多載荷作用下轉向構架結構可靠性評價分析

王景輝，李文濤，邱 陽

（1.渤海理工職業學院機電工程系，河北 滄州 061199；2.包頭北奔重汽橋箱有限公司，內蒙古 包頭 014000）

1 引言

如何將實際工程系統的物理模型轉化為數學模型是構造功能函數的關鍵。為了解決這一問題，典型的模型有多項式響應面（Polynomial Response Surface，PRS）［1］、人工神經網絡［2］、徑向基函數［3］、支持向量機［4］等，其中PRS是應用最廣泛的全局逼近方法，與其他模型相比，它不僅可以用簡單的函數逼近代替實際復雜的仿真模型，而且可以直接得到函數表達式進行分析計算。鑒于響應面（Response Surface，RS）的優點，有學者對其進行了研究，提出了多級多項式響應面方法［5］、改進響應面［6］、迭代改進響應面［7］等。雖然這些方法對提高擬合精度和計算效率做出了一定的貢獻，但模型的不確定性仍然被忽略。這些不確定性的物理模型中，不能準確地轉化為數學模型，且計算誤差引起數值不準確。對于結構不確定性的研究方法中，最常用的方法是蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation，MCS）［8］，MCS方法滿足精度要求的結果必須依賴大量的計算，計算效率低。文獻［9］提出了一種改進的子集仿真（Subset Simulation，SS）方法，用于估計多種隨機響應的小故障概率，該方法可以有效地解決多種隨機響應的可靠性問題，但是只能解決隨機變量相同的多重隨機響應問題，并且在不同的工況下，失效模式和參數變量可能不同。

為此，提出了一種變載荷下轉向架構架結構可靠性分析方法，建立了轉向架構架的多項式響應面代理模型（PRS），考慮到計算誤差和各工況的失效模式，對模型進行了修正（PRS-update模型），并用子集仿真（SS）方法計算了各工況下的失效概率，根據荷載工況間的相關性，采用單峰和雙峰邊界法計算了結構在變荷載工況下的失效概率。

2 考慮不確定性的代理模型的構造

可靠性分析的目的是求解結構的失效概率，通過多項式響應面（PRS）函數擬合設計參數與失效概率之間的對應關系。對于結構可變參數X，其PRS函數可以表示為：

式中：a0、ai、aii—未知系數，需要定義的系數數量為2n+1個。

在確定代理模型類型時，計算誤差是影響模型不確定性的主要因素。這一因素與DOE方法和模擬數值模型有關。為了減少不確定性的影響，提高代理模型的精度，假設采樣數據集E包含n個采樣點，代理模型在每個采樣點的預測偏差可以表示為：

式中：eik—代理模型在取樣點kth處的預測偏差；fk—有限元在第kth點分析的實際響應值；yik—代理模型在第knh個點的預測值；n—取樣點總數。假設預測偏差為服從正態分布的隨機變量，其中可用極大似然估計法計算：

在式（2）、式（3）的基礎上，代理模型的預測值可以表示如下

3 結構可靠性分析方法

3.1 單荷載工況的結構可靠性分析

當可靠性分析僅涉及一個功能函數時，可以在單一載荷情況下解決傳統可靠性問題。由于子集仿真（SS）方法沒有特殊要求，可以處理各種結構可靠性分析問題，例如蒙特卡洛仿真（MCS）。因此，通常將其作為故障概率的解決方法。子集仿真（SS）方法主要思想是通過自適應地引入中間事件將小故障概率轉換為條件故障概率。如果中間故障事件滿足嵌套關系（F1?F2…?Fm），則目標故障概率可以寫為：

式中：F—目標失效事件，F=｛g（X）≤b｝；b—結構響應的臨界值。

對于等式（5），條件概率P(Fi|Fi-1)的初始值通常是恒定的，一般取值范圍為［0.1，0.3］，P（F1）可以直接通過蒙特卡洛仿真獲得。

式中：{xk|k=1，2，…，N}—通過使用輸入隨機向量模擬聯合概率密度函數q（x）生成的獨立且分布均勻的樣本；N—每層采樣點的數量；IF1—指數函數。

為了有效地生成條件樣本，采用基于改進的Metropolis-Hastings馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）仿真算法。如果在第i層仿真中使用的采樣點為N，則第i層中條件概率的估計值可以表示為：

則獲得目標失效事件的失效概率估計值為：

式中：N（Fi）—落入故障域的最后一層中的樣本數。

3.2 變載荷工況下轉向架構架結構的可靠性分析

對于變載荷工況的可靠性分析，這里將其視為結構系統的可靠性問題，在處理結構系統的可靠性時，需要識別失效荷載工況并計算相應的失效概率［10-13］，尋求一種更合理的結構體系可靠度計算方法，是分析變工況結構可靠度的關鍵。

