基于FFT 的波動方程VOFFLC 控制

汪 洋, 江厚順, 汪 杰 許冬進 尹 彪

(1.長江大學石油工程學院，武漢 430100; 2.揚州工業職業技術學院化學工程學院，揚州 225127)

0 引言

很多受控體系核心參數的變化規律，無法使用常微分方程(ODE)表述，必須使用偏微分方程(PDE)才能準確描述[1]。PDE 的無窮維特性使其幾乎不能以封閉形式求解(除了一些特例)，而采用差分或有限維ODE 來近似PDE 是處理PDE 求解問題的有效方法[2]。例如，文獻[3]利用本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)將PDE 降維成ODE，然后求解未知參數；文獻[4–5]利用有限差分(FDM)將PDE 轉為代數系統，文獻[6]采用有限元法(Finite Element Method, FEM)將PDE 轉為ODE，然后辨識未知參數。

在工程技術上，常常要求對某些物理量加以控制，使其變化規律滿足技術上的要求[1]。方程模擬方面，由Cooley 和Tukey[7]提出并發展出來的快速傅里葉(FFT)技術的可用性強，在軟件中有較好的植入性，可以實現周期性邊界條件下的波動方程數值模擬?？刂葡到y方面，文獻[8–9]提出采用模糊控制(Fuzzy Logic Controller, FLC)和分數階PID 控制(Fractional Order Proportional Integral Differential, FOPID)相關理論的變階次分數階模糊PID 控制VOFFLC；作為一個自適應系統，VOFFLC 可以實現在運行中不斷測試誤差e和誤差導數ec，并根據模糊控制規則在線調整所有五個控制器參數，以增強系統。

本文采用FFT 算法將案例的波動方程從時域PDE 轉化到頻域ODE，利用VOFFLC控制器搭建簡潔的自適應控制體系，以實現對波動方程的時域控制。這樣，可以實現類似邊界控制的結果；同時，在空間維度上可以實現向量級控制，即實現對該維度上任意函數形狀、插值函數或者散點的向量級控制，而這是邊界控制做不到的；同時，為實現復雜工程技術向量級核心參數的自適應控制研究提供有用的思路。

1 數值理論

1.1 FDM 理論

考慮一維波動方程問題

其中a為正常數，f(x,t)、φ(x)、ψ(x)和β(x)為已知函數。首先，以空間步長h=1/N、時間步長τ=T/M分別將x軸上區間[0,1]、t軸上區間[0,T]分成N、M等分，得xi=ih(0≤i ≤N)和tk=kτ(0≤k ≤M)。同時引入步長比s=ατ/h，并采用簡寫uki=u(xi,tk)，得差分格式

1.2 FDM 理論

對于在任一有限區間上滿足Dirichlet 條件的函數u(x)(x ∈(?∞,∞))，傅里葉變換和其逆變換為[10]

后面采用簡寫?u(k)=F[u(x)]和u(x)=F?1[?u(k)]。此外，u(n)(x)表示為u(x)的n階導數，則函數的求導運算在傅里葉變換的作用下，可以轉化為相對簡單的代數運算

基于上述法則，利用傅里葉變換將偏微分方程中空域或時域上的求導運算簡化為頻域上的代數運算，求解后再通過傅里葉逆變換得到空域或時域上的結果。

1.3 VOFFLC 控制

1.3.1 FOPID 控制

將波動方程的PDE 模型經過FFT 變換成ODE 模型后，嘗試采用集中參數的理論，引入自整定強魯棒控制器，以實現波動方程空間維度上向量參數的優化控制。這里優化控制是從一類允許的控制方案中找出一個最優的控制方案，使系統的運動在由某個原始狀態轉移到指定的目標狀態的同時，其性能指標值為最優[11]。

首先，具有以下理想傳輸功能的PID：

進而，由Podlubny[12]提出FOPID 控制，格式為PIλDμ，傳遞函數為

其中λ和μ分別為積分階次和微分階次。

在實際分數階PID 控制器中，因為積分環節是由濾波器逼近的，λ ＜1 時并不能完全消除穩態誤差，所以最好用下面的形式重建積分器[13]

