基于鏡眼聯合模型的單光鏡片設計及制造

許崇祥，張中祥，燕衛江，蘇宇鋒，賈志剛

（鄭州大學 機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

引言

人的感覺器官對外界信息的獲取約80%來自于視覺[1]。健康的視覺是良好生活、學習、交流的保證。近年來，隨著電子產品的普及，無論是青少年還是成年人，每天長時間面對各種發光顯示設備，引發多種眼部疾病[2]。特別是以近視、散光為代表的屈光不正已成為青少年普遍面對的健康問題。各種屈光不正矯正技術有著廣闊的應用市場[3]。目前，常見的屈光不正矯正方法有：框架眼鏡、角膜接觸鏡及激光角膜手術等。其中長時間佩戴角膜接觸鏡會因摩擦角膜導致眼部感染，從而引發炎癥，且鏡片本身為消耗品，使用成本較高。激光角膜手術存在手術費用昂貴，對角膜的磨切去除造成不可逆的損害，同時可能引起一些長期的后遺癥，如眼睛干澀、高階像差增加等不被人們輕易接受[4]。相比而言，框架眼鏡具有方便、經濟、可逆、無副作用等優點，是目前最為普遍應用的矯正方法。

佩戴式框架眼鏡有諸多優點的同時，也存在若干不足之處有待改進。1）傳統鏡片一旦加工完成，其矯正能力就固定不變，而人眼受到光照環境、心理因素的影響，其像差是時刻變化的，這會造成某些時刻鏡片矯正能力不足或過量，造成用眼不適。解決辦法在于開發具有動態矯正能力的鏡片[5]。2）目前的鏡片僅能矯正低階像差，隨著像差測量技術的發展，對人眼全像差的補償可達到超視力的效果成為未來發展趨勢[6]。3）對于普遍應用的單光鏡片，佩戴狀態不同視角下，人眼實際感受到的矯正能力并不均一[7]，其原因在于鏡片設計時沒有考慮到眼球旋轉帶來的視角變化問題。造成的結果是，雖然鏡片的不同區域在焦度計下測得的屈光度數恒定不變，但在佩戴時，人眼實際感受到的屈光力是變化的。這種屈光能力的變化在某些情況下，比如暗光環境下，在視角較大時存在明顯的像差矯正不足，從而帶來視覺模糊。隨著人們對視力精準化的追求和鏡片設計理念的發展，越來越多的鏡片優化設計方案被提出。李念寧采用多目標優化遺傳算法[8]設計了單光非球面眼鏡片，利用算法隨機生成多組前彎和非球面系數，通過光線追跡計算像差大小，使設計的眼鏡片降低了像散和畸變。BARBERO S[9]提出了一種基于徑向折射率梯度(radial refractive gradient，RRG)鏡片的設計方法來減少鏡片周邊區域離焦現象，并通過實驗驗證了方法的可行性。張海平[10]將非球面方程應用到多焦點鏡片，利用連續變化的曲率來調節鏡片光焦度分布和減小像散。但是，目前的鏡片設計方法并沒有考慮人眼實際佩戴時的視角變化問題。

針對上述第三個問題，本文通過建立鏡眼聯合模型，充分考慮在人眼旋轉時，應用鏡片的不同區域及相對應的不同入射光線角度變化的問題，對傳統單光鏡片設計方法進行了改進，實現在佩戴時不同視角下，人眼實際感受到的矯正力保持恒定?；阽R眼聯合模型，生成鏡片面形數據，在數控機床上實現鏡片的加工制造[11-13]，并對加工后的鏡片面形及屈光度進行了測量，初步驗證了模型的有效性。

1 基于鏡眼聯合模型的單光鏡片設計

鏡眼聯合模型側視圖如圖1 所示。圖1 中鏡片放置在人眼角膜前，O為 眼球旋轉中心，O′為鏡片后表面中心，物體發出的入射光經鏡片折射后，通過角膜，匯聚在視網膜黃斑中心凹處。平視時，光軸與視軸重合，穿過鏡片中心、角膜前表面中心及眼球旋轉中心[14]。當眼球旋轉或視角變化時，入射光線與鏡片表面夾角隨之變化，從鏡片前表面到角膜前表面的光程也隨之改變，這樣會帶來鏡片矯正能力的改變。因此，需要改變不同視角下的鏡片面形，以保證光程恒定，最終使人眼實際感受到的鏡片矯正屈光力恒定。假設鏡片前表面為基弧，則需要在鏡眼聯合模型基礎上，考慮視角變化，設計出鏡片后表面面形，通過面形的變化，調節因視角改變而引起的光程差異，使人眼實際感受到的鏡片屈光力保持恒定。

