基于循環維納濾波器的聲學成像優化方法

何 通，徐賦民，任豪杰，張二亮

（鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

循環平穩源是旋轉機械工作時的主要噪聲源，來自齒輪、軸承等關鍵部件，其輻射的振動與噪聲信號表現為循環平穩性［1］。循環平穩性為信號的處理與分析提供一個強大的工具，已有學者將其用于軸承故障診斷［2］、疲勞損傷檢測［3］等領域，引起了廣泛關注。旋轉機械的噪聲信號類型通常很復雜，包含各種平穩源和循環平穩源所輻射信號的混合?？紤]到循環平穩源實際上蘊含了大多數重要信息的情況下，對其輻射的循環平穩信號進行盲提取并應用聲學成像技術，可以準確地識別、定位和可視化重建主要噪聲源，進而有針對性的指導旋轉機械的設計及改進，從而減振降噪。

盲分離混合源是通信、生物醫學等領域的一類無監督學習問題。盲源分離通常依賴于信號相互統計獨立性的假設。相互統計獨立性假設對許多復雜機械系統可能不再滿足?？紤]到混合源中的重要信息往往由一種信號攜帶，其余的則是干擾或噪聲。因此，只需恢復一個感興趣的信號，盲源分離便簡化為盲信號提取?；谘h平穩性的盲信號提取更適合被應用于機械系統，尤其在旋轉或往復機械研究方面得到廣泛關注。循環平穩信號處理方法最早在文獻［4］中被提及，被成功應用于通信領域。后來，它被很多學者引入到機械領域，相繼出現了多種盲信號提取方法，例如多元循環回歸［5］，子空間盲提?。?］，降秩循環回歸［7］和角時循環維納濾波器［8］等。

盲信號提取方法目前大多被用于機械的振動信號分析，而非聲學信號處理。但振動信號需要采用加速度計等進行傳統的表面接觸式測量，這樣會造成兩個弊端，一是由于加速度計本身的重量可能使其附著的機械結構固有特性發生改變，二是在高溫或腐蝕環境等情況下不能適用。隨著基于麥克風陣列測量的聲學成像技術［9］的快速發展，聲學信號處理取得很大進展。近場聲全息作為其中一種重要的噪聲源識別、定位及可視化重建技術，不僅具有非接觸式測量、空間分辨率高的優點，還包含豐富的聲場信息，可以為噪聲控制提供指導依據。貝葉斯近場聲全息是基于貝葉斯理論對近場聲全息方法的優化，與傳統的近場聲全息相比具有更好的重建精度，最早在文獻［10］中被提出。然而，這些聲學成像技術僅能用于聲源重建，而不能用于聲源分離。目前而言，盡管其可能的應用價值巨大，但有關方面的研究卻極少，僅在文獻［11-12］中嘗試去分離不同噪聲源。

綜上所述，針對噪聲環境中循環平穩源的重建問題，提出了一種基于循環維納濾波器的聲學成像優化方法。首先對麥克風陣列測量的信號進行濾波，盲提取出由感興趣的循環平穩源輻射的循環平穩信號，然后引入貝葉斯近場聲全息重建循環平穩源。實驗結果表明，所提方法能夠很好的消除其它噪聲源的干擾，僅重建感興趣的循環平穩源。

2 問題描述

2.1 盲信號提取問題

盲信號提取問題是從觀測信號xi(n)中提取循環平穩信號xci(n)，可以寫成：

式中：i=1，…，M，M—傳感器個數；pi(n)—一階循環平穩信號；xci(n)—二階循環平穩信號；ni(n)—“噪聲”部分，包含所有與pi(n)和xci(n)均不相關的干擾或噪聲。

2.2 循環平穩信號及其二階描述

循環平穩信號指的是信號本身不具有周期性，但信號統計量（如均值、自相關函數等）呈周期性變化的信號。均值是周期性的信號為一階循環平穩信號（CS1），更一般的循環平穩信號是二階循環平穩信號（CS2），即其自相關函數是周期性的。在此，主要研究CS2的盲提取算法，因為CS1通過同步平均法［1］不難得到。

