雙面共體反射鏡結構優化設計與分析

馬 霖，譚雙龍，閆 磊，馬思宇，吳洪波，張 新

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.應用光學國家重點實驗室，中國科學院光學系統先進制造技術重點實驗室，吉林 長春 130033）

引言

紅外成像具有全天候工作、穿透力強、抗干擾能力強、受天氣影響小、制導精度高等優點，在偵察探測、導引等領域發揮了重要作用[1-2]。反射鏡作為紅外光學系統中的重要部件，面形穩定性、輕量化率是衡量其性能的關鍵指標。通過拓撲優化技術可以在保證剛度最大化的同時，提高反射鏡的輕量化率，國內外學者也對此做出了諸多研究。在較早的時候，國外Park 等以自重、拋光壓力作為載荷條件，獲得高輕量化的鏡體為目標，利用拓撲優化技術優化單面反射鏡背部的材料分布形式，并加工制造反射鏡體進行驗證[3]。David K 通過尺寸優化的方式以最大剛度為目標，優化鏡面厚度、筋板厚度等參數，得到了一種背板開放的高輕量化鈹反射鏡[4]。韓國LEE 等人通過尺寸優化的方式，對某大口徑鏡體背部肋的厚度和安裝位置進行優化，使其應力應變分布更加均勻[5]。如圖1 所示，從左到右分別為Park，David，LEE 優化所獲的單面反射鏡。

圖1 國外反射鏡優化示例Fig.1 Examples of mirror optimization overseas

國內方面，大連理工大學Liu Shutian 等人通過拓撲優化技術，以最大剛度為目標，對大型空間反射鏡背部的結構形式進行尺寸參數優化和形狀優化，完成高剛度高輕量化反射鏡的優化設計[6]。長春光機所Liu Guang 等人將拓撲優化結合尺寸優化，利用連續體拓撲優化技術獲得了材料的最優分布，根據拓撲結果對輕質肋分組進行尺寸優化，得到最優解[7]。如圖2 所示，從左到右依次為Liu Shutian，Liu Guang 優化的單面反射鏡。

圖2 國內反射鏡優化示例Fig.2 Examples of mirror optimization in domestic

此外，西安光機所、安徽光機所的研究人員也基于拓撲優化方法對反射鏡展開很多研究[8-10]。但上述研究均為針對單面反射鏡的優化工作。隨著光學系統產品高集成化、輕量化的發展，多鏡面共體化、集成化方案的緊湊優勢逐漸凸顯出來，受到了越來越多研究人員的關注[11-13]。相比于單面反射鏡，雙面共體反射鏡集成度更高，更適合應用在對重量要求苛刻的輕巧紅外光學系統中。但雙鏡面對支撐剛度要求更高，如果剛度不足，2 個反射鏡面變形相互耦合，對整個光學系統的像質影響會疊加放大，故設計難度更高。需確保2 個反射鏡面自身剛度足夠大且相互之間影響最小，同時為了滿足使用需求，還需要有足夠的輕量化率，這就極大地增加了設計難度?；谏衔乃鰢鴥韧庋芯咳藛T對單面反射鏡的優化方法，將其應用在雙面共體反射鏡的設計中是否可行，目前此方面的研究甚少。在此基礎上，本文結合拓撲優化和尺寸優化方法，對某同軸四反紅外光學系統中主四鏡共體結構展開優化設計，并對最終設計方案進行分析和測試，驗證優化設計方法的有效性。

1 優化方法

1.1 拓撲優化

由于結構的多樣性，傳統設計優化時需要大量的迭代，而拓撲優化可以設定載荷和約束條件，給出既定目標和優化變量，通過算法計算出設計域中相對最優布局，給設計提供參考和支撐，極大地提高了設計效率。拓撲優化流程如圖3 所示。

