基于GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影的區間Fermatean模糊多屬性群決策方法

趙敬華 施佳 榮海迎 林杰

收稿日期：2023-05-29；修回日期：2023-07-27? 基金項目：國家自然科學基金資助項目（72201173）；上海市“科技創新行動計劃”軟科學研究項目（22692108400）

作者簡介：趙敬華（1984—），女，山東冠縣人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為管理決策分析、互動創新等；施佳（1999—），女（通信作者），浙江湖州人，碩士研究生，主要研究方向為決策分析（222421172@st.usst.edu.cn）；榮海迎（1997—），女，安徽懷遠人，碩士研究生，主要研究方向為決策分析；林杰（1967—），男，四川渠縣人，教授，博導，博士，主要研究方向為決策支持系統、供應鏈優化與仿真、數據挖掘等．

摘? 要：針對司法案件決策環境的復雜性及評價信息的模糊性，提出一種基于GRA-GCRITIC（grey relational analysis-group criteria importance through intercriteria correlation）和改進加權雙向投影的區間Fermatean模糊Hamacher-TODIM多屬性群決策方法。首先考慮到各位專家對各評價方案下各指標評價信息的差異性，提出一種GRA-GCRITIC方法，該方法將灰色關聯融入到CRITIC中，以確定指標綜合權重比單一獲取的指標權重更加客觀可靠；其次，結合信任關系對加權雙向投影法進行改進，兼顧主客觀關系，利用專家個體與群體評價信息的隸屬度及非隸屬度矩陣間的相似度得到專家權重；最后，考慮到決策者的損失規避心理，將融合了Hamacher算子的TODIM方法拓展至區間Fermatean模糊環境中，通過具體算例可得到其綜合優勢度及排序，驗證了所提方法的可行性及靈活性。

關鍵詞：區間Fermatean模糊；GRA-GCRITIC；改進加權雙向投影；Hamacher-TODIM；多屬性群決策

中圖分類號：C934；TP391.9??? 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2024）02-026-0493-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.05.0233

Interval-valued Fermatean fuzzy multi-attribute group decision-making method based on GRA-GCRITIC and improved weighted bidirectional projection

Zhao Jinghua1，Shi Jia1，Rong Haiying1，Lin Jie2

（1.School of Management，University of Shanghai for Science & Technology，Shanghai 200093，China；2.School of Economics & Management，Tongji University，Shanghai 200092，China）

Abstract：Aiming at the complexity of the judicial case decision-making environment and the fuzziness of evaluation information，this paper proposed an interval-valued Fermatean fuzzy Hamacher-TODIM multi-attribute group decision-making method based on GRA-GCRITIC and improved weighted bidirectional projection.Firstly，considering the differences in evaluation information of each index under each evaluation scheme by experts，this paper proposed a GRA-GCRITIC method，which integrated grey relation into CRITIC to determine the comprehensive weight of indicators more objectively and reliably than obtaining a single indicator weight.Secondly，considering the subjective and objective relationship，this paper used the trust relationship to improve the weighted bidirectional projection method.The approach utilized the similarity between the membership and non-membership degree matrices of expert individual and group evaluation information to obtain expert weights.Finally，considering the decision-makers loss aversion psychology，this paper extended the TODIM method，which incorporated the Hamacher operator，to an interval-valued Fermatean fuzzy environment.And a specific case used this method to obtain the comprehensive advantage and ranking.It verifies the feasibility and flexibility of the proposed method.

Key words：interval-valued Fermatean fuzzy；GRA-GCRITIC；improved weighted bidirectional projection；Hamacher-TODIM；multi-attribute group decision-making

0? 引言

近年來，司法輿情案件的相關話題易引起社會高度關注，而社會輿論一定程度上也會使該類案件陷入“執行難”的困境，以至于影響社會法治化進程［1］。因此，諸多學者對其進行研究。王新雷等人［2］通過分析220件涉人工智能案件的裁判結果，指出現階段該類案件在法律適用方面存在的突出難題；白梅［3］針對民間借貸案件執行難問題，指出各部門各組織需增強協作配合，強化執行措施等，以確保案件執行難的問題標本兼治。在現有研究成果中，主要體現在案件執行難的困境描述以及給出相應的解決措施， 較少采用科學的決策方法對司法案件進行綜合評價?？紤]到司法領域的復雜性、不確定性，以及單人決策的局限性，專家群體在評價司法案件時會涉及到多方面因素，可將其視為一個多屬性群決策問題。

