基于綜合難度系數模型的高考數學試題評析
——以2021——2023 年全國甲卷為例

文尚平 楊璧華

一、問題提出

2019 年6 月，《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》指出，學業水平選擇性考試與高等學校招生全國統一考試命題要以普通高中課程標準和高校人才選拔要求為依據，優化考試內容，突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，科學設置試題難度，建立命題評估制度，提高命題質量。[1]高考是一項高利害的教育測評活動，嚴格保密等特殊性要求決定了試題的信度、效度、區分度和難度等評估工作多在測試后進行，屬于測后標定的評估。數學試卷綜合難度是指數學試卷的內容、結構妨礙學生完成答卷的阻力程度。[2]利用綜合難度系數模型對數學試題進行整體難度評估，可以在一定程度上實現測前難度標定，進而為合理有效地調控難度提供基本保障。

綜合難度系數模型是比較教育研究中較為成熟的一種量化評價方法。[3]Noharad 在2001 年提交給美國國家統計中心（NCES）的一份報告中最早提到了綜合難度系數模型，該報告將綜合難度因素劃分為“實際背景、問題擴展、運算水平、推理過程”4 個維度。[4]鮑建生對上述模型進行了完善，提出了更符合我國實際的數學課程綜合難度系數模型，他將綜合難度因素劃分為“探究、背景、運算、推理和知識含量”5 個維度。[5]此后，我國學者在理論探索與實踐操作層面做了許多嘗試：王曉華基于模糊數學原理和方法，建立了大規模教育考試試題難度模糊綜合評判模型，并采用定性與定量相結合的方式預估試題的難度[6]；武小鵬等人改良了鮑建生的數學課程綜合難度系數模型，將綜合難度因素劃分為背景、是否含參、運算、推理、知識含量、思維方向和認知水平7 個維度[7]；周東岱等人基于自然語言處理和深度學習技術，提出“試題文本、試題結構、知識深度、認知目標”4 個一級維度的難度影響因素框架，構建了適用于選擇、填空、解答等多種題型的試題難度自動預測機制和模型[8]；曹翛騖等人研究發現，2013—2022 年全國Ⅱ卷理科數學試題綜合難度呈現“低起點、多層次、高落差”的考查特點[9]；劉靜等人研究發現，實行“3+1+2”新高考方案后，新高考Ⅰ卷在“背景因素、運算水平、推理能力、知識含量、認知水平”5 項因素上的難度系數明顯高于全國Ⅰ卷[10]；王亞妮等人研究了2020 年浙江卷、海南卷及全國Ⅱ卷試題綜合難度，發現高考數學試卷編制注重數據分析、邏輯推理的問題導向，同時展現了結構合理、難度適中的結果導向[11]。

可以看出，對高考數學試題的綜合難度進行研究已經成為數學教育測評的熱點問題。為此，本研究采用綜合難度系數模型對2021—2023 年高考全國甲卷數學試題的知識水平層次、考查難度進行分析，整體上呈現近3 年全國甲卷數學試題的綜合難度及其考查特點，為合理控制數學試題難度提供參考。

二、研究對象與工具

1.研究對象

隨著新高考綜合改革的逐步推進，2021 年，教育部統一命制了全國甲卷試題（含文科、理科）取代全國Ⅲ卷（含文科、理科）。2023 年，廣西、貴州、云南、四川等還未參與新高考綜合改革的?。▍^）仍使用全國甲卷試題。本研究選取2021—2023 年高考全國甲卷文科、理科共6 套數學試題作為研究對象。

2.研究工具

本研究借鑒鮑建生及武小鵬等人建構的綜合難度系數模型，在武小鵬等人的七因素模型框架中增加數學文本閱讀對試題綜合難度的影響，形成“情境、參數、運算水平、推理能力、思維方向、知識含量、認知水平、閱讀量”八因素框架。筆者首先將八因素水平的內涵做相應修改，使得內涵描述更具體，更易于操作。其次，按照A～H對8 個難度因素逐一進行編碼，將難度因素劃分為不同水平，并依次賦分。數學試題綜合難度系數模型框架的具體內容如表1 所示。

