基于矩形波導阻抗變換器的設計與仿真

黃 勇,趙 騰,王秀芳

(西南交通大學 物理科學與技術學院,四川 成都 610000)

在微波電路中,不同傳輸線、不同元件以及各種天線與饋線之間的連接都存在阻抗匹配問題.若直接連接兩特性阻抗不同的微波元件或傳輸線,則會產生反射,影響系統的信號傳輸.而當在兩微波元件之間連接一段或多段特定阻抗、特定長度的匹配網絡后,可使其阻抗匹配,則接入的匹配網絡就稱之為阻抗變換器.

阻抗變換器是一種兩端口微波元件,在微波系統中引入阻抗變換器,可消除系統因特性阻抗不匹配而產生的反射. 為了適應不同的應用場合,研究者設計研究了不同類型的阻抗變換器.如文獻[1-3]設計研究了T形、∏形和P型雙波段阻抗變換器,主要應用在多波段工作系統中. 根據微波電路中的寬帶要求,官伯然等人[4]設計實現了一款超短波寬帶阻抗變換器.另外,如非常規變比阻抗變換器[5]、低頻天線阻抗變換器[6]和復數負載阻抗變換器[7]也相繼出現,為進一步滿足了特定場景對阻抗變換器的需求提供了一定的研究基礎.

目前應用較多的阻抗匹配元件有以下3種:四分之一波長阻抗變換器、二項式阻抗變換器和切比雪夫阻抗變換器.李艷芳等人[8]分析了四分之一波長阻抗變換器的原理,但是四分之一波長阻抗變換器工作頻帶很窄;當工作頻率偏離中心頻點時,匹配性能急劇下降. 切比雪夫阻抗變換器[9,10]也得到廣泛關注,如周越等人[9]對切比雪夫阻抗變換器的設計方法進行了研究,討論了2種不同策略方法的設計步驟.通過上述文獻發現,研究者針對單一阻抗變換器研究較多,而同時對2種或2種以上的阻抗變換器的研究較少.但是,在實際的工程問題上,針對給定的元件間的阻抗匹配,應該選用什么樣的匹配元件是一個重要的課題.

針對上述問題,本文以一個待匹配的端口為BJ70接口,其尺寸為窄邊b0=15.799 mm,寬邊a0=34.849 mm;另一待匹配端口為已調試好的5.8 GHz矩形波導定向耦合器的接口,其尺寸為窄邊b2=16.28 mm,寬邊a2=38.19 mm為例,研究了上述3種匹配元件的適用情況.定向耦合器S參數[11]的數值如圖1所示.圖中S11表示輸入反射系數;S31的負值數值上等于耦合度C;差值(S31-S41)數值上等于方向性系數D.

圖1 波導各端口S參數與頻率關系曲線

本文將首先介紹3種阻抗變換器的工作原理及設計方法,這3種阻抗變換器分別為四分之一波長阻抗變換器、二項式阻抗變換器和切比雪夫阻抗變換器;接下來,我們將在本文所提到的設計指標下,對三者進行仿真設計;最后進行對比分析.

1 三種階梯式阻抗變換器設計原理

1.1 四分之一波長阻抗變換器

四分之一波長阻抗變換器是最簡單的單段式阻抗匹配器.值得指出的是這里提到的“波長”指的是波導波長λg,而匹配段的長度即為l=λg/4. 若設a表示波導寬邊長度,而b表示波導窄邊長度,則波導波長λg與工作波長λ之間的關系為

(1)

(2)

其中μ、ε分別為真空磁導率與真空介電常數. 三段特性阻抗之間的關系[13]:

(3)

其中Z1為阻抗變換器等效阻抗,Z0為BJ70端口阻抗,Z2為定向耦合器等效阻抗. 不妨令阻抗變換器窄邊b1與另外兩段窄邊有如下關系:

(4)

通過聯立式(2)—(4)可得阻抗變換器長邊a1.

1.2 二項式阻抗變換器

二項式阻抗匹配器與下面會提到的切比雪夫阻抗變換器都是多段阻抗變換器.區別在于它們每一段阻抗的大小排布不同[14].