專家群體由于自身知識水平、經驗等差異性難以對復雜的司法案件作出準確評價，往往以模糊數的形式表達自身偏好。為了使評價信息表達方式更全面有效，學者不斷拓展模糊集的相關研究，Senapati等人［4］將隸屬度與非隸屬度范圍擴充至0≤μ3+v3≤1 ，提出了Fermatean模糊集（FFS）；Jeevaraj［5］在FFS基礎之上，提出區間Fermatean模糊集（IVFFS），以［0，1］中的閉合子區間來刻畫隸屬度和非隸屬度，從而更為靈活高效地度量不確定信息。關于IVFFS已有較多的研究成果，譬如Jeevaraj［5］提出了距離測度、相似測度和得分函數、精確函數等；Rani等人［6］在此基礎上提出了改進得分函數并驗證其有效性。集成算子在多屬性群決策過程中起到聚合專家群體評價值的作用，除了最常見的加權平均、幾何算子以外，Einstein算子［6］、Hamacher算子［7］、Frank算子［8］等也在逐步應用至IVFFS中。IVFFS常用的決策方法有TOPSIS［6］、COPRAS［9］等，但考慮決策者損失規避心理的TODIM方法鮮有研究。同時，現有文獻中TODIM模糊評價方法仍存在不足，學者主要將其應用于最終評價結果［10］，而忽略了聚合信息過程中決策者的心理行為，即結合集成算子的TODIM法有待深入探究。

在實際進行決策時，屬性間往往存在一定的聯系。譬如司法案件的執行時間長短會在一定程度上體現出其執行機制是否合理，也會影響到其法律效應和社會效應，而執行質量的結果也會從中有所凸顯。相反，案件的執行程序是否得當等諸多因素也會對執行時間有所影響。CRITIC法是以標準差和線性相關系數來衡量屬性間的差異和關聯［11］，諸多學者將該方法與改進得分函數［6］、距離相關性［12］、CODAS-SORT法［13］、TOPSIS法［14］等相融合，從而獲取影響決策的多維屬性權重。但屬性間的關聯不一定是線性關系，通常存在非線性關系?；疑P聯（GRA）的基本思想是以序列曲線幾何形狀的逼近程度來判斷其聯系是否緊密，若曲線越接近，相應的序列之間關聯度就越大，反之就越?。?5］?；谊P聯度能更加靈活地反映屬性間的非線性關系，進而得到屬性權重信息。張識宇等人［15］將CRITIC法和灰關聯度結合應用于精確數的評價環境中，獲取組合權重。然而，區間Fermatean模糊集灰關聯度的研究鮮有文獻發表。

若片面地由某位專家對司法案件進行主觀評價，這可能很難達成專家群體共識，因此采用專家群體智慧進行綜合評價的方法會顯得更加客觀可靠。而專家群體往往具備不同的決策能力，選擇合適的專家權重確定方法有利于完善多屬性群決策體系?，F階段基于區間Fermatean模糊環境的多屬性群決策中，學者往往直接根據專家影響力或專家間的信任程度［8］主觀賦予專家權重，鮮有學者對其進行深入探究，僅發現文獻［7］提出了一個專門用來確定專家權重的公式，以及文獻［16］基于前景理論獲得專家前景權重。但在其他模糊環境下，學者常根據客觀評價信息來確定專家權重，梁薇等人［17］在基本不確定區間猶豫模糊環境下，提出了基于可信度的專家權重確定方法；杜秀麗等人［18］將加權雙向投影法引入到區間直覺模糊環境中，通過專家與群體間的偏好相似度來確定專家權重；趙敬華等人［19］在畢達哥拉斯模糊環境中融合了信任網絡和偏好相似度，綜合主客觀因素以獲得專家權重，并將其應用到應急群決策中。

經上述文獻梳理可知，區間Fermatean模糊環境下的決策方法仍較少，還未涉及到考慮決策者損失規避心理行為的TODIM方法，且現階段TODIM方法缺少與集成算子的結合。同時現有研究成果主要集中在供應商的選擇、新能源汽車充電樁的選址、應急決策等領域，但對于司法案件評價背景下的多屬性群決策方法的研究較少。目前未見學者將GRA與CRITIC方法結合應用于區間Fermatean模糊環境中的屬性權重確定；且關于專家權重的研究還有待拓展。鑒于此，本文提出一種基于GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影的區間Fermatean模糊Hamacher-TODIM多屬性群決策方法，并將該方法應用于司法案件評價中。

1? 預備知識

定義1［3］? 設X為論域，則該論域上的Fermatean模糊集（FFS）可表示為

F={〈x，μF（x），νF（x）〉|x∈X}（1）

其中：X→［0，1］，x∈X；μF（x）∈［0，1］代表元素x屬于X的隸屬度；νF（x）∈［0，1］，代表元素x屬于X的非隸屬度，且對于任意x∈X，0<（μF（x））3+（νF（x））3≤1；猶豫度或不確定度πF（x）=31-（μF（x））3-（νF（x））3。