表1 數學試題綜合難度系數模型框架的水平劃分及內涵描述

將數學試題綜合難度系數模型框架編碼后的數據代入公式（1）計算各因素的難度系數di（i=1，2，…，8），再代入公式（2）計算試卷整體綜合難度系數D。

3.編碼方法

按照表1 中各難度因素水平劃分及內涵描述，對2021—2023 年高考全國甲卷文、理科數學試題進行編碼，編碼示例如下：

（2023 年全國甲卷理科數學第7 題）設甲：“sin2α+sin2β＝1”，乙：“sin α+cos β＝0”，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

難度水平分析：本題根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系進行設置，題目考查純數學知識，屬于數學情境，故編碼為A1；不涉及參數，編碼為B1；運算涉及三角函數基本關系，屬于簡單符號運算，編碼為C3；推理步驟多于3 步，屬于復雜推理，編碼為D2；根據題目條件可以順向直接解決問題，屬于順向思維，編碼為E1；涉及充要條件、三角函數基本關系等知識，屬于兩個以上知識點，編碼為F2；需要運用同角基本關系來解題，與程序性知識有關，屬于運用水平，編碼為G2；試題題干及選項字符數為97 個，屬于中等閱讀量，編碼為H2。

為了獲取高考數學試題更合理的編碼數據，本研究將前面獨立編碼所得數據委托另外兩位專家進行復審，其中1 人是正高級教師，另1 人是曾獲得全國數學優質課一等獎的高級教師。收回兩位專家修改后的編碼數據后再次進行校對、分析和討論，最終確定了本研究的編碼數據矩陣，并對編碼后的原始數據進行匯總統計，具體數據如表2 所示。

表2 2021—2023 年高考全國甲卷數學各難度因素考查情況統計

三、試題評析結果

為了形象直觀地展示2021—2023 年高考全國甲卷文、理科數學試題在8 個難度因素上的考查情況，本研究對試題難度進行局部分析并繪制柱狀圖與雷達圖，圖1～圖8 中的數據分別代表難度因素不同水平的占比。

圖1 情境的考查情況

1.各難度因素考查情況

（1）情境

在《現代漢語詞典》中，情境被解釋為“情景、境地”。數學試題中的“情境”即“問題情境”，是指以問題或任務解決為中心構成的活動場域?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017 年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標準》”）將情境分為“現實情境、數學情境和科學情境”三大類。[12]數學學科的學習重點在于培養學生的抽象思維、邏輯推理能力，因此，高考數學命題往往更突出純數學情境的考查，同時兼顧現實情境和科學情境。

由圖1 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題中，純數學情境的占比均遠超現實情境、科學情境，科學情境又稍低于現實情境；6 套試題的數學情境占比均超過82%，其中占比最高的是2022年文科卷，高達90%；3 種不同情境類型的占比近年來保持相對穩定。另外，同一年份中，文科卷數學情境的占比稍高于理科卷，現實情境和科學情境的占比又稍低于理科卷。其中，2023 年文、理科卷中科學情境試題各有3 道，高于2021年、2022 年。

總體來看，近3 年高考全國甲卷數學試題很好地貫徹了“情境中培養核心素養”的理念。如2023 年理科數學第19 題介紹了研究臭氧效應的一項實驗，題干給出了詳細的研究方案及實驗數據，第（1）問求隨機變量的分布列和數學期望，第（2）問求樣本中位數并進行獨立性檢驗。試題以研究臭氧對生物生長的抑制效應為背景，考生需要收集、分析和處理數據，進而得出結論，其不僅涉及數字特征計算的純數學情境，還涉及生活中臭氧對生物生長影響的現實背景，更以實驗對照方式提出了一個科學研究的基本問題。這些試題既突出了蘊含于數學知識與問題解決過程中的數學情境，考查學生提出、探究、解決問題的能力，也突出了面向服務生活、生產實踐的現實情境，考查學生將現實情境抽象為數學問題的能力，還突出了科學情境的設計，考查學生科學探索的學科素養，引導學生形成正確的生活觀、科學觀。