圖1 佩戴狀態下的鏡眼聯合模型Fig.1 Lens-eye joint model in wearing state

圖1 中，d為鏡片后表面中心O′到眼球旋轉中心O的距離；d1為眼球旋轉中心與角膜前表面中心的距離[15]；d2為角膜前表面中心與鏡片后表面中心O′的距離，d=d1+d2。以鏡眼聯合模型為基礎建立坐標系，如圖2 所示。以人眼球旋轉中心為原點建立世界坐標系O-XYZ，以鏡片后表面幾何中心Ol為原點建立鏡片坐標系Ol-XlYlZ。X軸方向表示水平視角，右為正，Y軸方向表示垂直視角，上為正，Z軸正向指向人眼視網膜。當人眼通過鏡片觀察物體時，視軸所在的直線必然會與鏡片平面相交，交點為 (xl,xl,xl)，即為不同視角下鏡片表面使用點的坐標。

圖2 鏡眼聯合模型坐標系Fig.2 Coordinate system of lens-eye joint model

從圖2 推導出鏡片坐標系中鏡片表面使用點與世界坐標系下視軸的視場角對應關系：

式中：θ為人眼垂直視角；ω為人眼水平視角。根據人眼視軸視角 (θ,ω)可求出人眼視軸所在直線的方向向量為

假設某視軸所在直線過點M(mx,my,mz)時，則視軸所在直線參數方程為

式中t為人眼視軸所在直線方程的參數變量。

顯然人眼視軸所在直線經過人眼轉動中心O，即為M(0,0,0)時，人眼視軸所在直線參數方程為

對于鏡片表面所在的平面(假設視軸與鏡片后表面交點為中心的微小區域為平面)，由該平面上任意3 個不重合的點，可求出2 個不平行的向量N1、N2，通過向量的叉乘求出該平面的法向量P(Px,Py,Pz)。假設眼鏡片平面過點N(nx,ny,nz)，則鏡片平面的點法式方程為

在世界坐標系O-XYZ下，以視場角為旋轉角度 (θ,ω)的人眼視軸的直線參數方程(3)與鏡片表面的平面方程(4)的交點 (u=x,v=y,w=z)，就是人眼不同視角觀察物體時通過鏡片表面時的使用點，通過設計每個使用點的屈光度，就可以得到整個眼鏡片后表面的屈光度分布圖，從而計算出整個眼鏡片的面形數據。

不同視角下鏡片平面使用點的坐標一定滿足視軸所在直線參數方程和鏡片平面點法式方程，聯立式(3)和式(4)得出：

根據人眼實際觀察狀態可知，上式分母必不為零，即視軸所在直線與鏡片平面方程必有交點，求出參數變量t后，帶入視軸直線參數方程(3)，即可求出不同視角下鏡片平面使用點的坐標 (xl,yl,zl)。

根據空間坐標變換原理[16]，圖2 中世界坐標系O-XYZ與鏡片坐標系Ol-XlYlZl的變換關系為

式中：旋轉矩陣R為

平移矩陣Q為

通過空間坐標變換原理，求出在世界坐標系O-XYZ下，不同視角鏡片平面使用點的坐標(x,y,z)。然后求交點距人眼旋轉中心O的距離p:

再求出鏡片平面使用點與人眼角膜前表面的距離p1：

最后，根據所提出的設計原理計算眼鏡片的面形數據。為了在任意視角時，人眼角膜前表面上實際獲得的鏡片屈光度FJM恒定不變，根據計算等效屈光度計算公式[17]可推導出，鏡片平面上使用點的屈光度FJ為

式中：FJM為人眼在角膜前表面上獲得的屈光度補償值。

假設以鏡片前表面作為基弧，通過改變鏡片后表面屈光度來改變鏡片整體的屈光度，則根據單光眼鏡片設計原理，可求出鏡片后表面的屈光度FH為

式中FQ為眼鏡片前表面的屈光度。

通過眼鏡片曲率半徑計算公式，可求出后表面的曲率半徑rH為

式中n為鏡片材料的折射率。

利用式(11)即可獲得基于鏡眼聯合模型所設計的眼鏡片的表面面形。

2 鏡片設計

基于上述鏡眼聯合模型的鏡片設計方法，編寫相應的Matlab 計算程序，以角膜表面實際感受到的屈光度FJM=-6.00 D 為例，計算出鏡片的理論屈光度FJ的分布圖，如圖3 所示。圖3 中，d取平均值27 mm，d1取平均值14 mm，所設計的鏡片直徑為70 mm，對應最大視角 ±52°。圖3 給出了視角從0°～25°時對應鏡片表面屈光度分布圖，該視角范圍滿足實際佩戴的需求。當視角更大時，人會轉動頭部，使視角在舒適范圍內，同時鏡片的邊緣區域也會被切割，以適配眼鏡框架。

