100 kHz 彈光調制器多功能調制仿真

劉燕霖，張 瑞，薛 鵬，陳媛媛，王志斌，李孟委

（1.中北大學 儀器與電子學院，山西 太原 030051；2.中北大學 山西省光電信息與儀器工程技術研究中心，山西 太原 030051；3.中北大學 前沿交叉科學研究院，山西 太原 030051）

引言

光偏振檢測常用于測量目標的外形輪廓、表面粗糙度及邊角特性等。近年來，光偏振檢測在物理、偏振成像、通信傳輸、生物醫學等多個領域具有廣泛應用[1-4]。不同的調制方法下其偏振光測量精度不同。最早LIN J F 提出了一種利用旋轉波片的斯托克斯檢測法，通過矩陣運算實現對線偏振和圓形偏振特性的測量[5]。隨后，LU S J 等人利用鈮酸鋰（LiNbO3）晶體的電光調制特性代替旋轉波片，通過外部加載不同電壓促使鈮酸鋰晶體對待測偏振光波進行相位調制，通過檢測光強的變換進而求解出入射光的Stokes 參量[6]。接著，張穎提出一種帶有補償器的液晶相位可變延遲器，其主要通過調節驅動電壓改變液晶雙折射率，進而實現對偏振光相位延遲的調制[7]。與此同時，北京量拓科技有限公司提出橢偏測量技術，通過機械旋轉補償器改變光的偏振狀態，從而實現相位延遲調制。但是，上述所研究的相位延遲調制技術均存在不足，例如液晶可變延遲器雖相位延遲量可調，但其快軸方向不可調，橢偏測量技術雖相位延遲量和快軸方向均可調，但快軸方向需要機械調制，轉速較慢且結構較為復雜。

針對上述不足，本文提出一種具有更高相位延遲調制范圍的圓型PEM，與上述的相位調制技術相比，具有光譜范圍廣（從紫外到太赫茲）、無機械運動部件、接收角范圍大（≥80°）、有用孔徑大等優點[8-12]。首先利用公式計算并仿真彈光晶體和壓電驅動器的諧振頻率，并詳細分析得出彈光晶體和兩壓電驅動器的匹配頻率，得到PEM 達到最佳振型時的諧振頻率。接著，通過調節兩壓電驅動器的驅動電壓的幅值與相位差，使PEM 實現純駐波和純行波兩種特殊的調制模式。在這兩種模式下，可實現快軸方向及相位延遲量均可調并且結構簡單。同時，利用COMSOL 有限元仿真，通過模擬調節兩壓電驅動器的驅動電壓的幅值與相位的比例，從而驗證PEM 可實現多功能調制。

1 理論分析

PEM 結構簡單并且調制效率高，是一個理想的相位延遲器。常見的PEM 為八角型單驅動[13]，為了增大PEM 在其光學孔徑上的峰值延遲，滿足更優的對稱性結構，本文采用45°雙驅動圓型PEM進行研究，如圖1 所示。

圖1 100 kHz PEM 結構圖Fig.1 Structure diagram of 100 kHz PEM

石英晶體具有穩定的機械性能，其介電常數和壓電系數幾乎不隨溫度而變化，并且其單一振動模態好，因此常用作PEM 的制作材料。壓電驅動器選用壓電石英晶體，具有特定切型且振動模態單一的特點，本文采用（xyt）-18.5°切型[14]。彈光晶體采用熔融石英晶體，具有純度高及熱穩定性高等特點，同時，在相同的驅動下，熔融石英的諧振頻率較硒化鋅的諧振頻率更大，如圖2（a）所示。因此，本文采用圓型彈光晶體，比八角型彈光晶體擁有更好的對稱性，諧振時可達到更高的頻率，如圖2（b）所示。

圖2 PEM 組成結構Fig.2 Composition structure diagram of PEM

針對（xyt）-18.5°壓電驅動器，其在交流電壓作用下的振動頻率[15]為

式中：A為壓電驅動器長度；一般壓電驅動器工作在基頻模式下，即e=1；ρ為石英晶體密度，ρ=2.684 g/cm3；s22為壓電驅動器的彈性柔順系數，s22=1.4 454×10-11m2/N。通過計算，得到100 kHz 頻率下壓電驅動器的長度為25.38 mm。

在壓電驅動器的驅動下，彈光晶體內兩個方向的折射率發生變化，對應彈光晶體的諧振頻率為

式中：P為楊氏模量，P=72.6×109Pa；ρ為熔融石英晶體密度ρ=2.201×103kg/m3；ε為泊松比，ε=0.16；L為彈光晶體的直徑。通過計算得到，在彈光晶體的諧振頻率為100 kHz 時，彈光晶體的直徑為26.67 mm。