（2）參數

參數，也叫參變量，是一個變量。數學問題中常引入一個或一些另外的變量來描述自變量與因變量的變化關系，這些變量被稱為參數。參數體現了數學運動與變化思想，是高中函數、解析幾何中的常見概念，如用含字母的代數式來表示幾何變量的參數、用圖形幾何性質與代數關系來聯立整式進行解題的參數法等。學生能否熟練處理參數問題，關鍵在于對參數本質理解是否充分到位。與試題難度相關的參數因素包括有參數、無參數兩個水平。

由圖2 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題中，無參數試題的平均占比為63%，高于有參數試題。無參數試題占比最高的是2021 年，其中文科卷共21 題，占比高達72.4%，理科卷共20題，占比為69%；其次是2023 年，文、理科卷中無參數試題占比均不低于60%。近3 年全國甲卷6 套試題中有參數試題的平均占比為37%，理科卷的比例整體高于文科卷。有參數試題占比最高的是2022 年，其文、理科卷有參數試題的比重均達到43.3%，在一定程度上增加了該年的試題難度。

圖2 參數的考查情況

近3 年高考全國甲卷數學試題在參數的考查上主要集中于函數、幾何與代數主線，并專門考查了參數方程。如2021 年理科數學第4 題難度適中，以社會普遍關注的青少年視力問題為背景，介紹了五分記錄法和小數記錄法記錄的數據關系L ＝5+lgV。試題中函數模型的參數需要通過數據統計和估計得到，解答這一問題的過程就是學生理解數學對象、掌握數學方法、展開數學運算的一系列數學思維活動過程。

（3）運算水平

數學是研究數量及其運算、圖形及其變換的一門學科。運算是數學學習的一種行為，其本質是集合之間的映射。數學運算一般指代數運算，包括絕對值、指數、對數等的運算，以及冪運算、三角運算、邏輯運算、導數運算等。數學運算要求學生依據運算法則解決問題，其過程主要表現為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果。影響數學試題難度的運算水平因素包括簡單運算（含簡單數值運算、簡單符號運算）和復雜運算（含復雜數值運算、復雜符號運算）。

由圖3 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題在運算水平4 個維度上的考查占比差異明顯。在簡單數值運算的考查上，占比最高的是2021 年文科卷（51.7%），占比最低的是2023 年文、理科卷，均為23.3%。在復雜數值運算的考查上，占比最高的是2021 年理科卷（27.6%），占比最低的是2021 年文科卷（6.9%）。在簡單符號運算的考查上，占比最高的是2023 年理科卷（50%），占比最低的是2022 年文科卷（6.7%）。在復雜符號運算的考查上，占比最高的是2022 年文、理科卷，其占比均為36.7%?？傮w來看，2023 年文、理科卷對復雜符號運算的考查比重較前兩年有所降低。文科卷在數值運算（含簡單數值運算，復雜數值運算）上的考查占比高于理科卷。2023 年文、理科卷簡單符號運算試題的占比均有較大幅度提升。

圖3 運算水平的考查情況

近3 年高考全國甲卷數學試題對數學運算的考查主要集中在以下3 個方面：一是考查學生根據定義、法則、公式進行運算、變形和數據處理的能力；二是考查學生根據條件，尋找并設計運算路徑的能力；三是考查學生根據要求對數據進行估計和近似計算的能力。如2023 年理科數學第17 題：已知數列{an}中，a2=1，設Sn為{an}前n項和，2Sn=nan，第（1）問求{a}的通項公式，第（2）問求數列{}的前n項和Tn。試題要求考生通過變形題干恒等式條件，計算通項的遞推關系或前n項和的遞推關系，通過迭代思想求解出數列的通項公式，再通過錯位相減法，將數列前n項和的部分代數結構轉化為等比數列的求和問題。這既考查了復雜數值運算（解方程求公比），又考查了簡單符號運算（分類討論公比q 與1 的關系），還考查了復雜符號運算（錯位相減法求Sn）?？梢娫擃}靈活，難度較大。