(5)

總反射系數為

(6)

其中,定義電長度

(7)

而2(i-1)為電磁波從某端口進入,再從此端口反射出時經歷的匹配段總段數. 若將任意反射系數寫為

Γi=kiΓ1

(8)

則式(6)可改寫為

(9)

由于

(10)

|Γ|=Γ1|cosnθ|

(11)

Γ1|cosnθ|函數的特點如圖2所示,在某Γm下,隨著n的增大,曲線愈加平緩,所以二項式響應又叫“最平坦響應”.

圖2 |Γ|在不同n值下隨θ變化關系

(12)

(13)

進而得

(14)

又由式(8)和(12)聯立有

(15)

只要n已知,就可以將式(14)、(15)聯立即可求得各段特性阻抗.

下面將求解n. 設Γm是設計允許的最大反射系數,λ1、λ2是Γm對應的兩波長,其間的頻率范圍即為帶寬,其對應的電長度為θ1、θ2. 由式(11)得

Γm=Γ1|cosnθ1|=Γ1|cosnθ2|

(16)

求解式(16)方程即可求得n.

1.3 切比雪夫阻抗變換器

設反射系數Γ1=Γn+1,Γ2=Γn,使之左右對稱. 緊接著1.2節中式(6),得

e-j2(n-1)θ+Γn+1e-j2nθ=e-jnθ(Γ1ejnθ+Γ2ej(n-2)θ+…+Γne-j(n-2)θ+Γn+1e-jnθ)

(17a)

(17b)

這里的每一項cosnθ項均可展開為關于cosθ的多項式,如

cosθ=cosθ,cos 2θ=2 cos2θ-1,

cos 3θ=4cos3θ-3cosθ,

cos 4θ=8cos4θ-8cos2θ+1

(18)

令x=cosθ,Tn(x)=cosnθ=cos (narccosx),代入上式得

T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2-1,…

(19)

Tn(x)是為切比雪夫多項式. 其遞推公式為

Tn+1(x) = 2xTn(x)-Tn-1(x)

(20)

(21)

其圖像如圖3所示,可以觀察得到,在|x|≤1時其圖像為一系列最大值不大于1的波紋;當|x|>1時圖像急劇上升.

圖3 在不同n值下切比雪夫多項式|Tn(x)|

(22)

其圖像如圖4所示.

圖4 |Γ|在不同n值下隨θ變化關系

可以看到|Γ|在θ1、θ2范圍內始終不超過Γm.因此為保證|Γ|有如上所述的分布,我們只需要將式(17)取模后根據式(18)展開成關于cosθ的多項式,整理后讓各項系數與式(22)的各項系數一一對應相等即可求出各Γi的值,又由式(8)得到各ki的值,代入到式(14)和(15)即可求得各段特性阻抗的值.

2 三種阻抗變換器的仿真設計

綜合上述分析,根據多段二項式阻抗匹配段的最平坦特性,我們基本可以從理論上得出多段二項式阻抗變換段設計的S11參數會比四分之一波長阻抗變換器更低的結論.同時,又由于兩待匹配段的尺寸很接近,還可以從理論上得出切比雪夫阻抗變換器S11參數的特征會一定程度上趨于二項式阻抗匹配段S11參數特征的結論,而此分析會在本文3.1節的第二個問題中做具體討論.為驗證上述理論分析結果,同時觀察其它S參數的情況,本文采用有限元方法仿真設計了三種阻抗變換器.

2.1 四分之一波長阻抗變換器的仿真設計

由式(2)—(4)可求得

經仿真并進行參數優化后各S參數如圖5所示.

圖5 匹配阻抗變換器的定向耦合器各端口S參數

中心頻率處各參數指標如上表1所示,均滿足設計要求.

表1 中心頻率處阻抗變換器仿真結果

2.2 二項式阻抗變換器的仿真設計

由于2.1節中,四分之一波長阻抗變換器S11參數已經滿足了設計指標要求.因此為了體現明顯區別,我們不妨直接設計一個n=3的二項式阻抗變換器.

