnes、Nnn與3類可靠限值矩陣Tcβ、Tsβ、Hcβ。

2.1 影響系數矩陣的確定

對于一個具有nn個節點（其中節點自由度數為na，約束節點自由度數為nb）、ne個構件（其中拉索與壓桿數量分別為nes、neb）的鉸接體系，其靜力平衡方程為

式中，x∈R3nn為節點坐標矢量，K為剛度矩陣，q∈Rne為構件的力密度矢量，A1∈R3nn×ne為對應于力密度q的平衡矩陣，P∈R3nn為外荷載矢量，節點自由度數為na=3nn-nb。

基于小變形假定，對于桿件i而言，結構中所有桿件的內力向量t∈Rne可集合為

式中，EAL-10反映桿件的軸向剛度，V∈Rne為總變形矢量，L0∈Rne為構件初始長度矢量，L∈Rne為構件變形后的長度矢量，L=L0+V，E∈Rne為構件楊氏模量矢量，A∈Rne為構件橫截面積矢量。

同理，結構中所有桿件的力密度向量以及應力向量可集合成為

式中，σ∈Rne為構件應力矢量。

將式（23）代入式（21）可以得到

當結構發生了節點變形及截面積變化時，結構力學性能會隨之改變。因此，為了考慮這兩種因素產生的影響，在平衡方程式（21）中，對x和A進行全微分，得到

將式（25）代入式（26），整理可得如下表達式：

同理，在式（24）中，對變量x進行求導可得

對式（24）重新整理并對A與σ進行全微分可得

變形后構件長度對節點位移的偏導等于協調矩陣：

且BL與平衡矩陣A1具有如下的關系：

整理可得

式中，Cn=EAL-10，為構件剛度的對角矩陣。

式中，Ka(：，i)為Ka矩陣的第i列，Ine(：，ai)為ne階單位矩陣Ine的第ai列。將Ka轉置左乘于Mne矩陣，即可獲得鋼索內力影響系數矩陣Mnes，表達式如下：

2.2 鋼材的銹蝕

可靠度指標限值控制不等式含有兩類變量μ和λ，因此無法直接求解。在此，引入常見建筑鋼材的銹蝕模型來確定各個構件的銹蝕面積均值。

Feliu等［4］對大氣腐蝕和環境數據進行了統計處理，建立了鋼材等金屬材料的一般銹蝕模型。該模型如下：

式中，D為銹蝕深度，te為暴露時間，U、n'為與環境和鋼材種類相關的參數。國內的學者梁彩鳳等［15］結合國內氣候環境，歷經16 年的暴露腐蝕實驗，針對多種鋼材擬合出了相同形式的銹蝕模型，并確定了相應參數選擇范圍。其中U值主要與環境有關，隨污染程度的增加而遞增；鋼材種類對U值影響較小，一般隨合金含量的增加而降低，其取值范圍一般為0.02～0.10 mm。n'值表征腐蝕的發展趨勢，隨鋼材種類和環境變化極大，n'值最低可以取0.3，最高可達1.89。

鋼材的腐蝕程度具有一定的隨機性，相同環境與時間下，同組鋼材的銹蝕深度也會存在一定的偏差。上述銹蝕模型代表某一類型的鋼材在特定環境、特定暴露時間下的平均水準，可作為面積缺損的均值進行計算。

此時式（10）、（15）、（20）中，內力可靠限值矩陣Tcβ、松弛可靠限值矩陣Tsβ及位移可靠限值矩陣Hcβ均可通過式（36）進行計算得到，此時βi僅為{λ1，λ2，…λne}的函數。當給定可靠度指標限值時，即可以確定{λ1，λ2，…，λne}的范圍。根據拉依達準則［16］，構件面積缺損限值與其均值和標準差存在以下關系：

根據式（37），可以計算構件面積缺損限值。因此{λ1，λ2，…，λne}范圍的確定是求解構件面積缺損限值的關鍵。

2.3 面積缺損限值的非線性規劃分析

βi是{λ1，λ2，…，λne}的多元函數，其求解問題歸屬于數學規劃中的求解問題。

基于數學規劃［17］，可以求得在給定可行域下的目標函數最優解。優化問題的通用模型如下：

式中，x1，x2，…，xp為設計變量，fr(x)為目標函數，gs(x)、hq(x)為約束函數。其中，gs(x)為不等式約束函數，hq(x)為等式約束函數。當目標函數與約束函數是設計變量的非線性函數的優化問題時，此類問題成為非線性規劃問題。

將可靠度指標限值控制不等式（10）、（15）、（20）作為約束函數進行非線性約束。在設計空間中，約束函數構成的超曲面和半空間組成了可行域，落在可行域內的每一個設計點均滿足全部約束條件。顯然，這些點距離原點越近，可靠度越高，面積銹蝕的限值越??；距離原點越遠，可靠度越低，面積銹蝕的限值越大。因此，為了保證構件安全的前提下獲得最大的面積銹蝕限值，需要在可靠度允許的范圍內找出一個盡可能遠離原點的取值點。因此，該問題為單目標非線性規劃問題，其設計變量和目標函數建立如下：