（4）推理能力

推理能力是指個體在頭腦中根據已有的判斷，通過分析和綜合引出新判斷的能力。數學中的推理是獲得數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，也是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。影響試題難度的推理能力因素包括簡單推理和復雜推理兩種。高考數學主要考查學生在解答數學試題時能否做到推理過程明確、邏輯簡單。解題步驟在3 步以下的試題屬于簡單推理試題，3 步及以上的屬于復雜推理試題。

由圖4 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題中，簡單推理試題的占比整體高于復雜推理試題。據統計，6 套卷中簡單推理試題共98 題，占比為55.1%；復雜推理試題共80 題，占比為44.9%。在簡單推理能力的考查上，2021 年文科卷占比最高，2022 年理科卷占比最低。在復雜推理能力的考查上，占比最高的是2022 年，其中文科卷共19 題占比為63.3%，理科卷共23 題占比為76.7%?？傮w來看，簡單推理能力一直是高考數學考查的重點。另外，2021—2022 年理科卷中的復雜推理試題占比均高于文科卷；2023 年文、理科卷中復雜推理試題的占比相同，文理趨于一致。在復雜推理能力的考查上，近3 年全國甲卷文科與理科的差異越來越小。一般來說，高考數學常通過調整兩個推理能力試題的數量來控制試題的綜合難度。

圖4 推理能力的考查情況

整體來看，近3 年高考全國甲卷數學試題十分注重學生數學推理能力的考查。如2023 年理科數學第7 題，假設甲：“sin2α+sin2β=1”，乙：“sinα+sinβ=0”，要求考生根據充分、必要條件的基本概念，結合同角三角函數的基本關系，對甲命題是乙命題的必要不充分條件進行判斷、推理、證明。試題考查學生利用特例“證否”的意識，以及演繹推理能力和歸納推理能力。統計發現，近3 年高考數學試題重點考查了邏輯推理素養，要求考生掌握推理的基本形式和規則，探索和表述論證過程，有邏輯地進行表達和交流。

（5）思維方向

思維是人的一種高級心理活動形式，數學思維是個體用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力。依據學生能否順用現有的知識安排解題思路，并按照數學學科邏輯順向解決問題的表現，將其思維分為兩類，即順向思維和逆向思維，這是兩種不同的思維方向及水平。順向和逆向兩種思維相互補充和促進，學生由順向思維水平提升到逆向思維水平，其本質是思維方向的重建，是個體從單因素作用下的單向聯想轉化為多因素共同作用下的雙向或多向聯想。

由圖5 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題十分注重學生順向思維的考查。在順向思維的考查上，文科卷的占比整體略高于理科卷，文科卷中順向思維的考查占比歷年稍有波動，理科卷則呈逐年遞增趨勢。究其原因，逆向思維是從求解回到已知的過程，這一思維是向對立面方向發展，屬“反其道而行之”，要求學生具有較強的批判性。逆向思維試題難度一般較大。

圖5 思維方向的考查情況

高考數學試題十分注重考查學生這兩種思維的靈活運用。如2023 年理科數學第21 題給出函數結構第（1）問討論函數單調性，第（2）問求不等式f（x）＜sin 2x在恒成立條件下參數a取值范圍。第（1）問考查學生利用導數判定函數單調性的程序性知識，側重順向思維；第（2）問考查學生不等式結構的改造與轉化，函數的構造與分解，以及分類討論、換元思想，側重逆向思維。

總體來看，近3 年高考全國甲卷數學試題以順向思維考查為主，強調問題解決過程中線性推理的考查，體現試題的基礎性。在函數、幾何與代數等主線上，高考數學試題突出考查逆向思維，關注考生問題解決過程中思維獨特性和創新性的綜合考查，這部分試題難度較大，體現了高考的選拔性特點。