圖3 拓撲優化設計流程Fig.3 Flow chart of topology optimization design

拓撲優化中常用變密度法，它源于微觀結構等效的思路，以元素的相對密度為設計變量，通過密度從0 到1 的空間配置變化來實現拓撲結構。0 表示該區域無密度，存在的必要性低，應盡量優化掉該部分；1 表示該區域存在的必要性大，需要保留[14]。反射鏡結構拓撲優化過程中，通常關注反射鏡的面形精度變化RMS 最小，而現有的拓撲優化商業軟件不能直接使用RMS 作為優化目標[15]。為了最小化RMS，需要保證整個反射鏡鏡體具有足夠大的結構剛度來抵抗變形，避免外載荷影響下面形精度變化過大，故本文以剛度最大即柔度最小作為目標函數，約束整體鏡體體積分數，保證輕量化設計條件下，設計剛度最大的雙面共體反射鏡鏡體。數學模型如下：

式中：ρi為相對密度；U為全局位移矢量；K為全局剛度矩陣；F為全局負載向量；V為結構的總體積；υi為單位體積；N為變量數[16]。

1.2 尺寸優化

通過拓撲優化可以確定材料的合理分布形式，但最優分布形勢下的最佳尺寸還需要進一步確認，這就用到尺寸優化[17]。尺寸優化是在形狀不變的基礎上，對參數進行優化，其設計變量可以定義為殼單元厚度、梁單元截面積等。本文以最小柔度為目標，一階頻率和筋板質量為約束條件，尋找最佳尺寸參數。數學模型如下：

式中：ti為筋板厚度；f1為一階頻率；為設定的約束頻率；Mass為求解域質量；為設定的約束質量。

2 優化設計

2.1 光學系統參數

傳統同軸四反光學系統設有四塊反射鏡，本文采用主、四共體的思路，使布局更加緊湊，但對主、四共體反射鏡鏡體的設計提出了更高的要求。系統光路如圖4 所示。紅外系統方案中，反射鏡口徑為186 mm，工作波段8 μm～12 μm，設計要求總質量低于1 kg，主、四鏡面形RMS 要求低于λ/5（λ=632.8 nm），自重對主、四鏡面形RMS 影響要求低于λ/20，一階頻率要求大于400 Hz。

圖4 同軸四反光路圖Fig.4 Optical path diagram of coaxial four-mirror system

2.2 材料選擇

隨著超精密加工技術的突飛猛進[18]，鋁合金材料因重量較輕、加工性能優良，廣泛應用在光學領域。鋁合金既可以做結構件，也可以做光學件，可以設計成光、機同種材料，更好地實現整機被動無熱化，且制造成本相對玻璃陶瓷更低[19-21]。本文主四鏡材料選擇鋁合金6061-T6，材料屬性見表1 所示。

表1 鋁合金6061-T6 屬性Table 1 Properties of aluminum alloy 6061-T6

2.3 初始模型設計

首先需要確定支撐形式，反射鏡支撐種類一般包括中心支撐、背部支撐、側面支撐、周邊支撐四種方式。根據平板理論[22]，反射鏡的支撐點數目可由下式計算：

式中：R為 反射鏡半口徑，單位為in；E為材料的彈性模量，單位為lb/in2；δ為允許的PV 值，單位為in，為保證裕度充足取δ=λ/20（λ=632.8 nm）；t為反射鏡厚度，單位為in；ρ為材料密度，單位kg/m2。主鏡口徑大于四鏡，將表2 所示主鏡各參數代入公式（1）進行計算。

表2 反射鏡結構參數Table 2 Structural parameters of mirror mm

計算得到N=1.54，表明采用3 點支撐形式已足夠保證鏡體的面形不受支撐點數量多少的影響。為了避免過約束帶來的非必要的鏡面變形，不再引入過多支撐，最終采用3 點支撐的形式。

