流體阻力和拋射高度對拋射體運動規律的影響研究*

易 婉 周 琪

(湖南科技大學物理與電子科學學院 湖南 湘潭 411201)

陸振煙

(湖南科技大學物理與電子科學學院 湖南 湘潭 411201;智能傳感器與新型傳感材料湖南省重點實驗室 湖南 湘潭 411201)

麻志君 周海霞

(湖南科技大學物理與電子科學學院 湖南 湘潭 411201)

在物理學中,拋體運動的相關研究是極為重要的內容,其中最簡單也是最常見的模型為:不考慮流體阻力的影響,且拋出點與落地點處在同一水平線上,此時的拋體運動的軌跡是一條關于通過最高點的垂線左右對稱的拋物線,最佳拋射角為45°[1],且該角度與拋體初速度和質量均無關.但當拋射點與落地點不在同一條水平線上時,拋體的最佳拋射角會隨著拋射高度的增加而減小.在忽略空氣阻力的前提下,文獻[2]研究了運動員身高和手臂長度對鉛球運動成績的影響,結果表明運動員肩膀高度的差異對拋射速度的影響非常小,但對最大射程有一定影響,差別約為幾十厘米,且肩膀高度越高,最佳拋射角越小而最大射程越大.在將理論計算結果與國內著名鉛球運動員的比賽數據進行比較后,發現假若運動員的實際拋射角越接近理論預測的最佳拋射角,則射程越遠,反之則射程越近.這表明理論計算結果的可信賴程度高.

自然界和軍事活動中,常常能見到高速飛行的物體.而當流體密度比較大或飛行物體速度很大時,流體阻力對飛行物體的影響將變得不可忽略[3].在文獻[4]中,考慮空氣阻力與速度成正比的條件下,利用拉格朗日乘子法推導和研究了斜面上拋射物體運動規律,而文獻[5-6]則考慮了空氣阻力與速度的平方成正比情形下,通過 Matlab 數值求解其常微分方程,分析了射程、射高和飛行時間與初始角度之間的關系.但這些討論僅局限于斜面拋體或拋出點和落地點在同一水平線上的情形,而且并沒有將阻力、初速度、拋射高度對拋體運動的影響進行綜合考慮.因此,本研究將從拋體動力學方程出發,推導一般情形下拋體運動軌跡方程,并進行數值計算和作圖,從理論上探究阻力、初速度和拋射高度對拋體運動最佳拋射角的影響.

1 考慮阻力的拋體運動模型

我們假設拋體的質量為m,拋射速度為v0,拋射高度為L.如圖1所示,建立直角坐標系xOy,質量為m的物體從原點O正上方L處以大小為v0的初速度拋出,初速度與x軸方向的夾角為θ,運動時間為t時的速度為v.當拋體軌跡與直線y=0相交時,交點與原點的水平距離即為拋體的射程,記為X.

在流體中運動的物體,其所受阻力通常與運動速度的冪次相關[7].為了簡單起見,我們考慮阻力大小與拋體速度成正比關系[8-9],即

f=-kv

(1)

對于拋體運動,我們可以將運動分解為沿著x和y軸方向的變速直線運動.根據牛頓第二定律,考慮阻力的x和y方向的動力學方程為

(2)

當t=0時,有初始條件x=0,y=0,vx=v0cosθ,vy=v0sinθ.對式(2)進行分離變量,并結合初始條件積分得到拋體運動在x和y方向的速度大小為

(3)

進一步對式(3)進行積分,可得到物體在x和y兩個方向的運動學方程為

(4)

再利用消元法消去時間t可求得拋體運動的軌跡方程為

(5)

假設物體落到水平地面的射程為X,由式(5)可知拋體射程X滿足如下超越方程

(6)

很顯然,無法從上述超越方程中直接反解出拋體射程的顯式表達式.與文獻[8]中采用近似法求解超越方程的解不一樣,我們利用數學軟件編寫代碼對其數值求解,并最終通過作圖軟件進行繪圖,更加詳細及直觀展示阻力及拋射高度對拋體最佳拋射角的影響,具體數值計算結果將在下面進行詳細展示和討論.

2 數值計算結果及分析

圖2 拋體運動軌跡與流體阻力的關系

2.1 阻力及初速度對拋體最佳拋射角的影響

圖3 拋射高度L=2 m時,最佳拋射角隨初速度的變化關系

圖4 拋射高度L=10 m時,最佳拋射角隨阻力系數的變化關系

2.2 流體阻力、初速度及拋射高度對拋體最佳拋射角的影響

為了從多方面展示最佳拋射角隨阻力系數的變化關系,我們在圖5中描繪了初速度v0=100 m/s以及拋射高度L=2 m、5 m、10 m、20 m、50 m、100 m、200 m的條件下所得到的最佳拋射角與阻力系數的變化曲線.這幾條單調下降的曲線表明最佳拋射角隨空氣阻力系數的增大而減小:當拋射高度較小時,其對應的最佳拋射角較大,并且曲線的下降相對而言也較為平緩;而當拋射高度較大時,曲線下降的速度更大一些,其中對應于L=100 m、200 m的兩條曲線甚至幾乎呈直線型下降.但無論拋射高度是大還是小,在拋射高度與初速度確定的情況下,最佳拋射角都是隨著空氣阻力系數的增大而減小,且變化趨勢逐漸變得平穩,最后趨于一個穩定的值.

圖5 初速度v0=100 m/s時,最佳拋射角隨阻力系數的變化關系

圖6 阻力系數時,最佳拋射角隨初速度的變化關系

圖7 初速度v0=100 m/s時,最佳拋射角隨拋射高度的變化關系

3 結論

流體阻力對高速飛行物體的影響通常不可忽略.本文從拋體的動力學方程出發,推導考慮阻力和拋射高度影響下拋體運動的軌跡方程,借助數學軟件進行數值計算和繪圖,定量研究了阻力和拋射高度對拋體運動規律的影響,得出以下結論.