基于二次攝動法的SMA層合梁非線性自由振動分析

張配

(西安鐵路職業技術學院 機電工程學院,陜西 西安 710026)

0 引言

復合材料有著優異的力學特性,使得復合材料制成的結構部件被廣泛應用于機械工程的各個領域,如交通運輸、制造和汽車等領域[1]。形狀記憶合金(SMA)在受熱的情況下會表現出很大的形變,因而可以將SMA應用到復合材料領域,實現材料剛度的調節。研究顯示,內嵌SMA的層合板減小了變形撓度[2-3]。SHIAU等[4]的研究得到SMA的體積分數和預應變的增加會產生更多的恢復應力,從而增加層合板的剛度。ASADI等[3]的研究顯示夾層板的熱慣性穩定性可以通過SMA絲的體積分數和SMA纖維中的預應變來控制。MAHABADI等[5]的研究顯示方形SMA層合板比有相同長度的矩形板具有更高的基頻。

二次攝動用于結構的屈曲與振動分析,有不少文獻關于二次攝動法的應用。張大光[6]得到高次攝動解適于描述梁的深度后屈曲和深度非線性彎曲。佘桂林[7]對比了KBM法和二次攝動法在求解大幅振動時的差異,得到二次攝動法更加符合工程實際。BABAEI等[8]用二次攝動法研究了3種不同的剪切變形梁在彈性支承上的振動特性。文獻[9] 中二次攝動法的引入可以不增加計算量,得到結構動力響應的較精確估計。GAO等[10]用二次攝動法得到非局部應變理論和應變梯度理論對線性和非線性有相反的影響頻率。SHEN、HUI等[11-14]研究表明FGM材料的FG-X對稱分布可以顯著提高頻率,得到當溫度升高或基礎剛度降低時,固有頻率降低,但非線性頻率比增加,且Voigt與Mori-Tanaka模型間的結果差異更小。BABAEI等[15]分析了受熱傳導、線性溫度變化、均勻溫升等不同類型熱環境的FGM管。

通過對現有文獻的梳理,可知尚沒有研究使用二次攝動法分析SMA層合結構的非線性振動特性。本文考慮了溫度變化和不可移動簡支邊界條件的SMA層合梁。使用Von-Karman大變形理論描述梁位移與應變的關系,用Brison模型描述了不同溫度下SMA的恢復應力和馬氏體體積分數。使用Hamilton原理建立了SMA層合梁的動力學方程。采用二次攝動法求解這些方程。研究了SMA不同初始應變、體積分數、鋪設角度不同時頻率比的變化。

1 系統建模

1.1 SMA本構方程

根據Brison模型,使用Reuss方法計算SMA的Young′s模量[2]?？紤]零初始條件下,SMA絲恢復應力為

σr=ES(ξ)(ε-εLξS)+ΘΔT

(1)

式中:σr是SMA絲恢復應力;ES(ξ)為彈性模量;ε、Θ分別是SMA的應變和熱彈性系數;εL為SMA最大殘余應變;ξS為應力誘發的馬氏體相變體積分數;ΔT(相對溫度)是加熱溫度與初始溫度的差值。

1.2 系統控制方程

圖1為SMA的層合梁示意圖。使用Vigot模型描述SMA/石墨/環氧樹脂層的物性參數。需要說明的是,材料物性參數的下標“m”和“s”分別表示基體材料(石墨/環氧樹脂)和SMA。梁的橫截面為矩形,寬度為B,總厚度為H,梁的長度為L,層數為Nl,各層纖維是對稱布置的。層合梁受到橫向均布載荷q,梁在彈性地基上,并處于熱環境中。

圖1 SMA層合梁示意圖

依據Reddy高階剪切理論以及Hamilton原理,可得系統動力學方程為:

(2)

(3)

式中:I是廣義慣量;X是梁的無量綱坐標;W是梁的無量綱橫向位移;Φ是梁的無量綱截面轉角;t是無量綱時間;NT是SMA的熱力;Nr是SMA的恢復力。

2 振動分析

本節采用分析法推導出SMA層合梁非線性屈曲和自由振動的響應。在本節中,采用二次攝動法進行分析[16],解為

(4)