如果在第i種載荷下的可靠概率為pri=P()，則失效概率為pfi=P(Ii)。在Cornell方法［8］的基礎上，結合式（10）、式（11）可以得到了單峰邊界結構系統的可靠概率為：

可以看出式（12）中沒有考慮荷載工況之間的相關系數，根據相關性方程有：

在式（13）中，P(IiIj)≥P(IiIjIk)≥…，如果保留較大的項，方程可以變成：

如果兩個荷載工況的失效概率為pfij=P(IiIj)，結合式（14）、式（15），可以得到出雙峰邊界結構系統的可靠度概率為：

如果荷載工況之間沒有相關性，則可以用失效概率的單峰邊界來計算結構在變荷載工況下的失效概率。若荷載工況存在相關性，則可以采用失效概率的雙峰邊界來計算失效概率。假設可靠性指標分別為βi和βj，則在3.1節中計算出的故障概率由可靠性指標表示，且相關系數為ρij，則單載荷情況下的失效概率可以表示為：

則兩種載荷情況下同時失效的失效概率可以表示為：

4 工程實例

轉向架構架是一個復雜的機械結構，由于材料特性、荷載變化、裝配誤差、測量誤差和安裝誤差所引起的設計變量和參數的不確定性，影響了結構在各種荷載工況下的可靠性。因此，在設計階段預測轉向架構架在變載荷工況下的可靠性，對于判斷設計是否滿足要求具有重要的參考價值。

4.1 轉向架構架的有限元分析及試驗

轉向架構架的幾何模型，如圖1所示。它由橫梁、縱梁、牽引座等組成，鋼板和一系彈簧座的材料為S355J2（H），橫梁和牽引座采用Q345D，S355J2（H）和Q345D的屈服強度分別為355 MPa和345 MPa。根據UIC615-4 和EN13749 標準分別模擬直線運行、調車沖擊和電機短路三種荷載工況下的受力情況［14］，轉向架構架三種載荷工況情況，如表1所示。對轉向架構架進行有限元分析，不同荷載情況下的應力等效云圖，如圖2所示。

圖1 轉向架構架幾何模型Fig.1 Geometric Model of Bogie Frame

圖2 轉向架構架載荷工況下的有限元分析Fig.2 Finite Element Analysis of Bogie Frame Under Load Condition

表1 異常/特殊工況受力情況（KN）Tab.1 Stress Conditions Under Abnormal/Special Conditions（KN）

可以看出轉向架三種工況下的最大等效應力值分別為297.77MPa、337.02MPa和303.19MPa。根據失效準則，計算出轉向架構架的最大Von Mises應力小于相應材料的屈服強度，靜強度滿足設計要求。為了驗證有限元分析的準確性，按照UIC 615-4-2003和EN13749-2011標準的要求進行實驗，轉向架構架應變片布置示意圖，如圖3所示。

圖3 轉向架構架應變片布置示意圖Fig.3 Strain Gauge Layout of Bogie Frame

現場對轉向架結構進行應變檢測，仿真結果與檢測結果比較，誤差在10%以內，說明該仿真分析具有一定的可信性，如圖4所示。

圖4 轉向架結構應變檢測Fig.4 Strain Detection of Bogie Structure

4.2 轉向架構架的多項式響應面模型

根據有限元分析結果，確定了不同工況下對最大應力影響較大的設計參數。采用ANSYS參數化設計語言APDL，以設計參數為輸入變量，以最大應力為響應，建立轉向架構架的設計參數與強度響應值之間的PRS代理數學模型。設計參數的范圍，如表2所示。試驗和響應的D-最優設計值，如表3～表5所示。

表2 設計參數統計特性Tab.2 Statistical Characteristics of Design Parameters

表3 工況1試驗值和響應值的D-優化設計Tab.3 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 1

表4 工況2試驗值和響應值的D-優化設計Tab.4 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 2

表5 工況3試驗值和響應值的D-優化設計Tab.5 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 3

由式（1）可知，用最小二乘法對表3～表5中的試驗數據進行擬合，得到各工況對應的PRS代理模型。三種荷載工況的PRS函數如下所示：

PRS函數能夠代表設計參數與強度響應值之間的關系。為此，這里對PRS函數進行了方差分析，F值和P值是評價函數顯著性的主要指標。F值越大，說明顯著性越好，相反，P值越小，說明顯著性越好。三種荷載工況的PRS函數均顯著，擬合精度較好。將表3～表5中的數據代入PRS代理模型，并通過式（2）計算響應誤差值。對誤差值進行擬合和檢驗，其概率分布特征分別為e1～N（0.0915，0.0233），e2～N（0.076，0.135）和e3～N（0.0494，0.325）。根據誤差響應分析，荷載工況1和2的預測值較高，而荷載工況3的預測值較低?？梢钥闯?，模型計算誤差的不確定性對計算結果有不同的影響。