1.3.2 VOFFLC 控制器規則

本文采用VOFFLC 控制器來完成控制任務[8–9,14]。本文采用文獻[8]的VOFFLC 模糊規則，允許FOPID 控制器的所有五個參數隨著系統結構作為VOFFLC 輸出的變換而變化。

通過實驗總結的PID 參數增量(ΔKp,ΔKi,ΔKd)和階次λ、μ參數增量(ΔKλ,ΔKμ)的調節方法如表1 和表2 所示[13]。其中模糊規則被分為7 個模糊集：負大(NB)、負中(NM)、負小(NS)、零(Z)、正小(PS)、正中(PM)和正大(PB)。

表1 λ 和μ參數增量的模糊推理表

2 數值分析應用

本文采用文獻[15]中的一維波動方程的模型：一根兩端固定、沒有受到外力的弦，若只研究其中的一段，在不太長的時間里，固定端來不及對這段弦產生影響，可以認為固定端是不存在的，弦的長度為無限大，且假定數值計算區間足夠大，在一定時間內，弦的振動范圍始終沒有超出計算區間，則認為其為周期性邊界條件；然而，當波動時間持續向前推進，弦的振動范圍到達計算區間邊界。此時，波動函數必須滿足邊界條件，并給波動方程的后續推進帶來影響，這也將導致FDM 和FFT 模擬方法的結果呈現一些差異。

設定a= 1,f(x,t) = 0,u(x,0) = 2 sech(x),?u(x,0)/?t= 0,u(?40,t) =0,u(40,t)=0。需要指出，這里將前面FFT 理論中：左邊界u(0,t)=0 擴展到u(?l,t)=0，右邊界u(1,t) = 0 擴展到u(l,t) = 0，其中l= 40。將該模型條件引入公式(1)，可以得到

2.1 FDM 模擬

因為邊界條件為u(?40,t)=0,u(40,t)=0，同時f(z,t)=0，則公式(5)變化為

利用有限差分法理論，結合公式(8)和公式(9)，編寫FDM 程序并輸出結果，如圖1 所示。在圖1 中，設置模擬時間t= 20 s，可以看到弦的振動范圍沒有超出計算區間；設定模擬時長為t= 160 s，以觀察模擬不同時長情況下的振動狀態，模擬結果如圖2 所示。圖2 中，模擬時間t= 40 s 時，可以看到弦的振動到達計算區間的邊界，由于設置邊界條件為u(?40,t) = 0,u(40,t) = 0，振動快速降低為0，并隨時間的推移向負值傳遞。同時，為了方便和后續實驗進行比較，對圖2 的波動方程模擬經行絕對值化處理，結果如圖3 所示。

圖1 一維波動方程FDM 模擬圖(t=20 s)

圖2 一維波動方程FDM 模擬圖(t=160 s)

圖3 |u|的一維波動方程FDM 模擬圖(t=160 s)

2.2 FFT 模擬

對模型公式(8)經行FFT 變換

利用FFT 變換，將波動方程由時域系統的偏微分方程轉變為頻域系統的常微分方程。轉換為頻域系統后，初值條件也要轉換到頻域。由于該模型中初值ut、vt和?k2為向量，采用Simulink 搭建模型時要遵循矩陣運算規則。這樣模擬信號經過積分器模塊后，得到的輸出仍然為向量化信號，如圖4 和圖5 所示。需要注意的是，積分器模塊需要保證入口信號為實數；而頻域系統初值ut、vt經過FFT 變換為復數，這就需要對復數特別處理：將復數分為實數和虛數兩路信號并做積分運算，然后在IFFT 變換前將兩路信號合并為復數信號；這個復數信號在積分前完成四則運算后再分為實數和虛數兩路信號進入積分模塊入口。經過實驗發現，當虛數信號非常小的時候，直接取實數信號作模擬也能得到符合精度要求的模擬結果，這樣做的原因是可以節約計算時間的成本，如圖6 和圖7 所示。這樣的系統模型簡潔，且不易出錯，也易于維護[16]。

圖4 一維波動方程的FFT 仿真圖(實數域)

圖5 一維波動方程的FFT 仿真圖(復數域)

圖6 |u|的一維波動方程FFT 模擬圖(t=20 s)

圖7 |u|的一維波動方程FFT 模擬圖(t=160 s)

