利用“問題”驅動深度思考

楊潔

在一次高中數學同課異構教學研討活動中，四位教師分別上了一節“統計”的起始課.四節課觀摩下來，感覺教師風采各有千秋，但是四節課也存在兩個共性問題.第一個問題是，沒有關注起始課如何上.其中三位教師幾乎是跳過章引言，直接進入第一課時的教學，沒有站在更高的位置去設計教學，沒有整體教學意識，只注重知識點的講授.有一位教師雖然呈現了章引言，但是不盡人意，輕描淡寫，一帶而過.第二個問題是，所提問題啟發性不強，沒有真正啟發學生的深度思考；所提問題比較零散，問題之間關聯性不強，沒有形成一條主線.

針對以上存在的兩個共性問題，筆者的解決方案如下：一是章起始課首先要解決“為什么學”“學什么”“怎么學”這三個問題，再根據具體內容與學生實際情況，適度進入第一課時的教學.二是通過設置恰當的“問題串”，揭示知識的邏輯關系和內在聯系，使“問題串”成為教學主線，由淺入深，驅動學生的深度思考，從而推進課堂教學.

以下是筆者根據解決方案重新設計的“統計”起始課的教學，現以文字的形式分享如下，與各位同行共勉.

1 內容與內容分析

1.1 教學內容

本節課的教學內容是普通高中數學教科書人教A版必修第二冊第九章“統計”章引言、“9.1隨機抽樣”節引言以及“9.1.1簡單隨機抽樣”.

1.2 內容分析

本章是高中階段統計內容的第一章.在義務教育階段，學生已經學習過有關的統計初步知識，本章是在此基礎上作進一步學習，學習內容主要是數據收集與整理的方法、數據直觀圖表的表示和數據統計特征的刻畫方法.

本章引言部分主要通過現實生活中的統計數據，讓學生感受到生活中處處有統計數據，體會學習統計的必要性；并介紹統計學的學科特點以及用統計解決問題的一般過程，讓學生理解用統計解決問題的基本思路以及本章所要學習的內容.

本節研究的是隨機抽樣.學生在初中階段已經初步學習了數據的收集方法，即全面調查與抽樣調查.本節從抽樣的兩種基本方法——簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣開始研究，共計4課時.第一課時首先探索簡單隨機抽樣概念，再研究簡單隨機抽樣的兩種基本方法，即抽簽法與隨機數法.

2 目標與目標解析

2.1 教學目標

（1）了解學習統計的必要性以及用統計解決問題的一般過程.

（2）了解抽樣調查的必要性與目的，體會統計的基本思想.

（3）了解簡單隨機抽樣的概念，感受樣本的隨機性.

（4）通過實例掌握抽簽法與隨機數法的操作流程.

（5）能根據具體問題選擇合適的抽樣方法.

2.2 目標解析

（1）通過現實生活中的統計數據，感受生活中處處有統計數據及統計數據給生活帶來的便捷，體會學習統計的必要性與統計的學科特點.通過對問題的思考導入本章學習的基本思路與內容.

（2）能舉出具體實例說明抽樣調查的必要性，能說出抽樣調查的目的，體會統計的基本思想.

（3）通過探究活動經歷概念的形成過程，感受簡單隨機抽樣的隨機性，能歸納并概括出簡單隨機抽樣的概念.

（4）通過經歷具體問題的解決過程，掌握抽簽法與隨機數法的操作流程.

（5）通過對比具體的實例，能根據具體問題選擇合適的抽樣方法.

3 教學問題診斷

本章的學習是建立在初中已學習的統計相關知識的基礎上的，而初中學生初步學習了收集數據的基本方法即全面調查和抽樣調查，以及分析數據與描述數據的初步知識，還學習了隨機事件與概率、用頻率估計概率等.

本節課學習簡單隨機抽樣的概念以及抽簽法與隨機數法.教材安排了一個探究問題，通過問題的探究，引導學生經歷簡單隨機抽樣概念的生成，感受抽樣的隨機性.在此探究中，學生可能會大致描述放回摸球與不放回摸球的過程，但是至于為什么要搖勻，學生很少會深入思考，這樣就感受不到抽樣的隨機性.而頻率與概率之間的關系到底是什么，對于學生來說是這節課的一個難點.因此，在探究過程中可以設置系列追問，引導學生具體要“探究什么”“怎樣探究”從而突破難點.

4 重難點

教學重點：掌握抽簽法與隨機數法的基本步驟.

教學難點：探究簡單隨機抽樣的概念.

5 設計理念

（1）章節起始課從“大處著眼”，給予學生“先見森林，后見樹木”的景象.章引言部分解決“為什么學”“學什么”“怎么學”這三個問題.

（2）教學過程主要以“問題串”為主線，以問題促進學生深度思考，引導學生思維，從而推進教學.