定義2［5］? 設X為論域，則該論域上區間Fermatean模糊集（IVFFS）可表示為

F={〈x，［μFL（x），μFU（x）］，［νFL（x），νFU（x）〉|x∈X}（2）

其中：X→Int［0，1］，x∈X；μF（x）=［μFL（x），μFU（x）］代表元素x屬于X的隸屬度；νF（x）=［νFL（x），νFU（x）］ 代表元素x屬于X的非隸屬度，且對于任意x∈X，0

定義3［5］? 若F=〈［μFL，μFU］，［νFL，νFU］〉，F1=〈［μF1L，μF1U］，［νF1L，νF1U］〉和F2=〈［μF2L，μF2U］，［νF2L，νF2U］〉為三個區間Fermatean模糊數，且λ>0 ，則有如下運算法則：

a） F1F2=［3μF1L3+μF2L3-μF1L3μF2L3，

3μF1U3+μF2U3-μF1U3μF2U3］，［νF1LνF2L，νF1UνF2U］；

b） F1F2=［μF1LμF2L，μF1UμF2U］，

［3νF1L3+νF2L3-νF1L3νF2L3，3νF1U3+νF2U3-νF1U3νF2U3］；

c） λF=［31-（1-μFL3）λ，31-（1-μFU3）λ］，［νFLλ，νFUλ］；

d） Fλ=［μFLλ，μFUλ］，［31-（1-νFL3）λ，31-（1-νFU3）λ］。

定義4［5］? 設F=〈［μFL，μFU］，［νFL，νFU］〉為區間Fermatean模糊數，則F的得分函數為

S（F）=12（（μFL）3+（μFU）3-（νFL）3-（νFU）3）∈［-1，1］（3）

式（3）是最常用的得分函數，但其未考慮猶豫度，在一些特殊情況下可能會失效，例如：對于兩個IVFFN，F1=（［30.25，30.3］，［30.35，30.5］），F2=（［30.15，30.4］，［30.25，30.6］）運用式（3）無法區別兩者大小，但其猶豫度顯然不同。因此，本文采用文獻［6］提出的區間Fermatean模糊改進得分函數（F） 。

定義5［6］? 設F=〈［μFL，μFU］，［νFL，νFU］〉為區間Fermatean模糊數，則F的得分函數為

（F）=12（（（μFL）3-（νFL）3）（1+πFU）+（（μFU）3-（νFU）3）（1+πFL））∈［-1，1］（4）

接上例，運用式（4）比較F1和F2，可以得到S（F1）=-0.245

定義6［5］? 設F1=〈［μF1L，μF1U］，［νF1L，νF1U］〉，F2=〈［μF2L，μF2U］，［νF2L，νF2U］〉為兩個區間Fermatean模糊數，則F1和F2的歐氏距離為

D（F1，F2）=16（μ3F1L-μ3F2L）2+（μ3F1U-μ3F2U）2+（ν3F1L-ν3F2L）2+

（ν3F1U-ν3F2U）2+（π3F1L-π3F2L）2+（π3F1U-π3F2U）2（5）

定理1［7］? 設Fi=〈［μFiL，μFiU］，［νFiL，νFiU］〉（i=1，2，…，n）為一組區間Fermatean模糊數，η>0，w=（w1，w2，…，wn）T是其權重向量，wi≥0，i=1，2，…，n，∑ni=1wi=1，則區間Fermatean模糊Hamacher加權平均算子，即

IVFFHWA（F1，F2，…，Fn）=⊕ni=1（wi·Fi）=

3ni=1（1+（η-1）·μFiL3）wi-ni=1（1-μFiL3）wini=1（1+（η-1）·μFiL3）wi+（η-1）ni=1（1-μFiL3）wi，

3ni=1（1+（η-1）·μFiU3）wi-ni=1（1-μFiU3）wini=1（1+（η-1）·μFiU3）wi+（η-1）ni=1（1-μFiU3）wi，

3ηni=1（vFiL）wi3ni=1（1+（η-1）（1-vFiL3））wi+（η-1）ni=1（vFiL）3wi，

3ηni=1（vFiU）wi3ni=1（1+（η-1）（1-vFiU3））wi+（η-1）ni=1（vFiU）3wi（6）

定理2［7］? 設Fi=〈［μFiL，μFiU］，［νFiL，νFiU］〉（i=1，2，…，n）為一組區間Fermatean模糊數，η>0，w=（w1，w2，…，wn）T是其權重向量，wi≥0，i=1，2，…，n；∑ni=1wi=1，則區間Fermatean模糊Hamacher加權幾何算子，即