對采用FDM 模擬的圖1 至圖3 和采用FFT 模擬的圖6 和圖7 進行比較：

1) 比較圖1 和圖6，模擬時長為t=20 s 時，兩個數值方法模擬結果相同；

2) 比較圖2 和圖7，在函數計算區間邊界處且時域t= 40 s 和t= 120 s 兩點附近，圖2 呈現出遞減到0 的趨勢，而圖7 呈現出突然上揚的趨勢；模擬時長為t ∈(40,120)，兩個數值方法模擬結果顯示數值大小一致，符號相反。其它模擬時長中，兩個數值方法模擬結果基本一致；

3) 比較圖3 和圖7，除去函數計算區間邊界處且時域t= 40 s 和t= 120 s 兩點附近的差異，兩個數值方法模擬結果基本一致。

對于圖7 中呈現的突然上揚趨勢，由于FFT 算法采用了周期性邊界條件，其相當于將該函數強制轉化為在邊界處間斷、周期為L的周期函數。該實驗案例中，在時間t= 40 s 和t= 80 s 處，該函數在計算區間的邊界附近迅速衰減到0，這時得到的模擬函數會在間斷點附近產生震蕩，出現吉布斯現象。從圖7 和圖2 的對比中可以清楚地觀察到這一點；對于圖7 中模擬時長為t ∈(40,120)函數出現和圖2 模式值大小相等符號相反的現象，本文采用對u取絕對值進行處理；同時需要指出的是，對于x的離散方式進行修改，將是改變這種現象的一個思路。

2.3 VOFFLC 時域控制

利用FFT 理論將波動方程時域PDE 方程轉化為頻域ODE 方程，嘗試利用VOFFLC控制器設計實現波動方程頻域ODE 系統自適應控制的實驗。

2.3.1 反饋信號乘法實驗

通過前面對FFT 和成熟FDM 模擬實驗結果的對比，說明基于Simulink 平臺采用FFT 原理模擬PDE 波動方程的思路可行。在圖4 和圖5 的的基礎上，嘗試在IFFT 模塊的出口實施一個基于VOFFLC 閉環控制，這里嘗試對控制信號進行乘法處理：設定時域期望向量w=2·sin(x)，IFFT 模塊出口向量為u；本文給定VOFFLC 控制器入口值的處理規則為(w ?u)T(w ?u)，以保證進入控制器的量為標量，同時，該規則有進一步優化的需要，有待研究；然后，該標量經過自適應VOFFLC 控制器的處理，進入PDE 波動方程的FFT 模擬系統，和C相乘。嘗試對一維波動方程的VOFFLC 時域控制仿真，如圖8 和圖9 所示。

圖8 一維波動方程的VOFFLC 控制的乘法實驗仿真圖(實數域)

圖9 一維波動方程的VOFFLC 控制的乘法實驗仿真圖(復數域)

設定時域期望向量w= 2·sin(x)，模擬時長為t= 20 s 和t= 160 s，其模擬結果如圖10 和圖11 所示。

圖10 一維波動方程的VOFFLC 控制的乘法實驗模擬圖(t=20 s)

圖11 一維波動方程的VOFFLC 控制的 乘法實驗模擬圖(t=160 s)

對圖10 和圖11 和圖7 進行比較：

1) 比較圖10 和圖7，模擬時長為t=20 s 時，波動形態一致，圖10 周期縮短；

2) 比較圖11 和圖7，模擬時長為t= 160 s 時，波動形態一致，圖11 周期縮短的速率加快，且u的值隨時間的增加在逐漸的減小。

由上述現象來看，雖然該乘法實驗表現出一定的規律，但是并沒有達到時域控制的基本要求。

2.3.2 控制條件為0 的反饋信號減法實驗

基于上述一維波動方程的VOFFLC 時域控制的乘法實驗，做出修正：設置時域控制條件為0，為了程序實現將其離散為w= 0·sin(x)，IFFT 模塊出口向量為u；給定VOFFLC 控制器入口值的處理規則同上；然后，經過自適應VOFFLC 控制器的處理，進入PDE 波動方程的FFT 模擬系統，和C相減，模擬時長為t=20 s 和t=100 s。構建模擬仿真圖12，嘗試對一維波動方程的VOFFLC 時域控制仿真，結果如圖13 和圖14 所示。

圖12 一維波動方程的VOFFLC 控制的減法實驗仿真圖(實數域)