4.3 變荷載工況下的可靠性分析

根據各荷載工況下的破壞準則和應力強度干涉理論，基于式（4）、式（19）～式（21），結構的功能函數可表示為：

式中：Z—荷載工況1 的功能函數；V—荷載工況2 的功能函數；

W—荷載工況3 的功能函數；e1—荷載工況1 的響應誤差；

e2—荷載工況2的響應誤差；e3—荷載工況3的響應誤差。

采用子集仿真法（SS）分別求解式（22），得到了轉向架構架在三種載荷工況下的失效概率，轉向架構架在不同載荷工況下的累積分布函數圖（CDF），如圖5 所示?？梢钥闯鲈跅l件概率p0=0.15、0.20、0.25和0.30情況下每個荷載工況的CDF圖。比較的目的是通過對轉向架構架采用不同的p0值來觀察子集仿真（SS）方法的不同情況。對于荷載工況1，p0=0.10和p0=0.30的CDF 圖與其他曲線有明顯偏差，表明在這些條件概率下，失效概率的計算誤差較大，相反，p0=0.20和p0=0.25的CDF圖相似，因此它們被視為荷載工況1的備選條件概率。同樣，在荷載工況2和荷載工況3中，p0=0.30的CDF曲線與其他曲線明顯不同。通過比較CDF曲線，將p0=0.15和p0=0.25作為荷載工況2的備選工況概率，將p0=0.20和p0=0.25作為荷載工況3的備選工況概率。通過比較不同荷載工況下的CDF曲線，可以得到在不同荷載工況下，當p0=0.25時更準確的失效概率。

圖5 轉向架構架的CDF圖Fig.5 CDF Diagram of Bogie Frame

因此，在本研究中，使用p0=0.25得到的失效概率來進行可變荷載工況下的可靠性分析?；诖?，得出多項式響應面代理模型下（PRS）的三種工況的失效概率分別為0.0108、0.038和0.003；在考慮不確定性的多項式響應面代理模型下（PRS-update），得出三種工況的失效概率分別為0.011、0.037 和0.008。利用式（12）和式（16）計算變載荷工況下轉向架構架結構失效概率的區間估計，通過蒙特卡洛仿真法（MCS）、考慮不確定性的多項式響應面代理模型（PRS-update）以及多項式響應面代理模型（PRS）計算的轉向架構架單峰限值范圍分別為（0.01052，0.01750），（0.01086，0.01754）和（0.012，0.01545），邊界的寬度分別為0.00698、0.00668和0.00443。邊界層中心分別為0.01401、0.01420和0.01373。通過比較發現，無論是邊界寬度還是邊界區間中心，PRS-update下的結果與MCS的結果更接近，說明考慮不確定性的多項式響應面替代模型（PRS-update）具有較高的計算精度。

在設計過程中，各種荷載工況之間有時存在一定的相關性，為此，采用式（16）、式（18）計算轉向架構架在各載荷工況相關系數相同時的失效概率，轉向架構架在變載荷工況下雙峰邊界的失效概率，如圖6所示?？梢钥闯鲭S著相關系數的增加，失效概率呈下降趨勢，且PRS-update的計算結果與MCS計算結果的誤差很小，說明該方法具有較高的精度。

圖6 變載荷下轉向架構架的失效概率Fig.6 Failure Probability of Bogie Frame Under Variable Load

5 結論

本研究將多項式響應面代理模型應用在變載荷工況下轉向架構架結構的可靠性分析上，為轉向架構架設計階段的結構可靠性分析提供了有效的工具。（1）在PRS模型的基礎上，建立了轉向架構架在變載工況下的功能函數，在此基礎上提出了一種考慮不確定性因素的多項式響應面代理模型，避免了計算誤差對結構響應的影響；（2）采用子集仿真（SS）方法計算其失效概率，將單峰和雙峰邊界引入轉向架構架的結構可靠性分析中，通過與蒙特卡洛模擬（MCS）結果進行比較，驗證了考慮不確定性多項式響應面代理模型具有良好的計算穩定性和計算精度；（3）在不考慮相關性的情況下，通過代理模型定量分析轉向架構架在變載荷工況下的失效概率。同時發現在各載荷工況相關系數相同的情況下，轉向架構架的失效概率隨著相關系數的增大而減小。