本文拓撲優化設計的雙面共體反射鏡有限元模型如圖5 所示。其中藍色部分為非設計區域，分別包括3 個支撐耳，主鏡面和四鏡面；黃色區域代表設計區域，F1、F4 分別代表主、四鏡上模擬加工拋光壓力設置的負載。優化目標時，選擇主、四鏡面柔度最小為優化目標。柔度是變形與負載的比值，反射鏡柔度最小可以等效負載條件下的面形變化最小[23]。約束設計區域時優化體積分數在0.3 以內，確保足夠的輕量化率。固定安裝耳的圓孔，按水平放置的自重載荷和加工拋光壓力設置負載。本文雙面共體反射鏡無表面改性及鍍膜工序，可以被動消熱且無需考慮雙金屬效應等影響，設置去除材料的方向關于光軸對稱。

圖5 拓撲優化有限元初始模型Fig.5 Initial finite element model of topology optimization

2.4 拓撲優化

經過51 輪迭代，計算結果逐漸收斂到一個較穩定的狀態。拓撲優化后隱去主鏡面非設計區域及隱去四鏡面非設計區域的材料密度分布圖如圖6 所示。圖6 中紅色表示材料密度為1，即對剛度貢獻最大的地方（主、四鏡鏡面區域為非設計區域，也顯示為紅色）；藍色表示材料密度為0，為可以去除的材料。

圖6 拓撲材料密度分布圖Fig.6 Density distribution diagram of materials by topology

為了便于觀察，隱掉材料密度小于0.6 kg/m2的部分，如圖7 所示。拓撲優化結果表明，在上述設置條件下，主鏡面與四鏡面通過以光軸方向為中心呈輻射形排列的筋板固定時剛度最高。

圖7 材料密度大于0.6 kg/m2 分布結果Fig.7 Distribution results of density greater than 0.6 kg/m2

2.5 尺寸優化

根據最佳材料分布密度，考慮實際加工情況，對筋板分布進行微調，建立主、四鏡及筋板面網格模型，如圖8 所示，鏡面和筋板均賦予為殼單元屬性。尺寸優化方式上，有尺寸參數化優化和自由尺寸優化供選擇。參數優化結果為等厚結果，本文中需要對2 個鏡面厚度尺寸優化，參數化優化對鏡面尺寸限制較大，采用自由尺寸優化可以獲得鏡面不同半徑位置處的厚度，故采用自由尺寸優化，將筋板、主鏡面、四鏡面設為3 個獨立的設計域。在分析軟件中將主鏡面柔度變量和四鏡面柔度變量通過光學分配的權重系數整合成一個變量，以加權后的變量柔度最小為優化目標，負載設置同上述2.3 節，約束整體一階頻率及筋板的總質量。

圖8 尺寸優化網格模型Fig.8 Mesh model for size optimization

兩鏡面和筋板自由尺寸優化后的結果如圖9所示。為確保足夠的剛度，在鏡面內孔與筋板交界處，9 根筋板中，與安裝耳（綠色）連接的尺寸值較大，為4.5 mm，其余筋板為1.5 mm，2 個鏡面靠近內徑部分厚度為7.5 mm，邊緣為4 mm。

圖9 自由尺寸優化結果Fig.9 Results of free size optimization

參考優化結果，綜合考慮鏡體剛度、輕量化率、安裝適應性、傳統加工銑削進給刀方向、拋光鍍膜等加工工藝制造過程，對部分結構進行細化，最終設計的主四鏡模型如圖10 所示。

圖10 最終設計的主四鏡模型Fig.10 Final design of primary-fourth mirror model

最終模型3 個支撐耳分別連接2 個筋板，每2 個支撐耳中間再設置1 個筋板，共9 個筋板。該模型原始鏡坯質量為4.53 kg，輕量化后為0.8 kg，符合質量低于1 kg 的要求，且雙面反射鏡的輕量化率達到82.4%。

3 設計結果分析

3.1 模態分析

對最終設計的主四鏡模態進行分析，考量所設計反射鏡的剛度特性，模態分析結果如表3 所示，對應的前三階振型如圖11～圖13 所示。X軸、Y軸、Z軸方向見圖11 所示。