當壓電驅動器振動頻率和彈光晶體的諧振頻率匹配時，PEM 達到共振狀態，入射光垂直入射至彈光晶體，產生雙折射現象，被分解為兩束相互垂直的光分量，一束沿光軸方向，另一束沿垂直光軸方向。同時，兩束光將產生相位延遲，進而改變入射光的偏振狀態。通過PEM 的兩束光分量之間的相位延遲為

式中：h是與應力成正比的常量；v0是驅動電壓幅值；f是PEM 的諧振頻率。

在上述分析中，光軸方向即為PEM 的快軸方向，PEM 的相位延遲量可由驅動電壓進行控制，但就現有的PEM 來說，快軸方向均為固定方向，應用于光的偏振分析時，無法獲得描述所有光的偏振態的斯托克斯矢量。因此，為解決快軸自動化的問題，應針對PEM 中的應力進行分析。

當壓電驅動器振動時，會在彈光晶體中形成二維應力駐波，同時將這應力駐波在順時針和逆時針方向分解成兩列行波。由于采用兩個壓電驅動器進行驅動，因此在順時針和逆時針方向均存在兩列行波進行疊加，通過理論分析，進一步推導出不同驅動電壓下的快軸方位角。

首先，將A 和B 中的駐波按照順時針和逆時針方向分解，則在C 中的應力駐波為

接著，利用三角和函數公式將上式展開得到

將式（5）利用輔助角函數公式化簡為

式中：SA=ρAVA，SB=ρBVB，ρA和ρB分別代表轉換系數，與逆壓電系數和耦合系數有關，VA和VB代表壓電驅動器驅動電壓的幅值；θ代表以x軸為參考的快軸方位角。，α代表兩驅動電壓之間的相位。

下面將討論兩種特殊情況，即彈光晶體中的應力只存在駐波和行波的情況。通過分析式（6）得到，當α=0 或π 時，彈光晶體的應力只存在純駐波；當α=±π/2 時，彈光晶體中只存在純行波。

當PEM 工作在純駐波模式時，即α=0 或π，帶入式（6）得到：

通過上述理論推導得出，當PEM 工作在純駐波狀態時，相位延遲與應力幅值成正比，快軸方位角可以通過調節兩壓電驅動器驅動電壓幅值的比例進行改變，從而調制快軸方向，實現入射光斯托克斯矢量中全偏振參量的測量。雖然純駐波模式下的PEM 可以實現快軸方向調制，但是仍需每次調節兩驅動電壓的幅值比例。針對此問題，提出純行波模式下的PEM。

當PEM 工作在純行波模式時，即α=±π/2，同時SA=SB時，帶入式（6）得到：

式中：當 cos(ωt±2θ)=±1時，可推導得出快軸方位角θ；當α=+π/2 時，快軸方位角為 θ=，快軸沿順時針方向旋轉；當α=-π/2 時，快軸方位角為θ=，快軸沿逆時針方向旋轉。此時，不難發現，快軸在做頻率為f/2 的圓周運動，并且相位延遲量為常量。從而解決了之前所提出的問題，實現了PEM 在全偏振參量測量的突破。

2 PEM 純駐波及純行波仿真

2.1 PEM 彈光晶體及壓電驅動器頻率匹配仿真

當壓電驅動器的振動頻率和彈光晶體的諧振頻率達到一致，PEM 達到共振狀態，此時調制效率最高。根據上一節的理論公式推導得出，PEM 工作在100 kHz 頻率下壓電驅動器長度和彈光晶體直徑分別為25.38 mm 和26.67 mm。為了驗證PEM的共振頻率，利用COMSOL 進行仿真。

壓電驅動器的材料選用Quartz LH（1978 IEEE），設置旋轉坐標系為（xyt）-18.5°。首先將壓電驅動器參數設置為理論參數值，如表1 所示。利用特征頻率求解器，求解出在理論壓電驅動器長度下的特征頻率值為98.349 kHz?？梢钥闯?，理論值和仿真值存在一定偏差，對此部分偏差考慮有以下幾個原因：1）在COMSOL 中，建模時壓電驅動器的材料選用COMSOL 自帶的材料庫中Quartz LH（1978 IEEE）材料，雖與理論值推導所用的材料系數（例如：石英晶體的密度、壓電驅動器的彈性柔順系數等）保持一致，但仿真時考慮到此材料中還包含其他材料屬性系數（例如：介電常數、耦合矩陣等），對后續建模也會產生一定的影響；2）在利用COMSOL 進行分析時，需要對所建模型進行網格劃分，網格細化的程度同樣也會影響到模型的求解，網格細化程度越高，則所建立模型的誤差越小。

