桌面級協作機械臂設計與仿真分析

曹 原，賈 凱，杜振軍，徐 方

（1.中國科學院沈陽自動化研究所機器人學國家重點實驗室，遼寧 沈陽 110016；2.中國科學院機器人與智能制造創新研究院，遼寧 沈陽 110169；3.中國科學院大學，北京 100049；4.沈陽新松機器人自動化股份有限公司，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

隨著社會的進步，機器人技術的發展，工業機器人中誕生了一種能夠與人一同協作，并與人類共同完成不同任務的一類機器人—協作機器人。協作機器人解決了傳統工業機器人部署成本高、無法滿足中小型企業需求、無法滿足新興協作市場需求等缺點，被廣泛的應用在醫療、食品、物流、精密加工、科研、3C 等行業，為工業機器人的發展開啟了新時代［1］。

桌面級協作機器人是未來機器人發展的一個重要方向［2］，它具有低成本、小型化、模塊化等特點，能夠好的服務于科研、教育、醫療等行業?；谀K化關節設計了六自由度（6R）桌面級協作機械臂，并分析了機械臂的正、逆運動學，對機械臂逆運動學的求解在算法上進行了優化；最后基于CoppeliaSim建立了虛擬樣機，并聯合Matlab進行仿真分析，驗證了結果的正確性與可行性。

2 桌面級協作機械臂設計

2.1 模塊化關節

為滿足6R協作機械臂小型化、模塊化的需求，設計采用了模塊化關節，該關節輸出扭矩更大，運行更穩定，高度集成化使得機械臂整體體積更小，具體參數，如表1所示。

表1 模塊化關節具體參數Tab.1 Modular Joint Specific Parameters

2.2 機械臂設計方案對比

桌面級6R協作機械臂有效負載1kg，外形設計盡量小型化，機械臂關節的最大力矩小于模塊化關節規定的最大扭矩，通過三維設計軟件Solidworks，基于模塊化關節共設計了三種方案，如圖1所示。

圖1 機械臂設計方案Fig.1 Robotic Arm Design

方案a整體外形參照UR機器人；方案b參照INNFOS團隊自主研發設計的智能柔性執行器系列Smart Compliant Actuator（SCA）；方案c是對方案a、b的補充改進：機械臂各關節所受力矩由作用在各關節的力和力臂決定，在關節類型確定的大前提下，盡可能減小力臂，可達到增大末端有效負載的效果，因此方案c中將第5關節前置，使機器人的整體重心前移，有效的減小了第二關節的力矩。

關節2所受靜力矩由力和力臂相乘得到：力臂指關節2之后的構件重心與關節2旋轉軸線的距離，力指關節2之后的總重量（包括末端負載1kg），兩個參數均通過三維設計軟件測量得到，詳細數據，如表2所示。

表2 各方案關節峰值力矩表Tab.2 Joint Peak Torque Table for Each Plan

關節2峰值力矩是在機械臂各連桿處于水平位置繞關節2瞬時啟動時經過仿真測量得到，只對關節2設置旋轉速度，此時力臂最大，關節2受到的啟動力矩最大。根據對三種方案的對比，綜合考慮多種因素，采用具有較小靜力矩和動力矩的關節前置型方案，滿足模塊化關節提供的最大扭矩，該方案瞬時啟動產生的峰值力矩，如圖2所示。瞬時啟動關節2所受峰值扭矩15.27N·m。

圖2 關節前置型瞬時啟動力矩圖Fig.2 Joint Front Type Instantaneous Start Torque Diagram

機械臂整體外形尺寸，如圖3 所示。外殼材料選用鋁合金7075，大臂180mm，小臂208.2mm，整體高度611.6mm，額定負載1kg，相比INNFOS團隊研發的六軸機械臂（額定負載500g），該方案實現了小型化、輕量化，并有效的增大了末端負載。

圖3 關節前置型機械臂整體尺寸Fig.3 The Overall Size of the Front Joint Robot Arm

2.3 機械臂有限元分析

在關節前置型方案中，所有模塊化關節滿足峰值力矩要求，但機械臂本身強度、剛度是否達到要求還有待驗證。因此，本節最后對上述確定的機械臂方案（關節前置型機械臂）進行有限元分析，如圖4 所示。對末端負載設置1kg，分別完成了對機械臂的靜應力分析、靜態位移分析以及靜態應變分析，得到最大靜應力點6.857×107N/m2，最大靜態位移0.3568mm，最大靜態應變3.301×10-4，滿足強度、剛度等需求，詳細分析，如圖4所示。