表3 主四反射鏡前3 階模態Table 3 The first three modes of primary-fourth mirror

圖11 第一階振型Fig.11 The first-order vibration mode

圖12 第二階振型Fig.12 The second-order vibration mode

圖13 第三階振型Fig.13 The third-order vibration mode

模態分析結果表明，鏡體一階頻率已達到417 Hz，具有足夠高的剛度，符合大于400 Hz 的要求。振型主要以安裝耳的變形為主，主四鏡鏡面及筋板構成的整體剛度更高，更加穩定，可以更好地保證面形精度要求。

3.2 自重變形分析

為了進一步驗證反射鏡的剛度，分析徑向1g重力、軸向1g 重力做用下反射鏡的面形變化。在有限元分析結果中導出反射鏡面形變化前后的各節點坐標進行面形擬合，主、四鏡面形云圖如圖14所示。

圖14 主、四鏡面形云圖Fig.14 Cloud atlas of surface shape for primary-fourth mirror

主、四鏡在X，Y，Z3 個方向1g 重力下的RMS值和PV 值結果如表4 所示。從表4 可以看出，面形RMS 變化最大發生在主鏡Z方向上，換算成波長約為λ/22（λ=632.8 nm），符合低于λ/20 的要求，其余方向自重對主、四鏡面形RMS 的影響均低于λ/37，說明其抵抗重力變形的能力出色，側面證明其剛度充足。

表4 主、四鏡1g 重力變形Table 4 Primary-fourth mirror deformation under 1 g gravity nm

4 面形測試

在完成優化設計與分析驗證后，采用最終設計方案對鏡體進行加工，在粗加工、半精加工、精加工后對鏡體進行時效處理，消除鏡面的殘余應力，以確保面形的穩定。采用干涉法中的零位檢測法測試主四鏡面形RMS 是否滿足要求。零位檢測法通過計算機生成的全息圖（computer-generated holograms，CGH），將干涉儀發出的球面波轉化為主四鏡面形所對應的非球面波，從而消除非球面的法線像差，可將測試精度提高至nm 級[24]。面形測試過程如圖15 所示。

圖15 干涉儀檢測面形測試過程Fig.15 Testing process of surface shape by interferometer detection

測試結果如表5 和圖16 所示。這里需要指出，綜合考慮項目周期的需求和紅外光學系統對反射鏡的指標要求，最終面形RMS 均控制在λ/7（λ=632.8 nm）以內，符合低于λ/5 的要求，鏡體在紅外光學系統中工作正常，證明了本次拓撲優化設計的有效性。

表5 面形測試結果Table 5 Test results of surface shape

圖16 主、四鏡面形測試結果Fig.16 Test results of surface shape for primary-fourth mirror

5 結論

本文提出一種雙面共體反射鏡的設計優化方法。通過拓撲優化結合尺寸優化的方法，完成了雙面共體反射鏡的優化設計，并對最終方案進行了分析及測試，得到如下結論：

1）通過拓撲優化的方法獲得材料在約束下的最佳分布形式，結果表明，以光軸為中心呈輻射型排列布置筋板支撐主、四鏡面體時剛度最高。

2）通過自由尺寸優化，獲得主、四鏡面和筋板的最佳尺寸參數，參考優化結果，設計的鏡體輕量化率達到82.4%。

3）分析了鏡體的模態及1g 重力對面形RMS的影響，求得一階頻率為417 Hz；1g 重力對面形RMS 的影響最大為λ/22（λ=632.8 nm），分析結果表明鏡體具有較高的剛度和較好的抵抗自重變形能力。

4）完成實物加工及測試，實測主、四鏡面形RMS 均約為λ/7，滿足紅外光學系統的性能要求。

綜上所述，本文優化方法的有效性得到了驗證，為雙面共體反射鏡的優化設計提供了一定的借鑒作用。