利用Hough漸開線變換的齒輪圖像中心檢測

趙彬彬，洪榮晶，2

（1.南京工業大學機械與動力工程學院，江蘇 南京 211816；2.江蘇省工業裝備數字化制造及控制技術重點實驗室，江蘇 南京 210009）

1 引言

齒輪測量是保證齒輪精度的重要手段［1］，在齒輪測量中，計算齒輪參數需要齒廓的精確位置，而漸開線齒廓的形狀由基圓確定，且計算理論齒廓也需要齒輪基圓參數。因此確定基圓的中心和半徑是齒輪測量中的重要環節。確定齒輪中心有多種方法，按獲取數據的方式可分為：接觸式和非接觸式。接觸式通過齒輪測量中心［2］、三坐標測量儀［3］、激光測距儀［4］等設備提取齒輪齒廓的位置坐標，用反求方式求中心坐標。非接觸式用攝像機等設備提取齒輪齒廓的數字量信息，利用重心法［5-6］，Hough圓變換［7-8］，最小二乘圓擬合［9-11］等方法求中心坐標。上述方法在確定基圓參數的過程中，受齒輪軸孔形狀、是否有鍵槽的影響，存在局限性。

考慮到漸開線齒廓在輪廓中的高占比，能提供大量的坐標數據，以及Hough圓變換在圓形輪廓檢測中對噪聲和不連續性不敏感的優點。這里提出了一種用于視覺系統的基于Hough漸開線變換的齒輪中心坐標求解方法。

2 漸開線的Hough變換

2.1 圖像中的漸開線模型

在圖像坐標系中建立漸開線的數學模型f(x，α)=0，式中x=(x，y)為像素的圖像坐標，α為確定漸開線形狀的參數向量（下文簡稱為參數向量）。如圖1所示，有漸開線齒廓方程：

圖1 圖像中標準漸開線示意圖Fig.1 Standard Involute in Image Coordinates

式中：rb—基圓的半徑；?—漸開線在點B處的展開角，對于順時針展開的漸開線，?按順時針取值。

圖1中的漸開線基圓圓心在圖像坐標系原點，初始相位角為0，對（1）式做旋轉和平移變換，推廣到任意位置，如圖2所示。

圖2 任意位置漸開線示意圖Fig.2 Involute of Random Position in Image Coordinates

2.1.1 像素的梯度

在求解參數向量α時，如果只使用式（2），自由變量的個數較多，計算復雜度高。為了降低自由變量的個數，用像素的梯度增加約束，記每處像素的梯度角ψ=Ψ(x)。

如圖2中所示，B'點處梯度的方向為直線C'B'，其梯度角滿足下面的公式：

式中：dx和dy—該點處沿X和Y方向的梯度分量。

圖2中漸開線A'B'上每點的梯度角ψ與漸開線的初始相位角θ及該點處的展開角?存在等式關系：

展開角?為負時，表示順時針展開的漸開線。

按照Hough變換的思想，漸開線的Hough變換可以通過以下的形式實現。首先，設定一個累加數列C，C(α)表示滿足漸開線形式f(x，α)=0的參數向量α出現的次數，設C(α)的初值為0；其次，對圖像中的每個像素點x，聯立式（2）和式（4）求出所有解α=(xo，yo，rb，θ，?)，在相應的累加數列C中有：

尋找累加數列C中的局部最大值，作為圖像中漸開線的參數。實際應用中，只需要漸開線基圓的坐標和半徑，即α的前三個分量。所以取前三個分量來構建累加數列C，降低C的空間維度，便于累加計數和搜索極值。

2.1.2 離散化參數向量

在求解參數向量α的過程中，由于圖像采集和邊緣提取算法的誤差，代入方程的點x和梯度角ψ并不精確。由此得到的參數向量α也不準確，這些不準確的值分布在理想值的附近，給在累加數列C中尋找局部最大值造成影響。為了避免這樣的影響，在C進行累加前，通過某種方式用離散后的參數向量值代替原始值。

考慮到圖像坐標系是以像素為單位的離散坐標系，選擇合適的分度將α離散化。如圖3所示，在參數空間oXoYoRb中，設定參數向量α中(xo，yo)的分度為ΔL，rb的分度為ΔR。由ΔL和ΔR定義了一個以α為起點的長方體鄰域，當計算值落在該鄰域內時，即：

