源于宇宙弦的引力波暴及其電磁共振效應

王麗麗，史金磊，嚴建軍，張 祎，楊 軻，趙 琳，楊靜靜

(鄭州師范學院 物理與電子工程學院，河南 鄭州 450044)

引力波是廣義相對論的重要理論預言之一.2015 年9 月14 日，地面激光干涉引力波探測器LIGO（Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory）首次探測到雙黑洞并合產生的引力波[1].這直接證明了引力波和黑洞的存在，且在強場引力體系中與廣義相對論符合得很好.幸運的是，之后又發現了更多的引力波事件，包括雙黑洞、雙中子星以及黑洞-中子星并合產生[2].這為觀測天體和檢驗宇宙學模型提供了新的方法.

除了致密雙星并合產生引力波外.加速運動的宇宙弦也是一個引力波源[3].它會向外輻射攜帶能量的引力波直至能量耗盡消失掉.在宇宙早期，高溫相變產生的一維拓撲缺陷可以產生宇宙弦[4].宇宙暴漲可以產生宇宙超弦[5-8].宇宙（超）弦的演化進程對弦理論的研究至關重要.由于弦密度極大且引力極強.故而宇宙中只存在2 種形式的宇宙弦，即橫貫宇宙的無限長長弦和大小不同的各種環形弦.宇宙弦形成之后會發生各種“重聯”，要么弦自身的兩端相互連接，要么與其它弦的兩端相連，最終形成環弦或長弦.不同的弦重聯概率不同.普通弦重聯的可能性比較大，即為1.F 弦重組的概率為10-3≤p≤1，D 弦重組的概率為 0.1 ≤p≤1[6].弦 的這一進程被弦張力Gμ嚴重影響著.結果導致不同重組概率產生的弦網絡特性和引力波的可探測性大不相同.這激起了物理學家研究宇宙弦和引力波的強烈興趣.結合LIGO 和空間引力波探測器LISA（Laser Interferometer Space Antenna）的探測靈敏度，物理學家們給出了宇宙弦張力的各種限制.Damour 等認為普通弦Gμ～10-13輻射的引力波就具有可探測性[9-10].與普通弦不同，Jones 和Kachru等認為F 弦和D 弦1 0-11≤Gμ≤10-6才可以被探測到[8,11].Matsui 和Kuroyanagi 利用ALIGO（Advanced LIGO）和脈沖星計時陣PTA（Pulsar Timing Array）分別給出高頻和甚低頻引力輻射最新的限制，即Gμ≤10-5，Gμ～4×10-8[12].然而，長弦上逆流擺動產生的引力輻射在阻尼擺動方面的效率遠不如最初想象的那么高[13].致使新形成弦環的特征長度與標準估計相差一個因子 ? ≡a/a0（? ?1）[14].考慮以上因素的影響，Damour 等[15]認為修改后的模型中Gμ～10-10時，? ≥10-11（LIGO）和 ? ≥10-7(LISA)引力波暴可能被實現探測研究.

除甚低頻、低頻和高頻引力波之外，宇宙弦模型也可以預言出甚高頻引力波[16-17].近幾年，甚高頻波段的引力波被李芳昱教授等[18-25]提出的探測方案廣泛討論和研究.由于重組概率p和 ?兩個參數直接和間接影響引力輻射的強度，從而影響引力波的探測需求.故我們利用此探測方案[26]，結合引力波與電磁場的共振響應來討論引力波暴的特性以及信號光子流和探測方案對此引力波的靈敏特性—信噪比.

本文的結構如下：第1 部分，介紹宇宙弦環震蕩尖端產生引力輻射的模型.第2 部分，介紹微波頻段引力波的電磁共振效應.第3 部分，主要從引力波幅值h、信號光子流和信噪比3 方面進行數值分析研究.第4 部分，給出本文的總結以及展望.

1 引力波暴輻射模型

宇宙弦環震蕩引起尖端發生甚高頻引力輻射.引力輻射所攜帶的能量與重組概率p和弦環長度參數 ?密切相關.在標 準模型中重組概率p=1，?=1.與之不同，本文將考慮2 個可能影響引力波能量的因素：①宇宙弦重組概率低，即p?1；②環弦長度特征參量 ? ?1.那么修正后的宇宙弦理論模型以p和 ?為自由參數，可得引力波暴的量綱為1 的振幅為[15]：

式中：t0?1017.5s 為目前宇宙的年齡；α0=ΓGμ為標準模型下量綱為1 的環長參數；G為萬有引力常量；μ是弦張力；Gμ 是宇宙弦張力參數[27].y(p,?)=10-2p?5/3N˙t0α08/3(νgt0)2/3/c0中c0為環在一個震蕩周期內出現的尖端平均個數；νg是引力波的頻率；N˙是引力波暴的事件發生率.按照宇宙的不同演化時期，g(y)=y-1/3(1+y)-13/33(1+y/yeq)3/11是1 個分段插值方程，描述的是振幅在3 個區域y≤1，1 ≤y≤yeq和y>yeq的冪率行為，其中yeq=zeq11/6，zeq?103.94是物質與輻射密度相同時的紅移；Θ是 以1 -θm為變量的Heaviside階躍函數.(1+zm)1/6(1+zm/zeq)1/6，zm(y)=y1/3(1+y)7/33(1+y/yeq)-3/11表示模型中最大的紅移.