式中:ε是一個小擾動參數,有τ=εt;n是級數的項數,在本文中取n=3。依據攝動參數εi合并同類項,獲得如下微分方程。

一階攝動方程表示為

(5)

(6)

二階攝動方程表示為

(7)

(8)

三階攝動方程表示為

(9)

(10)

由滿足簡支邊界條件的解,并使用Galerkin法得到:

Γ3(εA10)3+…

(11)

上式的系數分別為:

(12)

對于自由振動λq=0,可得系統固有頻率為

(13)

式中:ωNL為非線性固有頻率;ωL是線性固有頻率;wmax為變形位移的最大值。

3 數值計算

層合梁的長度L=0.2m,寬度B=0.1m,厚度H=0.01m。每一層的厚度是相等的。SMA的材料參數見文獻[2] 。初始情況下ξT0=0,T0=20 ℃,σ0=0,ε0=0.2%,VS=2%。式(13)可以計算出系統的線性固有頻率,非線性頻率與線性頻率之比。

表1顯示不同算法所得SMA梁的無量綱線性頻率?？芍疚姆椒ㄋ玫木€性頻率與Ritz[16]、GDQ[17]的結果差值很小,本文方法和Ritz法相差很小,與GDQ相差較大。當VS較小時頻率隨溫度的增大而減小,當VS較大時線性頻率先減小后增大再減小,其變化趨勢與文獻[3] 一致。通過不同方法的對比,證明本文方法是正確的。

表1 不同求解方法的無量綱線性頻率

SMA層合梁的中部撓度與頻率比(非線性頻率與線性頻率之比)如圖2所示。SMA體積分數VS=2%,初始應變ε0=0.4%,長高比L/H=20,不考慮地基的剛度。結果和預期的一樣,溫度增加時頻率比增加,線性固有頻率減小。這是因為所選取的溫度范圍內,熱應力比SMA恢復應力大得多,結構的剛度主要受熱應力的影響,而熱應力使梁的剛度減小。

圖2 溫度變化時的頻率

圖3中SMA體積分數VS=10%,初始應變T=120 ℃,長高比L/H=30,不考慮地基的剛度。SMA初始應變增加,頻率比減小,線性頻率增加。溫度不變時結構熱應力不變,結構剛度的變化主要受SMA恢復應力的影響,初始應變越大,SMA恢復應力越大,導致系統剛度增加。

圖3 初始應變變化時的頻率

圖4中SMA初始應變ε0=0.4%,T=150 ℃,長高比L/H=30,不考慮彈性地基的作用。SMA體積分數增加,頻率比減小,線性頻率減小,主要原因是SMA體積分數越大,結構中的金屬相組分越多,系統的剛度越大,等效密度也增大,這樣廣義慣量的增加對系統頻率的影響大于剛度。

圖4 體積分數變化時的頻率

圖5是長高比對頻率的影響曲線。長高比L/H增大時頻率比增大,線性頻率減小。這是由于SMA梁跨度增大使柔度增加所導致的。L/H越大時系統的非線性特性越顯著。觀察到L/H比對頻率比的影響在較低的長高比下更為明顯。

圖5 長高比變化時的頻率

圖6是SMA角度對頻率的影響曲線,可以看出SMA鋪設角度越大,梁的線性固有頻率越小,而頻率比越大。這是由于隨著SMA鋪設方向與主方向之間角度的增加,系統的總剛度降低導致的。

圖6 SMA角度對頻率的影響

4 結語

利用Hamilton變分原理,建立了SMA層合梁的動力學方程。使用二次攝動法研究了系統的自由振動特性,得出如下結論。

1)較低的溫度下,熱應力占主導,溫度上升使得線性固有頻率下降。

2)初始應變越大SMA恢復應力越大,系統剛度越大;SMA體積分數越大,系統的剛度、慣量同時增加,慣量的增加大于剛度的增加。

3)長高比增大時,頻率比增大,線性頻率減小;SMA鋪設方向與主方向夾角的增加,導致線性頻率下降,而頻率比上升。