圖3 離散化的參數空間Fig.3 Discretized Parameter Space

用α代替αc在累加數列C中進行計數。參加累加計數的點是以參數空間原點為起始點，ΔL、ΔR為分度的等距點。

將判斷計算值αc落在哪個點鄰域的映射記為g，有：

當αc不在設定的參數空間取值范圍內時，返回空值，不代入累加數列C。

此時累加數列C的計算公式改為：

通過離散化近似，使落在鄰域內的點都以該鄰域的起點參與計數，這樣既可以使基圓參數結果控制在ΔL、ΔR的精度內，也可以補償圖像采集和處理過程中引入的誤差。

2.2 圖像處理流程

對攝像機采集的齒輪圖像，采用上述的漸開線Hough變換原理，按照圖像處理過程，求得齒輪中心坐標，如圖4所示。

圖4 圖像處理流程Fig.4 Block Diagram of Image Processing

2.2.1 圖像濾波

由于圖像采集過程中光源、攝像機傳感器和其它外界因素的干擾，齒輪圖像存在噪聲。這里采用中值濾波方法，它在不模糊圖像邊緣的同時也可以有效的去除噪聲［6］。

設P(x，y)為圖像中第i行第j的像素點的灰度值，使用（3×3）大小的濾波核，濾波后該像素點的新灰度值P'(x，y)為：

式中：i，j—取區間［-1，1］中的整數；

Med—取該集合內像素點灰度的中值。

2.2.2 圖像卷積求梯度角

像素點的梯度角ψ可以通過該點處X和Y方向的梯度分量，用反正切函數求取。這里選用Scharr算子［12］進行卷積，它有較高的精度和較低的敏感性。

選擇Scharr算子的卷積核大小為（3×3），點(x，y)處沿X和Y方向的梯度值Gx、Gy及梯度角ψ可由如下公式計算：

式中：SXi，j和SYi，j—沿X和Y方向的算子中的系數，反正切函數arctan根據Gx、Gy的正負及比值返回角度值。

2.2.3 邊緣提取

濾波后的齒輪圖像經邊緣提取后，得到邊緣圖像。邊緣像素坐標將會用于后續Hough變換，這里采用Canny算子。它是一種雙閾值的混合邊緣算子，具有誤差率低、定位性好的優點。

記邊緣圖像為E，E(x，y)＝1表示該像素點為邊緣點。

2.2.4 漸開線Hough變換

用上兩節得到的梯度角和邊緣圖像，將第2.1的原理轉化成可行的圖像處理操作。

設定ΔL、ΔR的值為一個像素單位，D為參數空間取值范圍，[xmin，xmax][ymin，ymax][-?max，?max][rbmin，rbmax]是x、y、?、rb的取值區間，有如下的程序：

上述程序實現了Hough漸開線變換。將[ymin，ymax]按設定的線程數n分段，對每一段（i=1，…，n）做漸開線Hough變換，得到累加數列Ci的結果。當所有線程的運算結束時，對累加數列Ci做矩陣加法，即：

這樣的多線程操作可以成倍的縮減漸開線Hough變換過程的時間。遍歷累加數列C，尋找其中的局部極大值，并設定一個閾值T（c可以取最大值的85%），記錄同時是局部最大值且大于閾值Tc的點對應的參數向量，即：

式中Δαk=(ΔL，ΔL，ΔR)，由于圖像中的漸開線齒廓都屬于同一個齒輪，滿足要求的αk通常只有一個。當有多個αk時，取最大值附近m個分度（m看分度的大小自行決定）范圍內滿足條件參數向量的平均值作為結果。漸開線Hough變換得到的最終結果，其中包含需要齒輪中心坐標。

3 實驗結果與分析

齒輪基圓參數提取的實驗裝置示意圖，如圖5所示。有Basler acA2440-35um 型號的CMOS 灰度相機，分辨率為（2448×2048）pixel；相機配備有Moritex ML-M1218HR 型號的定焦鏡頭，焦距12.01mm，視角范圍為（40.52×30.70）°；實驗裝置底部安放了可調光強的白色LED面光源。相機與電腦由USB3.0接口連接，采集圖像傳入電腦后，用基于OpenCV的C++程序進行圖像處理。