式中，f1(λ)為構件面積缺損方差和的負值，該函數越小表明構件面積誤差限值越大。

至此，在確定出目標函數后，非線性規劃問題的基本框架已經建立。然而，還應從實際問題出發，抽象出對該問題的其他數學約束條件，以保證所得解的合理性和可行性。

Novák 等［18］在相關和不相關隨機變量函數變異系數的有效估計問題研究中指出，實際問題中材料的特性通常都是服從正態分布的，并且變異系數ν≤0.5；同時在數學定義中標準差是一個非負數。因此，在實際的構件銹蝕問題中，應根據上述性質取適當的界限約束，其表達式如下：

為對應鋼材和銹蝕環境下的變異系數。

服從正態分布的隨機變量取值概率規律為越靠近均值μ取值概率越大，反之則越小。因此在可行域中，式（42）計算出的是概率最大的標準差。取ne維空間內的最大概率點通過該點找尋另一點使得點Pλˉ距離點Pλ*最短，且Pλˉ處于可靠度約束邊界上。定義Pλˉ為可靠約束置信點，可以看出Pλˉ是滿足約束條件下取值概率最大的點，通過該點設計一個可靠約束置信域，使得求解的目標點Pλ=(λ1，λ2，…，λne)同時處于該置信域及可靠度邊界（目標可行域）內?？煽考s束置信域表達式如下：

其中，η為可靠約束置信系數，用來約束設計變量的離散性，取值為0 ≤η≤1?？煽考s束置信域的大小受η影響，隨η的增大而減小。取值點Pλ因此應取適當的η值來約束設計變量的離散程度，使得求解的面積誤差既滿足安全可靠度要求，又有較高的置信水平。根據式（37）即可計算出面積缺損限值。

需要注意的是，當Pλ*處于可行域內部時，表明式（41）的約束作用過強，最終求解出的目標點Pλ將處于可行域內部而非可靠度約束邊界上。這說明即使發生這種程度的銹蝕也不會對結構安全產生影響，因此求解出的結果并非真正影響結構安全可靠度的面積缺損限值?？梢詫⒔獬龅拿娣e缺損“作用”于結構上，削弱結構的部分可靠度與剛度矩陣K，在此基礎上通過以上方法再次求解，直至Pλ*處于可靠度約束邊界上。此時的求解結果即為滿足結構可靠安全要求下的臨界面積缺損值。

綜上所述，基于可靠度理論及數學規劃的索桿結構面積缺損限值確定的流程圖如圖1所示。

圖1 基于可靠度理論及數學規劃的索桿結構面積缺損限值確定的流程圖Fig.1 Flow chart for determining area-loss limits of cable-strut structure based on reliability theory and mathematical programming

3 算例分析

3.1 算例模型參數

上述推導過程闡述了基于可靠度理論的3種失效模式下，索桿結構面積缺損限值的確定方法。以下通過一Levy型索穹頂算例來說明具體的求解過程及結果。

圖2 所示索穹頂模型跨度為60 m，設置2 道環索，環向12等分。拉索的極限抗拉強度為1 670 MPa，彈性模量為1.95 × 105MPa；壓桿的屈服強度為345 MPa，彈性模量為2.06 × 105MPa。結構最外圈節點處約束x、y、z方向的位移。荷載信息：恒荷載取0.5 kN/m2，活荷載取0.5 kN/m2。其中活荷載考慮滿跨分布與半跨分布兩種工況。根據對稱性和構件的類型，可將構件分成11組，如圖2所示。各組構件的截面積、初始預內力如表1所示。

表1 Levy型索穹頂各類構件基本信息1）Table 1 Basic information of each member of Levy cable dome

圖2 Levy型索穹頂結構布置示意圖Fig.2 Schematic diagram of layout of Levy cable dome structure

假設結構容許失效概率為0.001‰，可得β≥βˉ=4.753。式（36）所示銹蝕模型中各類構件的銹蝕參數取值與材料銹蝕的變異系數取值如表2所示。

表2 Levy型索穹頂各類構件銹蝕模型參數Table 2 Parameters of corrosion model for each member of Levy cable dome

3.2 面積缺損限值計算

3 種失效模式中，強度失效模式下壓桿與拉索的臨界強度分別取345 MPa 和835 MPa 進行控制；鋼索松弛失效下的各拉索松弛內力臨界值可由式（12）計算得到，如表3所示；節點變形失效下的臨界值取跨度的1/250，即Hck=24 mm 進行控制?？紤]到影響結構安全的因素中，極限強度起決定性作用，其余因素都可以體現在承載力下降上［19］，因此僅式（5）中α1i的安全系數取0.95，使得計算中結構及構件在強度上有一定的儲備，式（11）與（16）中的系數α2i與α3i均按1.0進行取值。