圖4 機械臂有限元分析Fig.4 Finite Element Analysis of Robotic Arm

3 機械臂運動學分析

目前，對于開鏈機器人正向運動學模型建立的方法主要有D-H 參數法［3，4］（Denavit-Hartenberg parameter）和基于旋量理論的指數積公式法［5］（Product of Exponential，PoE）。D-H 參數法的優點在于只需要最少數量的參數來描述機器人運動學，即對于一個n桿機器人，可以用3n個參數描述機器人結構，n個參數表示關節變量；而PoE模型并不是最少參數的參數形式（需要6n個參數來描述n個關節軸運動旋量，外加n個參數表示關節變量），但其優點也是十分明顯的，不需要建立連桿坐標系，避免了由于D-H 參數法參數錯誤而導致的運動學模型建立錯誤［6］。因此，選用PoE 公式進行關節前置型機械臂運動學模型的建立。

3.1 機械臂旋量法運動學正解

對于n自由度開鏈空間機器人，如圖5所示。

圖5 n桿開鏈機器人PoE公式圖示Fig.5 Illustration of the PoE Formula for An n-Link Spatial Open Chain

為應用PoE公式，首先選擇基坐標系｛s｝和附著在最后一根桿上的末端坐標系｛b｝，并將機器人置于零位，此時所有關節變量初值為0，每個關節正向位移的方向指定，令M∈SE(3)表示末端坐標系｛b｝相對基坐標系｛s｝的初始位形。

則n自由度開鏈空間機器人正向運動學的指數積公式可寫成：

式中：Sn：Sn=(ωn，vn)—在基坐標系中的關節n的旋量坐標；

ωn∈R3—沿關節軸正向的單位向量；

vn=-ωn×qn，qn—關節軸上任意一點，坐標值在基座標系中進行度量；

θn—關節n對應的關節變量。

這里設計的機械臂零位，如圖6所示。該位置為機器人的初始位置，各關節及其旋轉方向如圖中標示，其中，基座標系｛0｝，末端坐標系｛6｝，L1=146.7mm，L2=180mm，L3=208.2mm，L4=76.7mm。令M∈SE(3)表示機器人處于初始位置時的末端位形，直接觀察可得：

圖6 關節前置型機械臂零位圖示Fig.6 The Zero Position of the Front-Joint Manipulator

機器人各螺旋軸Si=(ωi，vi)，i=1，…，6，坐標，如表3所示。

表3 各螺旋軸Si坐標Tab.3 Coordinates of Each Screw Axis Si

由此可得到上述六個螺旋軸的（4×4）矩陣，表示形式如下：

將初始位形M和各螺旋軸代入式（1），關節變量θi，T(θ)即為機械臂運動學正解。鑒于此，旋量法建模明顯簡化了運動學計算過程的復雜性，便于開發人員高效的建立機器人模型。

3.2 機械臂運動學反解

機器人運動學反解是正向運動學的反向求解過程，即已知機器人末端位姿X∈SE(3)，找出滿足T(θ)=X的關節角θ（ii=1，2，3，4，5，6）的過程。6R關節前置型機械臂的運動學方程如下：

機器人運動學反解的方法眾多，主要分為兩大類：解析解和數值解［7］。采用解析解時，前三個關節的求解可以根據機器人前三個關節構成的連桿結構進行求解，機器人后三個關節軸相交于一點，所以前三個關節決定了機器人末端的位置，后三個關節決定了機器人末端的姿態。

（1）機器人末端位置的求解

機器人前三關節的逆向位置求解示意圖，如圖7所示。機器人后三個關節軸相交于一點Om(PXX，PYY，PZZ)，Om坐標與末端位姿X的關系如下：

圖7 6R關節前置型機械臂的逆向位置求解Fig.7 Solving the Reverse Position of the 6R Joint Front Type Manipulator

將Om點向X0-Y0平面投影，通過投影關系可以求出第一關節角的兩個有效值：

確定機械臂關節角θ2、θ3的過程，可以進一步簡化為求解平面兩連桿機構的逆運動學問題，其中：

由此可得第三關節角的兩個有效值：

類似的方法可求出第二關節角的值：

（2）機器人末端姿態的求解

已知末端姿態，求解關節角θ4、θ5、θ6。前一部分已經求得前三關節角，根據正向運動學式（3），可寫成：

等式右邊已知，后三個關節軸方向分別是ω4=(1，0，0)，ω5=(0，1，0)，ω6=(0，0，1)；現定義右邊項得轉動部分為R，c4=cosθ4，c5=cosθ5，c6=cosθ6，s4=sinθ4，s5=sinθ5，s6=sinθ6；腕部關節角可以通過求解下式得到：