圖3 鏡片表面屈光度分布圖Fig.3 Diopter distribution diagram of lens surface

從圖3 可以看出，為了實現人眼在不同視角觀察時鏡片都可以提供恒定的屈光度補償，在設計鏡片時要保證鏡片表面上的屈光度分布呈連續漸進變化。這是因為在模擬實際佩戴狀態下，測量單光球面鏡片表面屈光度時，測量的頂球面與人眼旋轉中心的距離會隨著視場角的變化而逐漸變化，所以實際佩戴單光眼鏡片時，人眼在不同視角下使用單光鏡片的不同區域觀察時，單光鏡片提供的屈光度補償是變化的。通過本文提出的鏡眼聯合模型的設計方法，計算出來的鏡片表面屈光度數據，從中心點向四周邊緣區域呈現連續變化并且逐漸增加的趨勢。這樣可以補償傳統單光球面眼鏡片在佩戴狀態下，人眼角膜處實際感受到的屈光度從中心點向邊緣區域連續逐漸減少的不足。理論計算出的鏡片表面屈光度分布呈同心圓且數值從中心向邊緣區域逐漸變大。這種漸變速度隨著設計鏡片中心處屈光度的不同而變化，設計鏡片中心處屈光度越大，漸變速度越快。

假設鏡片前表面為基弧，取FQ=+2.50 D，由公式(10)及公式(11)可得鏡片表面的面形變化，呈現中心對稱形式，如圖4 所示。

圖4 鏡片表面曲率半徑變化圖Fig.4 Diagram of curvature radius variation of lens surface

3 鏡片的加工及測量

將圖4 中數據導入數控機床，機床能夠實現橫向及縱向0.1 μm 的位移精度，1″的旋轉精度，可滿足本文設計鏡片微米級加工精度的要求。選擇前表面FQ=+2.50 D 為基弧的鏡片毛坯進行鏡片加工，并對其后表面對應視角 ±25°內的區域進行切削和拋光處理，得到加工后的鏡片如圖5 所示。設計加工鏡片的標稱尺寸dn=70 mm，實際加工出的未切割鏡片直徑有效尺寸為69.9 mm，鏡片直徑使用尺寸為69.8 mm，允差值為0.1 mm，符合鏡片尺寸的允差[1]。

圖5 加工鏡片實物圖Fig.5 Physical drawing of manufactured lens

由于鏡片的設計及加工的旋轉對稱性，對加工后的鏡片后表面的水平及垂直中心線進行了測量，相應的面形變化及與理論計算值的差值如圖6所示。從圖6 可以看出，受加工精度的影響，在加工的鏡片邊緣區域出現了較大的誤差，中心區域的加工誤差較小，曲率半徑變化值最大為1.1 mm，能滿足加工面形變化要求。

圖6 鏡片面形數據圖Fig.6 Surface data diagram of manufactured lens

使用焦度計對鏡片水平中心線及垂直中心線上的屈光度進行測量[18]，測量結果如圖7 所示。從圖7 可以看出，鏡片屈光度呈中心向邊緣漸近變大趨勢，與理論設計相符。受加工精度的影響，在鏡片邊緣區域呈現較大的誤差，但整體屈光度及其變化趨勢與理論計算相符，滿足設計要求。鏡片后表面屈光度為-6.30 D，屈光度誤差值最大為0.23 D，鏡片加工誤差滿足鏡片設計誤差0.25 D。后續工作將采用更高精度的加工設備對鏡片進行加工，使鏡片表面屈光度誤差小于0.12 D。同時希望出現一種適合該種鏡片的加工方法，以期改善誤差值。

圖7 鏡片屈光度分布與誤差Fig.7 Diopter distribution and error of manufactured lens

4 結論

本文提出了一種基于鏡眼聯合模型的單光鏡片的設計方法。根據所建模型，假定人眼視角變化使用鏡片不同區域時，到達人眼角膜前表面的有效屈光度保持恒定，從而對現有的鏡片設計進行優化，重新求解出鏡片不同區域屈光度的分布，最終獲得鏡片的面形變化數據。將面形數據導入數控機床，對鏡片毛坯進行加工，制作出人眼實際可感受到屈光度恒定的單光鏡片。使用自動焦度計對加工后的鏡片屈光度進行測量，測量結果表明，屈光度分布呈現從鏡片中心向鏡片四周漸變趨勢，與理論計算一致，初步驗證了所建模型及設計方法的有效性。在佩戴時，能夠使人眼實際感受到該鏡片不同區域的矯正效果保持恒定。受加工方法及加工精度的影響，所加工的鏡片存在一定的面形誤差，進而引起了屈光度與理論設計值的偏差。下一步將對加工方法進行優化，選用更高精度的加工機床，同時將開發一套主客觀評價方法，對實際佩戴時鏡片提供給人眼角膜的屈光度補償值進行定量化評價。同時基于本文提出的鏡眼聯合模型，測量鏡片視場角10°以內的圓形和10°～25°的點擴散函數PSF，利用計算成像方法[19]對鏡片成像質量進行檢測,并根據測量結果進一步改進鏡片的成像質量。

我國是眼鏡制造大國，而非制造強國，國外廠商掌握著高附加值的鏡片設計及制造市場。本文所提出的基于鏡眼聯合模型的鏡片設計及制造方法，有助于提高我國高端鏡片的生產水平及市場占有率。