CS2信號xci(n)的時變自相關函數為

式中：n—時間；τ—時滯；αk≠0，k=1，…，K—循環頻率。循環譜密度由(τ)的傅里葉變換得到，即：

式中：f—譜頻率。

根據CS2信號的二階循環平穩性，其循環譜密度(f) ≠0，即以循環頻率αk∈A隔開的兩個頻譜分量之間存在非零相關性。

3 理論研究

3.1 循環維納濾波器

在信號平穩的情況下，盲提取問題的解決方案是利用線性時不變濾波器，眾所周知，它是維納濾波器。有趣的是，在信號循環平穩的情況下，盲提取問題的最優解具有線性周期時變結構，因此，可以將其命名為循環維納濾波器。本節主要基于線性周期時變結構介紹了盲提取CS2信號的工作原理，以及循環維納濾波器的計算問題。

3.1.1 盲提取CS2信號的工作原理

對于循環頻率αk∈A，線性周期時變濾波器可寫成以下形式

式中：gi，k(n)—線性時不變濾波器。輸入-輸出關系可寫為：

式中：*—卷積算符；zi，k(n)=xi(n)?e-2πjαkn—輸入信號xi(n)的頻移，αk可通過計算頻譜相關性估算得到［13］。

可以看出，對信號的線性時變濾波等效于對信號的頻移進行線性時不變濾波的總和?；诰€性周期時變原理盲提取CS2信號的結構框圖，如圖1所示。

圖1 盲提取CS2信號的結構框圖Fig.1 Block Diagram of Blind Extraction of CS2 Signal

3.1.2 循環維納濾波器的計算

如上所述，已經顯示了如何基于線性周期時變原理提取CS2信號，現在剩下的事情就是找到濾波器gi，k(n)，或等效地求出其頻域形式Gi，k(f)。

由節2.2可知，盲提取CS2信號正是基于兩個頻譜分量之間的非零相關性，因此，一種更相關的方法是從頻域上進行計算。那么，式（5）的頻域形式為：

循環維納濾波器是在最小均方誤差意義上最佳地提取CS2分量，即：

由此，求得其矩陣形式的最優濾波器為：

最終，將最優濾波器代入式（6）可求得CS2分量(f)，再進行傅里葉逆變換得到(n)。遍歷麥克風陣列上所有聲壓傳感器，便計算出

3.2 貝葉斯近場聲全息

如上所述，經過循環維納濾波器進行濾波后，問題就變成：已知，重建感興趣的循環平穩源s1。為此，采用貝葉斯近場聲全息方法。

設聲源為s1(r)，r∈Γ是感興趣的源面區域，聲源到麥克風陣列的正向傳播模型為：

式中：G(r)—傳遞矩陣；v—測量噪聲。聲源分布可以寫成以下形式：

式中：M—空間基函數?m(r)的數量（等于麥克風陣列上傳感器的個數）；cm—系數。

因此，估計聲源的問題就歸結為尋找最優空間基函數Φ及其系數c的問題?？梢酝ㄟ^后驗概率分布最大化，獲得最優參數和，這就是所謂的最大后驗估計（［］表示隨機變量的概率密度函數）。

基于貝葉斯公式，后驗概率分布可表示為：

式中：[1(c，Φ)]—似然函數，表示給定源分布s1(c，Φ)下觀察到測量數據xc的概率；s1(c，Φ)—先驗概率分布，表示源分布的空間先驗信息，可通過引入孔徑函數來表示，滿足

最終，重建感興趣的循環平穩源為：

3.3 聲學成像優化方法

將提出的基于循環維納濾波器的聲學成像優化方法進行梳理總結，具體流程，如圖2所示。

圖2 聲學成像優化方法流程圖Fig.2 Flow Chart of Acoustic Imaging Optimization Method

4 盲信號提取算法評估

在聲學成像優化方法中，循環維納濾波器的性能對聲源重建結果影響較大，而許多因素都會影響其降噪質量，因此需要對盲信號提取算法進行評估，探究各參數對盲提取精度的影響。

4.1 仿真信號模型

根據式（1）對含噪聲ni(n)的CS2信號xci(n)進行建模，一階成分pi(n)已由同步平均法濾除。循環周期由T表示，且長度為L的合成信號模型為：

式中：δ(n)—離散狄拉克脈沖；Al—遵循高斯分布N(μA，σ)的隨機振幅；τl—遵循高斯分布N(0，σ)的一系列獨立且均勻分布的隨機變量；ni(n)—高斯白噪聲。信號模型式（14）可以很好地對許多旋轉機械信號進行建模，因此將該信號用于盲信號提取算法的仿真驗證。

4.2 算法評估

為了評估循環維納濾波器的降噪效果，可通過計算提取的CS2 信號(n)和真實的CS2 信號xci(n)之間的均方誤差來實現，即：

選擇采樣頻率fs=8192Hz，數據長度L=219。將信號按循環頻率αk=k/T，k=1，…，K成比例的頻移，由于二階循環平穩信號xci(n)與其頻移形式相關，而噪聲ni(n)與其頻移形式不相關。因此，在對頻移的信號進行濾波后，噪聲減小。