（6）知識含量

試題的知識含量，一般指考查知識點的數量，與知識廣度有關，通常認為考查知識點越多，以及跨章節、跨學科越明顯，試題難度也就越大。由圖6 可知，近3 年6 套卷僅考查1 個知識點水平的試題占比明顯大于其他兩個水平；考查2 個或3 個及以上知識點的試題數量逐年遞增，文科卷的知識含量明顯低于理科卷，知識含量不同水平所對應的試題數量整體差異明顯。2022 年文、理科卷知識點交叉的數量較多。

圖6 知識含量的考查情況

總體來看，近3 年高考數學試題涉及3 個及以上單元知識點，含跨章節、跨學科知識試題數量較少，以圍繞1 個知識點或2 個知識點交叉的試題為主。

出于人才選拔的需要，近3 年高考全國甲卷曾出現知識點非常多的試題。如2022 年理科數學第21 題：已知函數第（2）問要求學生證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2＜1。試題要求考生熟練進行指數、對數函數及多項式運算，先構造出要研究的函數對象，再求解。該題分步設問，逐步推進，難度由淺入深，全面考查學生利用導數討論函數單調性、零點、極值和最值等基礎知識掌握情況，涉及知識點廣而多，答題過程需要使用大量的描述性語言。這對學生的閱讀能力、提取信息能力、思維轉化和代數改造能力提出了非常高的要求，試題難度較大。

（7）認知水平

試題的認知水平，一方面指向測試內容的知識水平，即知識深度；另一方面指向考生的素養水平，即能力維度。認知水平包括理解、運用、分析3 種水平，其中，理解水平是指對基本概念、性質和原理的準確把握，運用水平強調使用基本概念進行知識遷移并解決具體問題，分析水平強調綜合運用所學知識解釋并給出解決具體問題的思路、方法、設計及評價。

由圖7 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題中，理解和運用水平的占比整體高于分析水平。在理解水平考查中，文、理科卷考查比重最高的都是2021 年，最低的都是2022 年；在運用水平考查中，文、理科卷考查比重最高的均為2022 年；在分析水平考查中，文、理科卷考查比重最高的均為2022 年。另外，在理解水平的考查上，同一年度理科卷的占比均低于文科卷，但在運用、分析水平的考查上，同一年度理科卷的占比大部分高于文科卷，特別是2022 年理科卷，其運用、分析水平的試題占比較高，難度相對較大。2023 年，文、理科卷在3 個水平上的試題數量分布相對均衡，說明高考數學試題既注重基本概念的考查，也注重問題解決和應用能力的檢測。

圖7 認知水平的考查情況

總體來看，近3 年高考全國甲卷數學試題很好地均衡了理解、運用和分析3 個水平的考查。如2023 年理科數學第20 題第（2）問：已知F為拋物線C：y2=4x焦點，M、N為C上兩點，且FM⊥FN，求△MNF面積的最小值。試題要求學生在純數學情境下計算平面三角形面積最小值，考查了學生分析推理、建模評價、反思計算等綜合能力，以及批判性思維能力。試題要求學生先建立面積模型（屬于理解水平），在模型變量過多導致無法往下求解時，清晰地設計優化面積模型代數結構的解決方案（屬于運用水平），將二元變量問題轉化為一元變量問題，再通過相互的制約關系找到參數的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值（屬于分析水平）。這道試題入口寬、出口窄，突出了基礎性，兼顧了綜合性，試題綜合難度適中。

（8）閱讀量

數學閱讀量是指圍繞數學問題或相關材料，以數學思維為基礎和紐帶，用數學的方法來認知、理解、汲取知識和感受數學文化，并對材料加以理解、應用推理、想象反思和總結歸納等一系列學習活動的總和。閱讀量的評價是以試題題干、問題及選項字符總數量為依據的，包括少量、中等和大量3 個水平。

由圖8 可知，近3 年高考全國甲卷6 套試題中少量水平的占比最高，大部分題干、問題及選項字符數低于50 個。另外，近3 年理科試題在大量水平的考查上呈現遞減趨勢，在少量水平的考查上呈現遞增趨勢。2021 年文科卷中有6 道、理科卷中有10 道試題的題干、問題及選項字符總數在100 個以上，閱讀量較大，對考生提出了很高的要求。