圖13 一維波動方程的VOFFLC 時域控制的模擬圖(t=20 s)

圖14 一維波動方程的VOFFLC 時域 控制的模擬圖(t=100 s)

對圖13、圖14 和圖7 進行比較：

1) 比較圖13 和圖7，模擬時長為t=20 s 時，圖13 出現類似水紋能量衰減的震蕩，且為逆向圓弧的形狀；

2) 比較圖14 和圖7，模擬時長為t= 100 s 時，圖14 類似水紋能量衰減震蕩，向遠方趨于停止震蕩，直到靜止為0。

由上述現象來看，控制效果更加清晰，可以認為VOFFLC 達到時域控制的基本要求。

2.3.3 控制條件為w=2·sin(x)的反饋信號減法實驗

設置控制條件為w= 2·sin(x)，模擬時長為t= 20 s 和t= 100 s，結果如圖15 和圖16 所示。

圖15 一維波動方程的VOFFLC 控制的 減法實驗模擬圖(t=20 s)

圖16 一維波動方程的VOFFLC 控制的 減法實驗模擬圖(t=100 s)

對圖15、圖16 和圖7 進行比較：

1) 比較圖15 和圖7，模擬時長為t=20 s 時，圖15 的波形呈現正弦化的趨勢，且沒有呈現快速向邊界振動的趨勢；

2) 比較圖16 和圖7，模擬時長為t= 100 s 時，隨著時間的推移，波動在呈現正弦化的同時，趨于正弦形態的穩定。

由上述現象來看，VOFFLC 達到時域控制的基本要求。

3 結論

通過以上實驗，總結出一些需要進一步處理的問題：

1) 由于FFT 方法采用周期性邊界條件，將函數從時域函數強制轉化為在邊界處間斷、周期為L的頻域周期函數，當波動震蕩到計算邊界時，會在邊界間斷點產生震蕩且出現吉布斯現象，并在通過邊界后的時間里影響到波動的數值符號，因而需要采取進一步的改進措施并作實驗驗證。同時，對邊界函數不為0 的條件，在使用FFT 變換的時候需要補充處理規則；

2) 文中為保證進入控制器的參數從向量變為標量，設計VOFFLC 控制器入口值的處理規則為(w ?u)T(w ?u)；然而從控制效果來，實現控制條件的見效時間比較長，需要作進一步的優化；

3) 從圖8 可知，波動方程仿真系統的狀態變量為256 元素的向量且在經過FFT 變換后由實數域變成復數域。因此，在Simulink 中模擬而模擬步長較小時就會出現仿真速度慢且數據龐大的弊端；而從本文案例來看，虛數域可以技術性舍棄；因此，如何界定虛數域舍棄標準和設計高效復數域計算算法，需要進一步的研究。

然而，實驗也取得了一些有用的發現：

通過FDM 模擬結果的比較驗證，基于Simulink 平臺實現了利用FFT 方法將波動方程從空域PDE 模型轉化為頻域ODE 模型，并在頻域上搭建類似于集中參數的控制系統，實現的方法是在頻域ODE 模型出口添加IFFT 模塊，這樣IFFT 出口參數將被轉換成原來時域上的波動函數，再對波動函數施加自適應VOFFLC 閉環控制，并給定VOFFLC 控制器入口值的處理規則為(w ?u)T(w ?u)，以保證進入控制器的參數從向量變為標量；然后對控制型號的處理采用了乘法和減法兩種反饋法則。

其中，采用乘法法則的VOFFLC 控制時，波動呈現了和原來的形態一致，而周期縮短和振幅減小的現象。而采用減法法則的VOFFLC 控制時，設計時域控制條件為w= 0·sin(x)時，波動呈現類似水紋能量衰減的震蕩且為逆向圓弧的形狀，并向遠方趨于震蕩減弱直到靜止為0，可以實現類似邊界控制的結果；設定時域控制條件w=2·sin(x)時，隨著時間的推移，波動在呈現正弦化的同時，趨于正弦形態的穩定，可以在空間維度(x軸)上實現向量級控制，即對x軸任意函數形狀、插值函數或者散點的向量級別控制，這個是邊界控制做不到的。因而，基于FFT 的波動方程VOFFLC 控制有進一步的研究意義和廣闊的實用價值。