（3）主要教學方式：啟發式.

6 教學過程設計

6.1 情境導入（章引言）

問題1? 想一想，生活中你接觸過哪些統計數據？

師生活動：先由學生思考后自由回答，教師適時展現常見的一些統計數據，如，高考錄取情況數據、人口總量、經濟增長率、就業狀況、學生的平均身高等生活中常見的統計數據，引導學生感受身邊處處都有統計數據，并介紹統計學是通過收集數據和分析數據來認識未知現象的一門學科.

設計意圖：引導學生聯系生活實際，體會統計數據無處不在以及統計數據給生活帶來的便捷，感受統計的重要性，即解決章引言中“為什么學”的問題.初步了解統計學科的特點.

問題2? 觀看短視頻，簡單談談自己的感想.

師生活動：教師播放一段關于“2022年中國國際大數據產業博覽會”的50秒鐘短視頻，學生認真觀看后簡單談談自己的感想.教師適時引入“如何收集數據？”“如何從數據中提取信息來認識未知現象？”“這種認識一定正確嗎？”“如何正確解釋統計結果？”這四個思考問題，從而導入本章的學習內容.

設計意圖：通過觀看視頻，感受大數據時代，引發思考問題，即解決“學什么”“怎么學”的問題，從而導入本章學習內容.引導學生從“大處著眼”，建立學習的基本框架與基本思路.

6.2 復習回顧（節引言）

問題3? 在初中我們學過哪些統計知識？

追問1：什么是全面調查？總體、個體各是什么？什么是抽樣調查？樣本、樣本容量各是什么？

追問2：抽樣調查的目的是什么？

追問3：抽樣調查的必要性是什么？舉例說明.

追問4：如何科學地抽取樣本，使樣本能充分反映總體情況？

師生活動：教師拋出問題，學生自由回答.適時引導學生回顧初中學習過的統計知識，如，全面調查、抽樣調查，并舉例說明什么是全面調查、總體、個體，什么是抽樣調查、樣本、樣本容量，進一步加深對全面調查與抽樣調查及其相關概念的理解.對于追問2，學生不一定能正確作答，教師要適時引導.追問3要求舉例說明抽樣調查的必要性，學生可能回答不全面，需要教師補充.對于追問4，可以引導學生說出“客觀、公平、具代表性”即可引入“簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣”，于是進入“9.1.1簡單隨機抽樣”的教學.

設計意圖：以問題引導學生回顧初中學習的統計知識，進一步加深對全面調查與抽樣調查及其相關概念的理解，同時也為后面的學習作鋪墊.

追問1～4是根據本章節的教學內容按照知識的邏輯順序由淺入深、層層遞進設置的.通過追問，引導學生理解抽樣調查的目的、必要性及如何科學抽樣的本質，意在讓學生知道“拉車的同時要記得抬頭看路”.

從復習中導入新課，體會知識的承上啟下，引導學生注重知識的整體性與關聯性，不局限于知識的細枝末節，體會統計的基本思想.

6.3 探究新知，歸納概念

問題4? 假設袋中共有1 000個紅色和白色小球，除顏色外，小球的大小、質地完全相同，你能通過抽樣調查的方法估計袋中紅球所占的比例嗎？

方案1：（放回摸球）摸球—記錄—放回—搖勻—摸球……

追問1：為什么要搖勻？

追問2：當取出n個球時，摸到紅球的頻率是多少？

追問3：摸到紅球的頻率與概率的關系是怎樣的？

追問4：放回摸球有什么不足之處？

方案2：（不放回摸球）摸球—不放回—摸球……

追問5：當樣本容量n=1 000時，摸到紅球的頻率與概率的關系是怎樣的？

師生活動：拋出問題，學生思考后回答.適時引導學生描述放回摸球的基本流程并提出追問1～4；同樣地，請學生描述不放回摸球的基本流程，教師適當點撥或補充，接著提出追問5.在整個過程中，教師一定要注意傾聽學生的回答，適時點撥與補充.最后，在總結放回摸球與不放回摸球兩種方案的同時，歸納放回簡單隨機抽樣與不放回簡單隨機抽樣的概念，并強調它們統稱為簡單隨機抽樣，且本章所稱的簡單隨機抽樣都是指不放回簡單隨機抽樣.

設計意圖：問題4是教材安排的探究活動，對于基礎比較薄弱的學生來說，只能從表面上描述放回摸球與不放回摸球的基本流程，缺乏進一步的思考.筆者通過設置追問1～5，給學生指明探究的方向，即具體要探究什么、怎樣探究，引導學生深度思考，從而突破難點.體會抽樣的隨機性，感受用樣本估計總體的基本思想.通過探究過程，學生經歷數學對象的獲得過程，即經歷“具體事例—觀察—分析—比較—總結—歸納—抽象、概括”的全過程，可以更好地歸納總結出簡單隨機抽樣的概念，也可以更好地理解概念.