表1 壓電驅動器理論參數Table 1 Theoretical parameters of piezoelectric actuator

通過理論分析得出，在壓電驅動器材料確定的條件下，壓電驅動器的特征頻率只與壓電驅動器的長度有關。因此，通過COMSOL 對壓電驅動器的長度以0.01 mm 步進進行參數化掃描，如圖3（a）所示，得到振動頻率為100 kHz 時壓電驅動器長度為25.46 mm；壓電驅動器在100 kHz 下的位移仿真如圖3（b）所示。

圖3 壓電驅動器穩態仿真結果Fig.3 Steady-state simulation results of piezoelectric actuator

彈光晶體的材料選用熔融石英，利用特征頻率求解器，求解出在理論彈光晶體直徑下的特征頻率為100.53 kHz。同理，利用COMSOL 對彈光晶體的直徑以0.01 mm 步進進行參數化掃描，如圖4（a）所示，得到振動頻率為100 kHz 時彈光晶體直徑為26.81 mm；彈光晶體在100 kHz 下的位移仿真如圖4（b）所示。

圖4 彈光晶體穩態仿真結果Fig.4 Steady-state simulation results of elastic-optic crystal

經上述分析，得出在100 kHz 頻率下，壓電驅動器的長度為25.46 mm，彈光晶體的直徑為26.81 mm，最終得到100 kHz 的諧振頻率下，PEM 應力分布仿真圖和位移分布仿真圖如圖5（a）、圖5（b）所示。此時PEM 表面位移及應力分布高度對稱，并且壓電驅動器內部產生周期性穩定駐波，證明此時PEM 已經達到諧振狀態。同時，分析得出在彈光晶體中心處的應力最大，位移變化最小。當光從彈光晶體中心通過時，調制效率可達到最大且相位延遲量最高。

圖5 100kHz PEM 穩態仿真結果Fig.5 Steady-state simulation results of 100 kHz PEM

2.2 PEM 純駐波及純行波仿真

通過上一節的分析，利用COMSOL 軟件得到PEM 的諧振頻率為100.02 kHz。根據理論分析，當PEM 工作在純駐波模式下時，通過調節兩驅動電壓的幅值比例，可實現純駐波模式下快軸方位角調節。在PEM 達到諧振頻率的基礎上，選用“壓電”多物理場將“固體力學”物理場和“靜電”物理場耦合，利用靜電物理場中的“電勢”模擬加在兩壓電驅動器兩端的驅動電壓，并按照理論分別調整兩壓電驅動器處電壓的幅值比例。接著對所建模型進行網格化分析，此處需注意，在壓電驅動器和彈光晶體連接處的網格分析需細化處理。最后利用瞬態求解器設置時間周期，進行模型求解。如圖6 所示，基于PEM 的諧振頻率，通過每次改變兩驅動電壓幅值比例，觀測在不同比例的驅動電壓下所對應的快軸方位角度。

圖6 PEM 四種純駐波模式下的表面位移分布Fig.6 Surface displacement distribution diagram in four pure standing wave modes of PEM

在PEM 處于純駐波模式的基礎上，設置兩壓電驅動器的驅動電壓幅值一致，相位相差π/2，利用COMSOL 仿真瞬態求解器，設置時間周期，選取步進為T/12 的一段時間間隔，即一個周期選取12 個點。此處，彈光晶體在兩壓電驅動器驅動下達到諧振頻率需要一段時間，因此需要選取較長的時間周期，以進行純行波模式求解，仿真結果如圖7 所示。通過仿真結果可以看出，在PEM 純行波模式下，快軸在一個周期內作圓周運動。

圖7 100kHz 純行波PEM 一周期表面位移分布圖Fig.7 Surface displacement distribution diagram of 100 kHz pure traveling wave PEM in one period

由圖7 可知，PEM 在純行波調制模態時，快軸作周期圓周運動，同時壓電驅動器作周期性的伸縮運動，壓電驅動器的表面位移周期變換。并且無論快軸方向如何變化，彈光晶體中心處的位移變化量均為最小，并且應力最大。根據式（3）可知，相位延遲量與應力有關，因此彈光晶體中心的調制效率最高。

3 結論

通過COMSOL 仿真驗證了兩種特殊的PEM調制模式。對于純駐波調制模式，可通過調節兩驅動電壓進而調節PEM 的快軸方向，從而改變光的偏振態；對于純行波調制模式，相位延遲是一個常數，快軸作圓周運動，此種模式下，與旋轉波片較為相似，通過傅里葉變換及反演得到光的斯托克斯矢量，可用于全偏振光領域，如橢偏儀測量樣品的穆勒矩陣等研究。但本研究基于理論，運用COMSOL 仿真進行驗證，是理想的情況。在實際實驗過程中，還需要考慮一些誤差對實驗造成的影響，如兩壓電驅動器和彈光晶體之間的粘合而造成的殘余應力雙折射，以及在PEM 達到共振以后隨時間產生溫度漂移等問題，仍需進一步完善。