(23)

經仿真并進行參數優化后各S參數如圖6所示. 中心頻率處各參數指標如表2所示,均滿足設計要求,且S11大大降低.

表2 中心頻率處二項式阻抗變換器仿真結果

圖6 匹配二項式阻抗變換器的定向耦合器各端口S參數

2.3 切比雪夫阻抗變換器的仿真設計

為與2.2節中的二項式阻抗變換器做一個對比,我們同樣令n=3,代入1.3節計算得

k1:k2:k3:k4=1:3(1-cos2θ1):3(1-cos2θ1):1

k1:k2:k3:k4=1: 2.055: 2.055: 1,

(24)

經仿真并進行參數優化后各S參數如圖7. 中心頻率處各參數指標如表3所示,其S11雖然有一定的改善,但方向性下降,頻帶寬也完全不滿足設計要求.

表3 中心頻率處切比雪夫阻抗變換器仿真結果

圖7 匹配切比雪夫阻抗變換器的定向耦合器各端口S參數

3 仿真結果的討論

3.1 問題討論

首先,討論第1個問題:為什么2.1節中圖6的S11似乎并沒體現出二項式阻抗變換器的最平坦分布?這是因為在設計阻抗匹配段時,只考慮了某一端口Z0到Zn+1的一系列阻抗匹配,并沒有考慮定向耦合器內部如小孔和其他端口的反射系數.如果去掉小孔和其他端口進行仿真,其S11圖像如圖8所示. 在±0.4 GHz范圍內是很符合最平坦特征的.切比雪夫也同理,如圖9,其基本符合圖4中n=3時中間有一個峰值,兩邊有兩個極小值的分布特點.

圖8 去掉小孔和其他端口后的S11與頻率關系曲線

圖9 去掉小孔和其他端口后的S11與頻率關系曲線

第2個問題: 為什么本次仿真的切比雪夫阻抗變換器有一定的二項式阻抗變換器的特征?如圖9所示,其S11接近“U”型的分布與圖2中二項式阻抗變換器反射系數的分布有一定程度的相似.這是因為BJ70接口與我們需要匹配的定向耦合器的接口特性阻抗相差不大.這就造成了式(23)和(24)中計算出的二項式和切比雪夫各阻抗匹配段特性阻抗相差很小,進而也就造成了這種相似性.

表4 取不同n值時兩種設計方法各ki比值情況

3.2 三種設計的綜合比較

中心頻率處三種設計的各S參數如表5所示. 綜合比較表5數據,可以得到如下一些結論:

表5 三種設計方案中心頻率處仿真結果對比

2) 若要追求最小的駐波比,則推薦采用三階二項式設計. 通過文獻[16]也可說明采用二項式所設計的阻抗變換器,其駐波比最小.

3) 綜合評估我們所要設計定向耦合器的各項指標要求及應用場合,不建議采用切比雪夫設計,首先其方向性的變差導致其頻帶寬變得很窄;且又因為BJ70波阻抗與需要匹配的端口波阻抗過于接近,我們從理論上就已能得出切比雪夫設計的特點無法很好體現,而在進一步參數優化過程中,各項參數也會趨于三階二項式設計的參數,導致退變為二項式阻抗變換器.

4) 為了驗證本文的仿真設計的有效性,對已有文獻進行了對比,如表6所示. 可發現所設計的阻抗變換器其反射系數較優于其他文獻.

表6 其他文獻結果對比

4 結論

本文介紹了3種階梯式阻抗變換器的相關計算推導,并設計了針對BJ70接口的三種阻抗變換器,最后對其進行了仿真驗證.通過比較計算分析和仿真驗證后的結果,我們不建議采用切比雪夫的設計;而若在設計指標之下還要要求更好的駐波比,則推薦采用二項式的設計;不過綜合而言,我們更推薦四分之一波長阻抗變換器的設計,因為其展現出更好的帶寬和方向性,以及盡量小的波導尺寸.此外對計算和仿真結果的進一步分析,我們也發現,在兩待匹配端口阻抗相接近和設計指標要求的頻帶寬較時,都不推薦采用切比雪夫阻抗變換器設計.