噪聲信號比和用于頻移的循環頻率數量的影響，如圖3 所示?？梢钥闯?，增加循環頻率的數量K會增強降噪效果。但隨著循環頻率數量的增加，計算量將變得非常大，這將降低算法的計算效率。因此，算法中使用的循環頻率數量應在計算速度和降噪效果之間進行折衷。另外，噪聲信號比越低，盲提取精度越高。

圖3 噪聲信號比和循環頻率數量的影響Fig.3 The Influence of the Noise-to-Signal Ratio and the Number of Cycle Frequencies

采樣頻率和數據長度與上述保持一致，選擇循環頻率個數K=4，考慮噪聲信號比為-5dB的情形。濾波前后的結果和殘差，如圖4（a）、圖4（b）所示。其中，圖4（a）中，部分顏色是使用循環維納濾波器之前的測量信號，另一部分顏色是使用循環維納濾波器之后盲提取的CS2 信號。圖4（b）中，殘差圖符合平穩白噪聲的形式。因此，這驗證了盲提取CS2信號的有效性。

圖4 CS2信號的盲提取Fig.4 Blind Extraction of CS2 Signal

5 聲源重建實驗

為了進一步驗證所提的聲學成像優化方法的有效性，進行了雙音響聲源重建實驗，該實驗在混響室中進行。實驗裝置如圖5所示，主要由三部分組成：（1）雙音響聲源（按一定距離放置的兩個白色音響，音響1為循環平穩信號源，由CS2信號驅動，音響2為干擾源，由白噪聲信號驅動）；（2）麥克風陣列（由半徑為0.5m的圓形陣列支架及64個G.R.A.S.麥克風傳感器組成），用于采集由雙音響聲源所輻射的聲壓信號；（3）PXIe-1085信號采集器，用于麥克風陣列上的聲壓傳感器所采集信號的接收和存儲。

圖5 聲源重建實驗Fig.5 Sound Source Reconstruction Experiment

聲源重建實驗的具體流程如下：

（1）實驗場景布置：將麥克風傳感器與信號采集器對應相連，且陣列面與聲源面（xy平面）的距離為z=0.5m，音響1在xy平面上距離麥克風陣列中心的位置為（-0.1，0.05）m，音響2在xy平面上距離麥克風陣列中心的位置為（0.25，0.05）m。

（2）信號的產生：利用Matlab分別生成循環平穩信號xci(n)=和白噪聲信號ni(n)，并將其轉換成可播放格式，從而作為雙音響的信號源。

（3）采集聲壓數據：同時播放音響1和音響2，利用麥克風傳感器對其輻射信號的聲壓進行采集，采樣頻率fs=8192Hz，采樣時間為40s，然后將數據存儲到信號采集器中。

（4）數據處理：分別采用貝葉斯近場聲全息方法和這里所提的聲學成像優化方法處理數據，進行聲源重建。

其中，在2422Hz處聲源的重建結果，如圖6所示。圖6（a）是直接采用貝葉斯近場聲全息方法得到的重建結果，重建聲源的平面位置中心分別為（-0.11，0.06）m和（0.27，0.04）m，與兩個音響的實際位置非常接近。由結果可知，貝葉斯近場聲全息方法雖然可以較好的實現聲源的定位，但并不能抑制其它干擾源。圖6（b）則是用基于循環維納濾波器的聲學成像優化方法得到的結果，重建聲源的平面位置中心為（-0.1，0.06）m，與音響1的實際位置非常接近。由結果可知，聲學成像優化方法既能較好的實現聲源的定位，又可以從含有其它干擾源的噪聲環境中僅重建感興趣的循環平穩源。

圖6 2422Hz處聲源重建結果Fig.6 Sound Source Reconstruction Result at 2422Hz

6 結論

基于循環維納濾波器提出了一種聲學成像優化方法，通過實驗驗證了所提方法的有效性和可行性。與傳統的振動信號分析方法相比，該方法具有非接觸式測量和可視化重建的優點。與傳統的聲學成像技術相比，又解決了在含有其它干擾源的噪聲環境中準確地定位和重建感興趣的循環平穩源的問題。因此，該方法具有一定的應用價值，將為機械系統，尤其是旋轉機械系統中關鍵部件的噪聲控制和結構優化等方面提供指導依據。