圖8 閱讀量的考查情況

數學閱讀區別于其他學科的閱讀要求，除了文字，還包括圖表、符號、公式、數據等。數學閱讀過程需要展開復雜的思維活動，試題閱讀量較大對學生閱讀素養提出了很高的挑戰。如2021年理科數學第8 題以珠穆朗瑪峰最新高程的測量為背景，將三角高程測量法引入試題，要求學生完成一個不規則空間幾何體兩點高度差的求解任務。這道題字符數達190 個，信息量很大，學生需要對空間幾何體結構和數據進行有效提取，作答難度較大。另外，2021 年理科卷數學字符總數高達8921 個，要求考生在較短的時間里準確捕捉題目信息，并借助已掌握的數學知識對信息進行篩選、判斷、推理、論證等，這對考生閱讀理解、遷移知識和綜合運用的復雜認知提出了很高的要求，試題難度也相應增加了。

2.試卷綜合難度分析

（1）各因素綜合難度系數

基于表2 數據，利用公式（1）和公式（2），分別計算2021—2023 年高考全國甲卷6 套數學試題的綜合難度系數，并繪制不同因素的難度系數雷達圖，詳見表3 和圖9。

圖9 2021—2023 年全國甲卷不同因素的難度系數雷達圖

表3 2021—2023 年高考全國甲卷6 套試題的綜合難度系數

由圖9 可知，近3 年高考全國甲卷6 套數學試題的綜合難度考查存在以下特點：（1）在情境、參數、思維方向、知識含量4 個因素上，6 套卷難度一致性較好；（2）在認知水平、推理能力、運算水平和閱讀量4 個因素上，6 套試題難度有所波動；（3）文科卷各難度因素水平整體低于同一年理科卷，文科卷與理科卷差距最小的難度因素是情境、思維方向和參數；（4）2023 年文科卷與理科卷試題綜合難度相近，與其他年份相比，這兩套卷各因素難度水平一致性最高；（5）2022年文、理科卷在參數、運算水平、推理能力、認知水平4 個因素上整體高于2021 年和2023 年；（6）6 套試題未對思維方向、情境等因素做過多考查，對認知水平、運算水平和閱讀量等因素提出了較高的考查要求。

（2）試卷綜合難度系數

基于表3 中2021—2023 年高考全國甲卷6套試題不同因素的難度系數，繪制出試卷綜合難度系數折線圖，如圖10 所示?？梢钥闯?，首先，近3 年全國甲卷中綜合難度系數最大的年份是2022 年，最小的是2021 年，2023 年居中。其次，文科卷與理科卷的綜合難度系數差異逐年縮小，兩卷的難度系數之差由2021 年的1.13，遞減到2022 年的0.5，再到2023 年的0.3?？梢?，文科卷與理科卷數學試題難度越來越趨向一致，這與新高考取消文理分科、強調數學高考合卷的要求是一致的。再次，2023 年全國甲卷數學試題整體難度相比2022年有所下降?？梢钥闯?，高考數學既全面考查了高中數學必備知識，又兼顧考查學生關鍵能力、思維品質和問題解決能力，還做到了基礎性、綜合性、應用性和創新性的統一，試題綜合難度科學合理。

圖10 2021—2023 年全國甲卷6 套試題綜合難度系數折線圖

四、研究結論

1.運算水平因素難度系數最高，強調數學運算素養的形成

2021—2023 年高考全國甲卷6 套試題的運算水平難度系數總和為13.91，排序第一，明顯高于其他難度因素系數總和。2021 年文科卷運算水平的難度系數為1.93，其余試卷運算水平的難度系數均大于2。2022 年理科卷因涉及大量的復雜數值、符號運算，其難度系數高達2.50?！墩n程標準》將數學運算定義為“在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養”，學生需要“理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序和求得運算結果”。[12]通過分析不難發現，6套試題均突出了數學運算素養的考查，尤其是2023 年，文、理科卷運算水平試題的考查較往年有所增加?？梢钥闯?，高考數學試題通過精心設計運算任務，考查學生合理、正確、簡潔、靈活運算的能力，既提升了試題難度，又發揮了試題的育人導向價值，幫助學生形成積極的數學認識觀和學習觀。