圖5 視覺實驗裝置Fig.5 Computer Vision Experiment Equipment

3.1 齒輪基圓參數實驗及對比

分別使用重心法、Hough 圓變換、最小二乘圓擬合與Hough漸開線變換方法提取齒輪基圓參數，比較各自結果驗證可行性。

實驗中對齒數z=24，模數m=5mm的6級精度圓柱直齒輪采集圖像?？紤]定焦鏡頭產生的畸變，選用三階徑向畸變和切向畸變的畸變模型，用（8×8）的棋盤標定板對相機進行標定和畸變矯正，標定后重投影誤差為0.14pixel。

相同圖片下，各方法求得的齒輪基圓參數，如表1所示。

表1 基圓參數求解結果Tab.1 Test Results of Base Circle Parameter

實驗中前三種方法參考文獻［5，7，11］中的圖像處理流程，以圖像左上頂點為原點，用標定所得像素當量將結果單位轉為mm。四種方法求出的基圓參數相互收斂，其中由于景深效應的影響，依賴二值化閾值的重心法代入了較多齒輪內圈像素的噪音，基圓坐標和半徑的值與其它三種方法的差距較大。

齒輪理論基圓半徑為56.382mm，后三種方法與理論值的誤差分別為0.178mm、0.093mm和0.037mm，Hough漸開線變換方法的誤差最小。由于Hough圓變換在所用視覺庫中有底層加速，處理速度最快，除此之外，Hough漸開線變換在多線程的幫助下，時間優于其它兩種方法。實驗所用圖片，如圖6（a）所示。齒輪邊緣圖像，如圖6（b）所示。Hough漸開線變換的結果，如圖6（c）所示。

圖6 實驗中的圖片Fig.6 Images in Experiments

3.2 仿真測試及分析

為驗證Hough漸開線變換法的準確性，使用生成的標準齒輪圖像進行仿真實驗。

在（1200×900）大小的8位灰度空白圖像中，基圓圓心隨機選取圖像中央區域，以齒數z=17，模數m=36pixe（l以像素作為長度單位）作齒輪圖像。設置齒輪區域灰度值為30，其他部分灰度值為255，同時對每個像素點添加均方差為2灰度的高斯噪聲模擬隨機誤差。

運行10次仿真測試，其中前8次為帶內孔的的齒輪圖像，第9次為帶有鍵槽的齒輪圖像，第10次為缺齒的齒輪圖像，后兩次的齒輪圖像，如圖7所示。它們最終的結果，如表2、表3所示。

表2 仿真測試結果Tab.2 Results of Simulation Test

表3 各參數的標準差Tab.3 Standard Deviation of Each Parameter

圖7 仿真中的圖片Fig.7 Image in Simulation

在仿真測試中，設定參數空間的分度ΔL、ΔR都為0.2pixel，每次測試中步驟相同。仿真結果顯示，測試值與理論值最大偏差為1.5pixel，基圓中心坐標和半徑誤差的標準差在1pixel以內。一般Hough圓檢測法和重心法的誤差在（1～2）pixel內［5］，Hough漸開線變換在通用方法范圍內。后兩次的仿真結果顯示，Hough 漸開線變換對存在鍵槽和缺齒的齒輪圖片同樣可以得到圓心，它的適用性比重心法和最小二乘圓擬合法要好，且無需修改圖像處理的步驟。綜合比較下，Hough漸開線變換在運算時間和誤差結果上都明顯好于重心法和Hough圓檢測法，且在通用性上存在優勢，可以達到檢測齒輪中心的目的。

4 結論

這里用Hough漸開線變換來提取齒輪圖像的基圓參數，闡述了Hough漸開線變換的原理和圖像處理流程。由于Hough變換不受齒輪內孔鍵槽等影響，且對于齒廓邊緣的噪聲和不連續性不敏感，相比其他方法有更大的通用性，在處理速度上也有優勢。在模數為5mm的圓柱直齒輪實驗中，Hough漸開線變換法所求基圓半徑與理論值的誤差為0.037mm，與其他方法的比較結果顯示這里的方法具有可行性。仿真測試結果表明，該方法所得結果與理論值誤差的標準差在1pixel內，當測量小模數齒輪時可以達到較高精度。按該方法求出的基圓參數，可以后續用于齒輪參數及齒輪偏差的計算。