機器人前三關節存在四組解，腕部的后三個關節通過“翻轉”可以得到第二組解：θ4'=θ4+π；θ5'=θ5；θ6'=θ6+π。通過上述位置和姿態的求解與組合，6R關節前置型機械臂一共存在8組解。

3.3 運動學逆解確定與優化

在不同的情況下，機器人逆解采用的優化準則也是不同的，關節前置型機械臂一共有八組解，采用“最小變化角”準則進行優化，即每次關節運動所有關節移動量為最小的解。在不考慮障礙的前提下，尋求逆運動學的最優解就是在關節空間中選取一個最接近起始點的解，關節前置型機械臂前三個連桿的尺寸較大，后三個較小，主要用于定向［8］，在這種情況下，需要使用加權系數來衡量接近的程度。取目標函數M：

式中：Mi=1…8—8組解對應的變化角；λi—加權系數，加權系數選擇應遵循“多移動小關節，少移動大關節”原則［9］，這樣可以有效的減少機器人工作中的硬損傷［10］。

4 機械臂運動學仿真建模

4.1 虛擬樣機建立

在進行物理平臺實驗前，完成基于機械臂虛擬樣機的仿真分析，包括機械臂正、逆運動學驗證，確保以最小變化角為準則的位置控制算法的可行性，能夠有效保證后期物理平臺實驗的安全性、準確性和高效性。將關節前置型機械臂模型從Solidworks導入CoppeliaSim，首先完成對各桿件的連接約束，對各桿件添加相應質量，并在各電機與連桿間添加驅動關節（Revolute Joint），關節旋轉方向按圖6所示放置，經過上述步驟，關節前置型機械臂虛擬樣機基本建立完成。添加完連接約束和旋轉關節后的關節前置型機械臂虛擬樣機，如圖8所示。

圖8 機械臂虛擬樣機Fig.8 Virtual Prototype of Robotic Arm

4.2 正向運動學驗證

利用CoppeliaSim 與Matlab 進行驗證，機械臂形態1，如圖9（a）所示。對應θ=[-pi/4 -pi/4pi/4 0 -pi/4 0]，依據式（3）求出末端位姿T(θ)1；機械臂形態2，如圖9（b）所示。對應θ=[pi/4pi/4 0 -pi/4 0 0]，求出末端位姿T(θ)2。分別對虛擬樣機進行形態1、2關節角的設置，通過對比樣機末端位姿與T(θ)1、T(θ)2，結果正確。

圖9 正向運動學驗證Fig.9 Positive Kinematics Verification

4.3 逆向運動學仿真驗證

通過Matlab新建腳本，根據上述逆解的解析式，建立針對機械臂的以最小變化角為準則的位置控制算法，完成對機械臂的運動控制；最后通過Matlab與CoppeliaSim聯合控制，實現對虛擬樣機的實時控制。如圖10（a）所示，仿真中機械臂完成了從點（0.2，-0.2，0.3）至點（0.2，0.2，0.3）至點（-0.2，0.2，0.3）至點（-0.2，0.2，0.3）的運動；圖10（b）將仿真得到的具體位置數據（每時刻的末端位置x、y、z坐標）輸出到Matlab并進行作圖得到實際運動軌跡，通過期望軌跡與實際軌跡的對比，兩條軌跡基本一致。

圖10 逆向運動學仿真驗證對比Fig.10 Comparison of Inverse Kinematics Simulation Verification

如圖11進一步將第一段的期望位置與實際位置通過作差進行誤差分析，由圖可得x、y、z軸方向誤差均小于0.02mm，實際距離誤差基本控制在0.02mm以內，符合設計要求，以最小變化角為準則的位置控制算法有效的控制了機械臂的運動。

圖11 實際軌跡誤差分析圖Fig.11 Actual Trajectory Error Analysis Chart

5 結論

系統介紹了基于模塊化關節的桌面級協作機器人構造設計及仿真分析過程，設計方案具備小型化、輕量化、模塊化特點；在Matlab軟件中運用PoE方法建立了桌面級協作機器人模型，并對機器人進行了正、逆運動學求解，這種方法極大的簡化了運動學逆解的求解；其次，利用CoppeliaSim建立了機器人虛擬樣機，通過Matlab和CoppeliaSim聯合控制完成了桌面級協作機器人的仿真分析，仿真誤差基本控制在0.02mm以內。仿真結果表明，基于旋量理論的運動學求解方法計算簡單，以最小變化角為準則的位置控制算法精確度高，具有較大的實用性。