表3 Levy型索穹頂拉索松弛內力臨界值Table 3 Critical value of relaxation internal force of Levy cable dome

通過式（27）、（33）可以計算得到矩陣dxA與dtA，對其進行平方并集合為矩陣形式可進一步得到構件內力影響系數矩陣Mne與節點變形影響系數矩陣Nnn，如圖3、圖4 所示，其中，在此基礎上通過式（35）可以得到鋼索內力影響系數矩陣Mnes，結果如圖5所示。通過對比可以看出圖5是圖3 的一部分，對應于鋼索內力影響系數矩陣Mnes是構件內力影響系數矩陣Mne的子矩陣。

圖3 構件內力影響系數矩陣Mne曲面示意圖Fig.3 Schematic diagram of surface of members’ internal force influence coefficient matrix Mne

圖4 節點變形影響系數矩陣Nnn曲面示意圖Fig.4 Schematic diagram of surface of node deformation influence coefficient matrix Nnn

圖5 鋼索內力影響系數矩陣Mnes曲面示意圖Fig.5 Schematic diagram of surface of cables’ internal force influence coefficient matrix Mnes

進行面積缺損限值計算時，式（43）中的可靠約束置信系數η取0.95，用于約束變量的離散性；通過Matlab 中的fmincon 函數可實現非線性規劃的優化求解，最終得出Levy型索穹頂在3種失效模式下的面積缺損限值，并從中選取最不利工況下的計算結果進行對比。同時《民用建筑可靠性鑒定標準》中為保證結構的安全性（不低于bu級），要求鋼結構主要受力構件的截面平均銹蝕深度不大于0.1t（t為銹蝕部位構件原截面壁厚），且鋼索構件中的斷絲總數不超過5%；在耐久性（不低于bu級）計算中，要求鋼構件平均銹蝕深度不大于0.1t；在使用性（不低于bu級）規定中，要求鋼構件存在不影響使用的局部表面缺陷及損傷，但無明確的量化計算限值［20］。因此這里僅對安全性和耐久性的規范限值進行對比。經計算可以得到相應的規范容許限值，對比結果如圖6所示。

圖6 3種失效模式下面積缺損限值與兩種規范限值的對比Fig.6 Comparison of area-loss limits under three failure modes and two specification values

從圖6可以看出，在3種失效模式下，構件強度失效下的面積缺損限值最大，鋼索松弛失效與節點變形失效下的面積缺損限值較小。與規范限值相比，索桿結構中的多數構件在強度失效與變形失效下的面積缺損限值要高于耐久性限值，而鋼索松弛失效下的面積缺損限值則低于耐久性限值。這說明耐久性限值相對于強度失效與變形失效下的面積缺損限值較為嚴格，按照該規范要求制作并維護結構時，一般不會發生強度失效和變形失效。而相對于松弛失效下的面積缺損限值則顯得比較寬松，即按照規范要求，索桿結構仍有較大的概率發生松弛失效，從而導致結構突破正常使用極限狀態或者承載力極限狀態。

對于安全性限值而言，構件的規范限值低于3 種失效模式下的計算限值，其中桿件的規范限值與耐久性限值相同。這主要是因為在規范中，鋼構件的安全性與耐久性要求相同，而對于鋼索構件的安全性，規范還有額外的條文規定。然而在規范中，對于鋼索構件耐久性限值以及鋼結構構件的使用性限值，尚無明確規定。因此針對一個具體的結構，應從3個不同失效模式出發進行面積缺損限值分析，并結合規范控制結構構件制作及服役期間的面積缺損限值。

4 結論

（1）基于可靠度理論與索桿結構的兩種極限狀態，提出了考慮結構3種失效模式的構件面積缺損限值確定方法。通過設定可靠度指標限值，建立了相應失效模式臨界狀態下的可靠度指標限值控制不等式組。

（2）推導了以構件面積為變量的內力、位移變化公式，通過該公式可以快速地求解面積缺損情況下的構件內力變化及節點的位移變化，給出了3種失效模式下可靠度指標限值控制不等式組的系數矩陣確定方法。該方法簡化了一般的力學求解過程，為索桿結構的力學性能計算提供了便捷。

（3）通過非線性規劃，將復雜的多元數據求解問題轉化為非線性最優解求解問題，提出了一種完整的索桿結構面積缺損限值的確定方法。通過分析并與規范限值進行對比，可以看出現有規范在耐久性與使用性上的限值規定存在不足，按照規范容許限值進行構件制作及后期維護，結構發生鋼索松弛失效的概率較大，而發生構件強度失效與變形失效的概率很小。安全性限值對于鋼索構件較為嚴格，對于鋼桿構件則與耐久性限值相同。因此在考慮結構的面積缺損限值時，應綜合考慮3 種失效模式，并按最嚴格的面積缺損限值進行控制。