6.4 簡單隨機抽樣的常用方法

（1）抽簽法

問題5? 為了了解某校全體高一712名學生對食堂飯菜的滿意程度，打算先在每個班級中隨機抽取5人進行調查.某班有50名學生，為保證抽取的公平性，你打算如何抽取這5人？

追問1：為什么要編號？編號用學號可以嗎？

追問2：為什么要攪勻？

師生活動：學生自主思考，教師選取學生代表說一說具體的操作流程，并適時提出追問1和追問2，歸納出抽簽法的一般步驟.

設計意圖：此環節教材的處理只提出了一個問題，也就是“已知樹人中學高一年級有712名學生，要了解他們的身高，用簡單隨機抽樣如何抽取樣本？”然后分別介紹用抽簽法和隨機數法抽取樣本的基本流程.筆者認為將712名學生進行編號制簽，操作起來比較麻煩，不便于學生具體操作，所以先提出問題5，方便學生親自實踐，便于總結抽簽法的一般步驟.追問1是為了讓學生了解要將每個個體區分開來，追問2是讓學生感受隨機抽樣的隨機性.

（2）隨機數法

問題6? 為了了解某校全體高一學生對食堂飯菜的滿意程度，如果直接要從高一年級712名學生中隨機抽取50名學生進行調查，你覺得抽簽法合適嗎？

追問：有沒有其他方法可以簡化制簽過程？

師生活動：讓學生思考并說出抽簽法的不方便之處，并提出追問，引入隨機數法.

設計意圖：提出問題6，讓學生嘗試考慮用抽簽法來抽樣，同時感受到當總體較大時，用抽簽法比較費時費力且攪拌困難.通過追問，啟發學生思考其他抽樣方法，進而引入隨機數法.通過這兩個具體問題的解決，學生不僅能掌握抽簽法與隨機數法的基本歩棸，而且能感受抽簽法與隨機數法的適用性，從而在面對具體問題時，知道如何選擇合適的方法.

（?。┯秒S機試驗生成隨機數

①準備十個大小、質地一樣的小球，小球上面分別寫0，1，2，……，9，把它們放到一個不透明的袋中.

②有放回地摸取3次，每次摸取前充分攪拌.

③把第一、二、三次摸到的數字分別作為百、十、個位數，這樣就生成了一個三位數.

④若這個三位數在范圍內，則抽中對應編號的學生；否則舍棄，重復的數剔除.

師生活動：教師課前準備十個大小、質地一樣的小球，小球上面分別寫0，1，2，……，9，把它們放到一個不透明的袋中，介紹用隨機試驗生成隨機數的基本流程，隨后讓兩位學生面向全體學生抽取3個三位數的隨機數，并記錄到黑板上.

設計意圖：通過一組演示操作，經歷用隨機試驗生成隨機數的全過程，便于學生理解隨機數產生的原理.

（ⅱ）用信息技術——計算器、電子表格軟件、R軟件生成隨機數.

師生活動：首先分別介紹并演示用計算器、電子表格和R軟件生成隨機數的方法，并讓個別學生嘗試用計算器與電子表格軟件生成隨機數；其次介紹用信息技術工具生成隨機數的優點.

設計意圖：通過介紹并演示用計算器、電子表格軟件、R軟件生成隨機數的方法，感受用信息技術產生隨機數的便捷.

問題7? 對比抽簽法與隨機數法，如何選取合適的方法？

問題8? 用簡單隨機抽樣法抽取樣本，樣本量是否越大越好？

師生活動：學生思考并回答，教師適時點撥與補充.

設計意圖：引導學生思考要聯系實際來選擇解決問題的方法與策略.

6.5 課堂練習

略.

6.6 課堂小結

回顧本節課所學內容，回答下列問題：

（1）已學習過的收集數據的方法有哪些？

（2）抽樣調查的目的是什么？

（3）簡單隨機抽樣的常用方法是什么？

（4）抽簽法、隨機數法的步驟各是什么？

（5）用隨機數法抽取樣本時需要注意什么？

（6）對比抽簽法與隨機數法，如何選取合適的方法？

師生活動：學生自主根據問題回顧本節內容，教師抽取個別學生回答，并適時補充.

設計意圖：通過問題的形式，引導學生梳理本節知識，提高概括總結能力.

本節課是“統計”的起始課，教學容量比較大（思維容量、內容容量），概念比較多，既要處理好章引言的教學，又要進行第一課時的教學，這是一節具有挑戰性的課型.關于起始課的教學內容，筆者認為除章引言外，是否進入第一課時的教學，具體教學到哪里，應該視教學班級的學情而定，不應受到束拘.