帶有最優流量信息中斷期望影響的一類新格子模型

劉麗梅，化存才

(1.云南民族大學 預科教育學院，云南 昆明 650504；2.云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500)

隨著經濟的迅速增長以及社會現代化的不斷發展，道路上的車輛數量逐年攀升，這也導致交通擁堵和交通事故日益頻發.為緩解日趨復雜的交通問題，眾多學者對交通流模型進行研究，交通流模型可分為宏觀的交通流模型和微觀的交通流模型[1-7].1998 年，Nagatani 提出涉及交通流的宏觀格子流體動力學模型[8]，這對研究交通流具有里程碑的意義.此后，學者們在此基礎上對模型進行了改進，提出了許多考慮不同因素的格子流體力學模型，如李志鵬等[9]在Nagatani's 模型的基礎上考慮流量差的影響，并驗證考慮流量差的影響能提高交通流的穩定性.田鈞方等考慮密度差影響的格子流體力學模型，這對抑制交通擁堵起到積極的作用[10].在現實生活中，駕駛員的個體特征也是影響交通流穩定性的重要因素之一，彭光含等在Nagatani's 模型的基礎上考慮駕駛員預估效應的影響[11].Kang 等[12]提出考慮駕駛員反應延遲影響的格子流體力學模型.之后，考慮駕駛員急性、膽量等特征的交通流模型也被學者研究.隨著道路交通量的逐漸增多，道路交通環境也時常影響交通流的穩定性.特別的，由行人、事故等因素造成的交通中斷是導致交通擁堵的一個重要原因.任何行駛的車輛均有可能出現中斷，而交通中斷往往是以不確定的概率發生.唐鐵橋等[13]，提出考慮前車速度中斷影響的車輛跟馳模型.之后，孫棣華等[14]在變道的2 車道格子流體力學模型中加入中斷概率，發現變道可以平均各車道的交通量，但當前格子流量中斷會使得交通狀況惡化.Jiang等[15]考慮后視以及中斷共同影響的格子流體力學模型，結果表明2 個因素都能提高交通流的穩定性.彭光含等[16-18]考慮j+2格子最優流量中斷的格子流體力學模型.

這些考慮中斷影響的模型均能改善交通流的穩定性.在實際交通流中，交通中斷概率是駕駛員對可能發生交通中斷的預期行為.j+1格子最優流量可看成是駕駛員在行駛過程中根據運行狀況預估得到的優化流量，預估中斷發生時最優流量變為0，而以往的模型并未考慮j+1格子最優流量中斷的期望行為.為此，本文在Nagatani's 格子流體力學模型的基礎上，考慮j+1格子最優流量信息中斷的期望行為，提出一類新的格子流體力學模型；利用線性穩定和非線性穩定分析方法，得到模型的穩定性條件和對應的mKdV 方程；通過求解mKdV 方程，分析交通密度波傳播演變的過程；最后，通過數值仿真驗證理論分析的正確性.

1 模型的建立

在1998 年，Nagatani[8]提出最早的格子流體力學模型，其模型方程如下：

式中：ρ0為 平均密度，ρj，vj分別表示在第j格點t時刻的瞬時密度和瞬時速度，a為駕駛員的敏感系數.ρ0V(ρj+1) 表示最優流量，V(ρj+1)為駕駛員根據交通狀況預估得到的最優速度，其形式為：

其中：ρc表示安全密度，ρ0表 示平均密度，vmax表示最大行駛速度.

在實際的交通中，交通中斷概率是駕駛員對可能發生交通中斷的預估行為，為揭示j+1格子最優流量信息中斷的期望行為對交通流穩定性的影響，本文在(2)式中添加最優流量中斷的概率，提出新的格子流體力學演化方程，模型方程如下：

式中：pj+1表 示優化流量在第j+1格 子中斷的概率，為簡化計算將中斷概率pj+1看成常數p.因此，方程(4)可以寫成如下形式：

2 線性穩定分析

對提出的格子流體力學模型(5)進行線性穩定性分析，研究優化流量中斷概率的期望行為對交通擁堵演變的影響.在穩定狀態下，假設交通流的穩定密度為 ρ0，最優速度為V(ρ0)，得到穩定狀態的密度和速度分別為：

假定yj(t)表示格點j上穩定狀態密度的小擾動量，此時密度變為：

將(7)式代入(5) 式得

通過展開yj(t)=Aeikj+zt，方程(8)變為：

將z=z1ik+z2(ik)2+···代 入方程(9)，可得到關于 ik的1 階、2 階項的系數

當z2>0,交通流是穩定的，但當z2<0時交通流將演化為非穩態流.由此，可得到交通流中性穩定曲線

均勻流的穩定條件可表示為：當p=0時，上述穩定條件變成Nagatani's 模型的穩定條件.

根據(12)式可知，最優流量中斷的概率p對交通流的穩定性具有重要的影響.由(11)式可畫出擾動中斷概率p在取不同值（0，0.1，0.2，0.3）時的中性穩定曲線，如圖1 中的實線.圖1 中虛線為共存曲線，由后續的非線性分析導出.每條中性穩定曲線都存在一個最高點，被稱為臨界點 (ρc,ac).在中性穩定線上方的區域交通流是穩定的，而在中性穩定線下方的區域交通流是非穩定的.當p=0，即不存在擾動中斷情況時，交通流的中性穩定曲線同Nagatani's 模型，穩定區域的面積最小.之后，隨著p的逐漸變大，交通流的臨界穩定點和中性穩定線逐漸降低，交通流穩定區域的面積擴大，交通流越穩定.由此說明添加最優流量中斷期望影響的格子模型比Nagatani's 模型更穩定.同時增大最優流量擾動中斷的概率p能提高交通流的穩定性.