2 引力波暴的電磁共振效應

宇宙弦環震蕩產生的尖端輻射可以通過電磁共振方案來檢測.這一過程主要分為2 步.①沿z軸傳播的引力波穿過具有基頻模式且沿z軸方向傳播的高斯光束（微波頻段）和沿y軸方向分布的均勻恒定靜磁場時，將會引起時空的擾動從而激發擾動電磁場；②當引力波的頻率與高斯束的頻率相同時，擾動的電磁場與高斯束耦合作用產生可觀測的物理效應，即擾動光子流[25].由于沿x軸方向的信號光子流強度大于其它方向[24]，故本文只考慮沿x軸方向的橫向光子流作為討論對象.

需要注意的是，在信號探測中，熱噪音、散粒噪音等噪音將會干擾信號的探測.信號和噪音的比值可以反映該探測方案的基本特性，故研究信噪比是非常有必要的.與熱噪音和散粒噪音相比較，高斯束（背景電磁場）產生的背景光子流強度更大，因此被考慮為系統的主要噪音.在高斯束不變的情況下，信噪比越大表明引力波的強度越大，相對來說噪音對此類引力波信號的干擾越弱，越有可能被探測到.

背景光子流是由背景電場和背景磁場相互作用產生的.假設背景電場是以基頻模式的高斯光束形式分布，則可以表示為：

引力波是背景時空的擾動.當引力波的頻率與高斯束的頻率相同時，沿z軸傳播的引力波與靜磁場共振作用產生橫向擾動電磁波.考慮到引力弱場的性質，因此在計算過程中忽略二階及高階擾動，只考慮一階擾動的影響.通過求解彎曲時空中麥克斯韋方程組，可獲得一階擾動電磁波分量為：

式中：上標“～”（“ ∧”）表示電磁場是時變場（恒定場）；上標“（0）”（“（1）”）代表的是背景場（擾動場）.背景均勻靜磁場作為電磁諧振探測方案的重要組成部分，它的分布是沿著y軸正方向并且在z軸方向上的分布范圍為：-l1≤z≤l2，l1=5.7 m，l2=0.3m.

利用真空中的坡印廷矢量S=E×B/μ0，結合式（3）與（4）和（4）與（5），單位時間內沿x軸方向的背景光子流密度和擾動光子流密度分別為：

式中：符號“ 〈〉” 表示在1/νe的 時間尺度求平均值；μ0是真空的磁導率；hˉωe是一個光子的能量.由（6）式可知，不等于0，高斯束將會隨著 |z|的增大而逐漸彌散開.分別對（6）式和（7）式積分，可以得到單位時間內沿x軸方向的背景光子流強度和擾動光子流強度分別為：

這里 Δs是yOz平面上典型的光子“接收面”.

3 數值分析

根據以上的引力波暴輻射理論介紹，我們進行以下的數值分析.為了保守估計，我們假定c0=1.其它參數的數值：N˙=1[15]，Γ=50[28].為了結合引力波的電磁共振探測方案，在這里我們選取引力波暴的頻率 νg=5×109Hz，（8）式和（9）式的積分區間：0

圖1 重組概率p 對引力波暴振幅的影響Fig.1 The influence of reconnection probability p on the amplitude of gravitational wave burst

圖2 參數 ?對引力波暴振幅的影響Fig.2 The influence of parameter ? on the amplitude of gravitational wave burst

然后，結合微波頻段引力波的電磁共振作用，我們可以獲得信號光子流的強度（如圖3 和圖4）以及在電磁共振探測方案中，信噪比的情況（如圖5 和圖6）.從圖3 和圖4 可以看出，信號光子流強度隨弦張力Gμ的變化趨勢與引力波振幅強度一致.在相同的弦張力Gμ情況下，較小的重組概率p將會產生較強的可觀測效應.

圖3 重組概率p 對信號光子流的影響Fig.3 The influence of reconnection probability p on the signal photon flux

圖4 參數 ?對信號光子流的影響Fig.4 The influence of parameter ? on the signal photon flux

圖5 重組概率p 對信噪比S 的影響Fig.5 The influence of reconnection probability p on the ratio of signal to noise S

圖6 參數 ?對信噪比S 的影響Fig.6 The influence of parameter ? on the ratio of signal to noise S

4 總結

宇宙弦環震蕩引發的尖端引力輻射強度比較弱.加上外部噪音的干擾，目前實驗中還未探測到此類引力波.本文以重組概率p（10-3，10-2，10-1，1）和?（10-12，10-9，10-6，10-3，1）為自由參數，弦張力Gμ（10-13≤Gμ≤10-5）為自變量，先對理論模型進行研究.主要體現在3 個方面：①保守估計引力波暴量綱為1 的振幅強度范圍為10-28～10-25，p越小引力波強度越強，而 ?對引力波強度影響較??；②在微波 頻段，信號光子 流強度達到 104～108s-1；③在微波頻段，信噪比達到1 0-20～10-14.與遺跡引力波[22]和原初引力波相比[23]，無論是引力波強度，還是電磁共振效應—信號光子流強度和信噪比，均要高出至少2 個數量級甚至更高.因此，宇宙弦模型預期的原初引力波在未來有很大可能性被探測到.這不僅對引力波本身有重要的科學意義，而且對極早期宇宙，尤其是宇宙大爆炸后瞬間的觀測提供了可能.一旦未來探測到此類引力波，它將會對各種宇宙學模型的鑒別和判斷提供關鍵證據.甚至可能對一些重大的基本科學問題，如時間的起點、時空的維度以及暗能量的本質等提供深刻的判斷.