巧求橢圓柱面的轉動慣量*

黎 磊 萬慧軍 勾慶東

(井岡山大學數理學院 江西 吉安 343009)

轉動慣量是物理學乃至整個自然科學的一個重要概念,它反映了物體轉動下的慣性,轉動慣量越大的物體角速度越難被改變.作為轉動定理中的一個重要物理量,轉動慣量貫穿在整個轉動力學中,掌握轉動慣量的多種計算方法是學好轉動動力學的前提.眾多大學物理教材以及教學參考書中會給出較為簡單的剛體模型對相應轉軸的轉動慣量計算公式,如勻質的圓環、圓盤、圓柱體、圓柱面、球、球面等,不過基本都是在直角坐標系下利用轉動慣量的定義直接積分求得.針對不同類型的剛體模型,往往可以有不同的轉動慣量計算方法和技巧,選取合適的方法可以簡化計算,比如:文獻[1]利用三角形的頂點坐標與邊長的關系,直接推導出任意的勻質三角形框線繞其質心軸旋轉的轉動慣量.文獻[2]應用量綱分析法,遞推出了幾類分形物體的轉動慣量.文獻[3]用廣義柱面坐標變換計算了橢圓柱體繞對稱軸旋轉的轉動慣量.文獻[4]用質量投影法計算了均質橢圓柱面剛體對中心對稱軸的轉動慣量.文獻[5]在極坐標下計算了勻質橢圓環和橢圓盤對過焦點和過中心的豎直轉軸的轉動慣量.

本研究針對橢圓柱面模型,利用極坐標在表示質元到轉軸距離上的優勢,采用以橢圓中心為極點的極坐標方程并結合平行軸定理,計算了橢圓柱面繞3個中心對稱軸旋轉的轉動慣量.本方法另辟蹊徑,不需要給出曲面的面積微元表達式,對于初學者更容易理解,本研究內容推導過程詳細,思路清晰,不管是對極坐標的應用教學還是對轉動慣量的求解教學都具有啟發意義.

1 橢圓柱面的轉動慣量

如圖1所示,在橢圓柱面模型中建立直角坐標系Oxyz,原點O選在橢圓柱面中心橫截面的中心,x軸沿著橫截面橢圓的長軸方向,y軸沿著橫截面橢圓的短軸方向,z軸沿著橢圓柱面的高度方向.橢圓柱面的質量為m,高度為L,橫截面橢圓的長半軸為a,短半軸為b,離心率為e.采用微元法,在橢圓柱面上選取寬度為dz的薄橢圓環作為微元,橢圓環到Ox、Oy轉軸的距離為z.我們首先計算橢圓環微元繞Ox、Oy、Oz軸轉動的轉動慣量.

圖1 橢圓柱面示意圖

如圖2所示,以中心為極坐標原點的橢圓的極坐標方程可以表示為

(1)

圖2 橢圓環微元

橢圓環的弧長微分在極坐標下可表示為

(2)

對式(2)進行化簡積分,得到橢圓環的長度表達式為

(3)

根據轉動慣量的計算公式并結合平行軸定理,可以將橢圓環繞Ox、Oy、Oz軸轉動的轉動慣量分別寫為

(4)

(5)

(6)

對式(4)積分,可求出橢圓柱面繞Ox軸轉動的轉動慣量為

(7)

對式(5)積分,得到橢圓柱面繞Oy軸轉動的轉動慣量為

(8)

同理,對式(6)積分,得到橢圓柱面繞Oz軸轉動的轉動慣量為

(9)

2 討論與數值計算

我們討論一種特殊情況,當橢圓的離心率e=0時,橢圓柱面轉化為圓柱面,此時橢圓的長短半軸相等,有a=b=R(圓半徑),橢圓周長L′=2πR.將這些代入式(7)、(8)、(9),計算可得

此即圓柱面繞相應對稱軸旋轉的轉動慣量表達式.

因為橢圓柱面的轉動慣量不能用只包含初等函數的解析表達式寫出來,所以我們對式(7)、(8)、(9)進行數值計算.假設m= 12 kg、L= 4 m,圖3、4、5分別給出了Jx、Jy、Jz對橫截面橢圓長短半軸a、b的依賴關系曲面.特別地,當a=b=R=3 m時,如圖3、4、5所示,數值結果表明Jx=70 kg·m2,Jy= 70 kg·m2,Jz= 108 kg·m2,這和圓柱面對相應轉軸的轉動慣量的理論公式結果

圖3 橢圓柱面繞Ox軸旋轉的轉動慣量Jx

圖4 橢圓柱面繞Oy軸旋轉的轉動慣量Jy

圖5 橢圓柱面繞Oz軸旋轉的轉動慣量Jz

Jz=mR2=108 kg·m2

一致.

3 總結

本文在極坐標下結合平行軸定理巧妙地求解了勻質橢圓柱面分別繞Ox、Oy、Oz3個中心對稱軸旋轉的轉動慣量,并對結果進行了討論和數值計算.本研究內容不僅可以用于大學物理教學中對轉動慣量相關計算的擴充講解,也可以在極坐標相關應用的課堂教學中發揮作用,加深學生對轉動慣量和極坐標這兩個知識點的認識.另外,本文中的計算方法也可以用于橢圓柱體、橢球體、橢球面等模型的轉動慣量計算,作為課本上沒有涉及的擴充解法.這種基于新的求解思路的教學可以激發學生對大學物理理論知識的探究興趣,培養學生的創新性思維能力.