聲速測量實驗原理討論

宿德志,張紀磊,孫曉偉,段金鵬,馬帥奇

(海軍航空大學 航空基礎學院,山東 煙臺 264001)

聲波特性測量在聲波定位、探傷、測距等應用中具有重要的實用意義[1],空氣中的聲速測量是大學物理基礎實驗之一,該實驗通常采用駐波法和相位比較法兩種方式測量聲速[2]. 而這兩種方法從概念上是存在矛盾的,駐波法認為發射端和接收端之間形成了駐波,而相位比較法又認為這是一個行波. 此外,實驗中發現聲壓振幅并不以正弦或余弦規律變化,實驗中S1為發射端,S2既是接收端也是反射端(如圖2所示),當S2移動時所形成的波并不是一列波[3]. 正是由于以上種種問題,該實驗一直存有爭議,從20世紀90年代開始,很多人都針對該實驗進行了研究,很多物理實驗教材認為在S1和S2間產生了由入射波和反射波疊加而形成的駐波,因此,可根據駐波的波節間距為半波長進行測量[4-6]. 而文獻[7]和[8]指出由于聲波傳輸過程中存在衰減,因此,S1和S2間形成的并非理想駐波,但其僅考慮了入射波和反射波的疊加,仿真精度有限. 文獻[9]也指出S1和S2間并非理想駐波,并指出應采用聲壓方程進行計算.

在此基礎上,部分研究人員認為是聲波無限次反射疊加的結果,如文獻[10]指出S2接收的聲壓信號為正方向傳播的波在S2處無限次疊加的結果,并進行了仿真分析. 文獻[11]認為實驗測量結果應為無窮多列波的疊加,并將這些波列按照正方向和反方向兩個進行分別相加,進行了理論公式的推導. 但是其僅計算了S1和S2距離為半波長整數倍這些特殊點的結果,所得到的結論不具有普適性. 文獻[12]利用一維黏性介質波動方程的穩態解和邊界條件對S1和S2間的聲壓分布進行了求解,并針對聲吸收系數遠遠小于1的情況進行了討論. 文獻[13]在這種假設下,進行了理論推導,獲得了和實驗現象較為吻合的結果,但是在推導中聲波振幅和聲壓振幅概念有些混淆,且沒有對相位比較法進行分析,缺少實驗數據的支撐. 隨后文獻[14]指出接收器的聲壓信號應該包括正方向和反方向傳播的波的無限次疊加,并利用一維時諧平面聲壓方程進行了理論推導,通過函數擬合得到的理論結果與實驗測量結果吻合較好,但是,理論推導中采用的近似條件為聲吸收系數遠遠小于1,而其實驗擬合的均值卻為2.357,此外也沒有對相位比較法給出解釋.

從以上分析可知,該實驗中接收端移動時聲壓變化的推導還不夠完善,尤其是對相位比較法的原理研究還不清楚. 因此,本文從振幅與聲壓的關系出發,利用平面簡諧波函數、聲壓反射系數公式和波的疊加原理深入研究S1和S2間的聲壓振幅和相位變化情況,為正確理解該實驗的物理本質提供理論指導.

1 基本原理

由于實驗中采用聲壓換能器作為發射端和接收端,因此測量的物理量是聲壓而非位移,聲壓p通常定義為某點壓強相對于靜態聲壓的增量. 所以首先由聲波位移平面簡諧波函數推導出聲壓的波函數. 當傳播介質為均勻彈性介質時,考慮沿正向傳播的平面簡諧聲波,取介質中的一個微元進行受力分析,如圖1所示.

圖1 介質微元受力分析圖

設圖1中微元的厚度為Δx,截面積為S,且與聲波傳播方向垂直,則該介質微元質量為

Δm=ΔxSρ

(1)

其中ρ為介質的密度. 則該微元所受的合外力可由左右兩側壓強差Δp=p2-p1(其中p1和p2分別為該微元左側和右側相對于靜態聲壓的增量)進行求解為

F1-F2=-SΔp

(2)

又由牛頓第二定律有

F1-F2=Δma

(3)

其中a為微元振動的加速度. 聯立以上3式可得

(4)

(5)

令ξ表示微元偏離平衡位置的位移,則根據加速度的定義可將上式轉換為

(6)

上式即一維聲場中的介質微元運動方程. 考慮實驗中超聲波為一維簡諧波的情況,其平面簡諧波函數為

ξ=ξ0cos(ωt-kx+φ)

(7)

(8)

令上式對x進行積分可得

(9)

(10)

(11)

這就是理想的均勻彈性介質平面簡諧波的聲壓波函數. 當介質存在損耗時,波數k=k0-iη為復數,其中η表示振幅隨傳播距離的衰減速度,也被稱為聲吸收系數. 不妨設φ0=0,則式(11)可以化簡為

p=p0e-ηxei(ωt-k0x),

(12)

上式即為存在介質損耗時的聲波傳播函數. 此外,聲波在由介質1入射到交界面的反射和透射可分別用聲壓反射系數R和聲壓透射系數T進行描述[15]

(13)

(14)

其中,Z1=ρ1u1和Z2=ρ2u2分別為介質1和2的聲阻抗率,pi0、pr0和pt0分別為入射波、反射波和透射波的聲壓振幅.