2.試題知識含量逐年增加，關注知識的綜合應用，設計自然合理的問題情境

2023 年理科數學卷中知識含量這一因素的難度系數為1.53，在近3 年理科卷中難度最大，其中，兩個以上知識含量的試題有13 題，占比達到43.33%。6 套試題中，兩個以上知識含量的試題有71 題，占比39.89%，且試題的知識含量逐年增加。這與新高考堅持素養導向的人才培養方向是一致的，即考查學生綜合運用所學知識解釋并給出解決具體問題的思想、方法、設計和評價的能力。全國甲卷數學試題符合《課程標準》中“試題問題情境的設計應自然、合理”的命題原則，也體現了利用“情境與問題”考查數學核心素養的基本思路。相比往年，2023 年全國甲卷增加了現實、科學情境試題，數量達到9 題（文科卷4 題，理科卷5 題），可見其情境因素越來越多元化。

3.認知水平和閱讀量因素難度系數較高，關注數學“四基、四能”和閱讀素養的考查

近3 年6 套試題的認知水平難度系數總和為9.73，在8 個因素中排第二，其難度總體偏高。在認知水平的考查上，高考數學試題命制堅持“價值引領、素養導向、能力為重、基礎為基”的理念。除了突出考查那些外顯的、與技能有關的內容，近3 年高考全國甲卷數學試題也注重考查那些蘊含于數學知識與問題解決過程中的數學思維。如2021 年理科數學第18 題引進結構不良題型，綜合考查學生運用所學知識解釋并設計解決具體問題的方案、方法和評價等能力，既注重知識內容的深度，也強調學生問題解決能力的測評。

6 套卷的閱讀量難度系數總和為9.22，在8個因素中排第三。在閱讀量因素上，文科卷的難度差異較明顯，理科卷的難度比較穩定。統計發現，6套數學試題題干、問題及選項字符總數超過100 個的有33 題，占比18.54%；題干、問題及選項字符總數超過50 個的有83 題，占比46.63%。試題閱讀量最大的是2022 年，共28 題（文科11 題，理科18 題）。近3 年高考全國甲卷數學試題越來越重視數學閱讀素養的考查，但并未出現閱讀量過大、閱讀理解過難的繁題、雜題，這與新高考創設真實自然試題情境、控制適宜的文本字數、設計合理的閱讀理解難度等要求是吻合的。

五、啟示與建議

1.重視數學思維素養的考查，提升設問的可操作性

寧銳等人將數學學科六大核心素養分成“數學思維素養、數學方法素養和數學工具素養”三個層面。[13]數學思維素養包括直觀想象和數學抽象素養，指向事物認識和數學理解兩大基本形式，體現了“會用數學眼光觀察世界”的思維性目標；數學方法素養包括數學運算和邏輯推理素養，指向數學推演和數學建構兩大基本特征，體現了“會用數學思維思考世界”的方法性目標；數學工具素養包括數據分析和數學建模素養，指向問題解決和表達世界兩大基本活動，體現了“會用數學語言表達世界”的工具性目標。近3年高考全國甲卷數學試題運算水平因素的難度系數總和排名第一，其注重復雜數值、符號運算等數學方法素養、數學工具素養等方面的考查，但對數學思維素養的考查有待加強。

首先，數學運算作為一種特殊的演繹推理，是學生處理數學問題并獲得正確結果的基本途徑，其重要性不言而喻。但數學本質上是一門訓練學生思維的學科，應該幫助學生鍛煉數學抽象思維，“會用數學眼光觀察世界”。比如，透過現象看本質的“抽象”、突破“眼見為實”限制的“推理”、將抽象的規律用數學語言表達出來的“建模（應用）”等思維活動，都屬于數學思維素養的重要內容。