圖1 不同擾動中斷概率p 下密度與靈敏度的相圖Fig.1 The phase diagram of the density and the sensitivity under different interruption probabilities p

3 非線性穩定分析

為研究交通流密度波的傳播演變行為，本文將采用還原擾動法在臨界點 (ρc,ac)附近導出mKdV 方程分析交通演變的非線性現象.現對空間變量x和時間變量t引入緩慢變量X和T，即

式中：0<ε ?1，b為待定參數.并且密度為：

將方程(13)～(14)代入到方程(5)中，并對方程(5)進行Taylor 展開至 ε5項，得到如下方程

式中：C表示扭結-反扭結解的傳播速度，滿足以下可解性條件

M[R0′]=M[R′]，扭結-反扭結解的傳播速度C為：

由此，mKdV 方程關于密度的扭結-反扭結孤子解為：

扭結-反扭結孤立波解代表低密度時的自由相和高密度時的擁堵相，共存曲線是由 ρj=ρc±A推導出來的，其中從圖1 中可以發現，中性穩定曲線(實線)和共存曲線(虛線)將交通流分成穩定、亞穩定、不穩定3 個區域.隨著參數p的逐漸變大，交通流的臨界點逐漸變小，共存曲線逐漸降低，交通流不穩定區域的面積逐漸變小，交通流越穩定.即考慮最優流量中斷的期望行為對改善交通流的穩定性起著積極的作用.

4 仿真模擬

數值模擬用來驗證理論分析的正確性，本節采用周期邊界條件，初始條件選取如下[18].

式中：N=100，ρc=ρ0=0.25，a=2.3，vmax=2.

圖2 為1 04時間步長之后，擾動中斷概率p分別取不同值下的密度波隨時間的演變圖，圖2(a)～(d)分別對應不同的中斷概率p=0、0.1、0.2、0.3. 從圖2 中可發現當p=0時模型變成Nagatani's 模型，此時，密度波的振幅波動較大交通流極不穩定.但從圖2(b)～(d)，隨著p逐漸增大，交通流的密度波的振幅逐漸減小，交通流越來越穩定.并且p=0.1、0.2、0.3時的密度波的振幅均低于Nagatani's 模型的振幅，即考慮最優流量信息中斷的期望影響的格子模型比Nagatani's 模型更穩定.當p=0.3，滿足穩定條件(12)，即使在初始條件下加入小擾動，但隨著時間的推移，交通密度波的振幅最終消失，交通流趨于穩定.因此，考慮最優流量中斷的概率能提高交通流的穩定性.

圖2 不同擾動中斷概率p 下密度波隨時間的演化情況Fig.2 The spatiotemporal evolution of density waves for different interruption probability p

為更直觀地研究最優流量中斷的概率p對交通流密度波的影響，圖3 畫出了p分別取0、0.1、0.2、0.3不 同參數下：(a)在t=10 300時間步長的瞬時密度分布情況和(b)遲滯回環曲線.圖3(a)更能直觀地顯示，隨著最優流量中斷的概率p變大，交通流密度波的振幅逐漸變小.同時p=0.1,0.2,0.3曲線的振幅均低于p=0 即Nagatani's 模型的振幅.特別，當p=0.3時，滿足穩定條件(12)時，此時交通密度波的振幅保持穩定狀態.圖3(b)繪制了交通密度與流量關系的遲滯回環圖，當遲滯回環區域變小，流量波動的幅度小，交通流穩定.反之，遲滯回環區域大，則流量波動的幅度大，交通流不穩定.當p=0時模型變為Nagatani's 模型，遲滯回環的區域最大，此時交通流極其不穩定.但隨著參數p的逐漸增大，遲滯回環的區域變小，交通流量波動的幅度越來越小，交通流越穩定.當p=0.3時，遲滯回環曲線變成一個點，流量保持不變，交通流最穩定.因此，考慮最優流量中斷的概率能提高交通流的穩定性.

圖3 瞬時密度分布和遲滯回環曲線圖Fig.3 The density profile of the density wave and hysteresis loop curve graph

5 結論

交通中斷可看成駕駛員對未發生的交通狀況的預估行為，為分析最優流量中斷的期望行為對交通流穩定性的影響，本文提出了一類擴展的Nagatani's 模型.首先，通過線性穩定分析方法，得到關于最優流量中斷概率p影響下的穩定條件，由相圖得到，隨著p的不斷增大，交通穩定區域逐漸增大，并發現含有參數p的格子模型穩定區域比Nagatani's 模型大.其次，采用非線性分析方法，在臨界穩定點附近導出mKdV 方程，通過求解方程得到的扭結-反扭結解描述交通密度波的演變過程，并畫出共存曲線，進一步驗證引入最優流量中斷概率p對改善交通擁堵是有效的.最后，利用仿真算例驗證了理論分析結果，進一步證明了含有參數p的格子流體力學模型比Nagatani's 模型更能有效地抑制交通擁堵，即考慮最優流量中斷的期望行為對提高交通流的穩定性具有積極的影響.

本文探討添加最優流量中斷期望影響的格子模型對交通流穩定性的影響，后續可結合能耗和心理特征等方面，收集與實際相關的多交通信息研究多車道交通流，為仿真和控制提供更多的理論基礎.