2 多次反射疊加的聲場

實驗采用裝置如圖2所示,其中S1為發射端,S2為接收端. 根據前述分析,聲波會在S1和S2間往復傳播,多次疊加.

圖2 實驗裝置圖

設置S1和S2間的距離為L,則根據式(12)可得第1列至第n列正向聲波在S2處的聲壓振動方程分別為:

(15)

其中,R為聲壓反射系數,同理可得n列反向聲波在S2處的聲壓振動方程為

(16)

將式(15)和式(16)對應項相加可得

(17)

則當n→∞時,利用等比數列公式可求得式(17)各項的和為

(18)

將上式化簡后可得

(e-ηLei(ωt-k0L)+R2e-3ηLei(ωt+k0L+π))

(19)

則式(19)的可理解為兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成,可知合成后仍為簡諧振動,則S2處的聲壓方程的可表示為

pL=ALcos(ωt+φL)

(20)

其中,振幅AL和初相位φL為

(21)

(22)

3 仿真分析與實驗驗證

3.1 駐波法測量討論

為研究S2處聲壓振幅AL隨距離L的變化規律,取η=0.1,R=0.95,λ=0.01,進行了仿真計算,結果如圖3所示.

圖3 AL隨距離L的變化規律

圖4 固定L時的聲壓分布

圖5 波列數對測量結果的影響

從圖5中可以看到隨著波列數的增大,各極大值的位置基本不變,但是極大值的幅值隨這波列數增大而增大. 為進一步考慮聲吸收系數對結果的影響,計算了η=1時的AL隨距離L的變化情況,如圖6所示.

圖6 AL隨距離L的變化規律

(23)

化簡后有

(24)

當S1和S2的距離滿足式(24)時,會出現聲壓極大值,即等式兩側函數的交點即為極值位置. 令R=0.9,繪制了聲吸收系數η分別為0.04、0.4和4時的曲線,如圖7所示.

圖7 極值位置分布情況

3.2 相位比較法測量討論

從式(22)可以看到,φL并不是嚴格的周期函數,將其化簡后可得

tan(φL)=f(L)tan(k0L)

(25)

圖8 相位比較法測量精度的影響因素分析

3.3 實驗驗證

為了驗證本文建立的聲壓多次反射模型的正確性,利用SV-DH-8型聲速測定儀、SVX-6型聲速測定信號源和DS1102c型數字示波器,分別采用駐波法和相位比較法進行了實驗測量,采用的超聲波頻率為37 kHz,實驗室溫度為20.6 ℃,空氣相對濕度為41%,文獻[15]給出當前實驗條件下聲吸收系數的測量值η=0.027 38,而聲壓反射系數R通常難以測量,因此部分文獻采用式(13)對其進行估算,而實際上式(13)僅對無限大的理想交界面成立,導致這種估算具有較大的誤差. 因此,本文利用式(21)對聲壓的實測值進行函數擬合,從而估算聲壓反射系數R,擬合結果如圖9所示.

圖9 駐波法聲壓擬合結果

聲壓反射系數的擬合值為R=0.305,擬合的相關系數為0.971 2,從圖9中可以看到,實驗結果與仿真結果吻合較好,很好的驗證了本文模型的正確性. 從圖9中可以發現,聲壓信號在極大值附近擬合較好,而在極小值附近吻合程度要差一些,其主要原因是極小值附近的聲壓信號受噪聲等因素影響較大,因此,很難進行準確測量. 進一步將擬合得到的聲壓反射系數R=0.305代入式(22)可計算得到相位比較法的理論值,將其與實驗測量值進行對比,結果如圖10所示.

圖10 相位比較法測量結果對比

從圖10中可以發現,相位隨距離的變化近似為線性關系,但由于相位求解采用反正切函數,相位測量值對距離較為敏感,因此,相位測量值存在一定的隨機誤差,使得其較為分散. 此外,實驗中利用數字示波器測量相位,信號傳輸線中的噪聲干擾也會對實驗結果產生一定影響.

4 結論

本文從物理本質上分析了聲速測量的原理,針對當前聲速測量實驗存在的疑問進行了詳細的建模和理論推導,并利用得到的結果正確解釋了實驗現象. 相比于理想的駐波法模型,本文模型與實驗結果吻合更好. 傳統的駐波模型僅僅是與實際聲壓分布具有相同的極大值間距才得到了正確的測量結果,但并不能反應該實驗的物理本質. 因此,聲壓的多次反射模型是更完善的理論模型,本文的研究對正確理解該實驗的物理本質具有指導意義.