其次，高考數學需基于數學學科的本質意蘊、思想含義進行命題。例如，可以在知識網絡的交會點中設問，在概念、法則、命題的推導過程中設問，考查歸納與演繹思維；可以在描述、分析數學問題和構建數學問題直觀模型過程中設問，考查創造與發現思維；可以在數量、圖形及其關系中抽象出數學概念的過程中設問，考查抽象與具體思維；也可以學科知識為思維材料和操作對象，考查學生的語言組織、信息存儲、抽象概括分析推理等直覺與邏輯思維。在考查數學方法素養、工具素養的基礎上，高考數學可適當增加函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想、統計與概率思想等的考查。[14]從數學學科培養的整體目標出發，甄別學生在數學思維、數學方法和數學工具素養上的發展水平和個體差異，合理控制高考試題綜合難度水平。

2.適當增加現實情境和科學情境的考查，創新情境呈現方式

無情境，不成題。情境和情境活動，是新高考數學試題的兩大重要考查載體，也是反映新高考數學試題綜合難度的重要指標?！墩n程標準》將情境分為“數學情境、現實情境、科學情境”三類，并明確提出“在命題中，選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體”。加強情境化試題的命制，不僅可以考查學生知識與技能等外顯行為，還可以考查學生個性、態度、價值觀等潛在素質。[15]高考數學試題應進一步加大現實情境和科學情境的考查，創新情境呈現方式。

首先，在現實情境和科學情境素材的選擇上，要貼近時代、貼近社會、貼近生活，既包括科學、技術、工程、人文和歷史現實等試題情境，也包括現實基礎與合理性的虛構情境。在內容上，統計與概率、數學建模與數學探究活動這兩大主線最適宜創造現實情境和科學情境。高考試題可適當引入經典的數學模型，讓學生在深刻體會利用經典模型后，描述現實世界現象和抽象問題，體會數學的應用性、思維的深刻性，感受專家思維，實現數學領域的情感共鳴，深化價值體認。

其次，近3 年高考全國甲卷數學試題文本主要以文字、符號、數據等方式呈現，有效控制了干擾學生的無關信息，但也在一定程度上限制了試題呈現方式。在創新試題情境呈現方式上，可將字母、數字、文字、圖片、表格或非連續性文本相結合，使試題敘事更加具體、語境更加豐富。這便于考生更直觀、更清晰地了解試題考查要求，并在問題解決過程中提升數字、圖表、文本信息的獲取轉化能力，促進高階思維的發展。

3.重視數學閱讀能力考查，豐富試題結構

《課程標準》指出“教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等”。[12]沒有閱讀的輸入，就沒有思考的原料與前提，學習就無從談起。數學閱讀既是個體對數學文字、符號及圖表進行理解和內化的心理過程，也是對閱讀材料進行猜想、驗證、推理與反思的認知活動。重視數學閱讀考查可從豐富試題結構入手。

首先，數學閱讀能力包括學生利用已有認知對數學材料加以理解、應用推理、想象反思和總結歸納等能力?？梢酝ㄟ^“圖文并茂”的方式設計試題，考查學生文字語言、圖形語言、符號語言之間的轉換能力、互譯能力，具體包括邏輯推理、精確表達、讀寫結合、語意轉換等題型結構。研究表明，符號語言因抽象性增加了學生數學閱讀的困難，圖形語言因直觀性（圖優效應）降低了數學閱讀的難度。[16]這提示教師可通過“圖文并茂”的試題結構，適度降低題型的抽象程度。

其次，適當引入數學教材中沒有出現過的新概念、新運算、新符號，設計“新定義類試題”，考查學生基于已有認知進行閱讀、理解、推理和遷移的能力?！靶露x類試題”涉及一種“新運算”、一種“新概念”或中學與大學銜接中的“新知識”，主要考查學生閱讀新定義、理解新定義、應用新定義等能力，可以發展學生在問題解決過程中的多元建構思維能力。具體形式有閱讀提取概念、整合關鍵信息、理解已知條件、建立數學關系、解決數學問題等。