IVFFHWG（F1，F2，…，Fn）=ni=1（Fi）wi=

3ηni=1（μFiL）wi3ni=1（1+（η-1）（1-μFiL3））wi+（η-1）ni=1（μFiL）3wi，

3ηni=1（μFiU）wi3ni=1（1+（η-1）（1-μFiU3））wi+（η-1）ni=1（μFiU）3wi，

3ni=1（1+（η-1）·νFiL3）wi-ni=1（1-νFiL3）wini=1（1+（η-1）·νFiL3）wi+（η-1）ni=1（1-νFiL3）wi，

3ni=1（1+（η-1）·νFiU3）wi-ni=1（1-νFiU3）wini=1（1+（η-1）·νFiU3）wi+（η-1）ni=1（1-νFiU3）wi（7）

2? GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影法的構建

對于一個屬性值為區間Fermatean模糊語言的多屬性群決策問題，設專家群體集合為E={e1，e2，…，ek}，被評價方案集合為A={A1，A2，…，Am}，評價指標集合為C={c1，c2，…，cn}。評價矩陣Xl =［xlij］m×n表示第l位專家對第i個評價方案的第j個指標的評價信息值（1≤l≤k，1≤i≤m，1≤j≤n）。

2.1? 基于GRA-GCRITIC的指標權重確定方法

在多屬性群決策過程中，各位專家對各評價方案下的各指標評價信息往往存在差異，且不同指標之間必然會存在一定的關聯。CRITIC法是一種兼顧評價指標信息差異和關聯的屬性賦權方法，但它存在一定的局限性。而灰色關聯能更靈活地反映指標間的非線性關系，可有效彌補CRITIC中線性相關系數的缺陷。本文參考文獻［15］，提出一種GRA-GCRITIC方法，該方法在CRITIC基礎上改線性相關系數為灰色綜合關聯度，能以系統的角度反映區間Fermatean模糊環境多屬性群決策問題中多維指標間的關聯性，同時依靠專家群體來確定指標綜合權重比單一獲取的指標權重更加客觀可靠。其主要步驟如下：

a）專家群體給出各自的評價信息。專家el根據自身經驗給出相應的區間Fermatean模糊初始評價矩陣Xl=［xlij］m×n，其中xlij=（［μFLijl，μFUijl］，［νFLijl，νFUijl］）。

Xl=xl11xl21…xl1n

xl21xl22…xl2n

xlm1xlm2…xlmnm×n

b）規范化評價矩陣。為了消除成本型和效益型指標之間的差異，通過規范化各評價指標，得到規范化評價矩陣l=［lij］m×n，其中

l ij =（［lFLij，lFUij］，［lFLij，lFUij］）=

（μFLijl，μFUijl］，［νFLijl，νFUijl］）cj屬于效益型指標

（［νFLijl，νFUijl］，μFLijl，[μFUijl］）cj屬于成本型指標（8）

c）計算得分函數矩陣。根據改進得分函數式（4），將規范化評價矩陣l=［ijl］m×n轉換為得分函數矩陣l=［lij］m×n。

d）根據得分函數矩陣，計算指標的標準差，以衡量指標間的縱向差異性。

σlj=∑mi=1（lij-lj）2m（9）

其中：lj=∑mi=1lij/m。

e）根據得分函數矩陣，計算各指標的灰色最優關聯度rljmax、最劣關聯度rljmin及綜合關聯度Rlj，以衡量指標間的橫向相似性。

rlj max=1m∑mi=1mini minj|l+j-lij|+ζ maxi maxj|l+j-lij||l+j-lij|+ζ maxi maxj|l+j-lij|（10）

rlj min=1m∑mi=1mini minj|lij-l-j|+ζ maxi maxj|lij-l-j||lij-l-j|+ζ maxi maxj|lij -l-j|（11）

Rlj=1（1+rlj minrlj max）（12）

其中：jl+=maxmi=1 ijl，jl-=minmi=1ijl；ζ是分辨系數，ζ∈［0，1］，一般取ζ=0.5。

f） 計算各專家對不同指標的優先級權重：

Zlj=σlj×Rlj（13）

進行歸一化處理得到各專家對不同指標的權重值：

wlj=Zlj/∑nj=1Zlj（14）

其中：wlj∈（0，1），且∑nj=1wlj=1。

g） 計算專家群體的指標綜合權重：

Wj=∑kl=1wlj×wel（15）

其中：wel表示第l位專家的最終權重，將在2.2節中詳細闡述。Wj∈（0，1），且∑nj=1Wj=1。

2.2? 結合信任關系的改進加權雙向投影法的專家權重確定

在實際決策過程中，確定合理的專家權重對評價結果的準確性和公正性至關重要。專家權重的確定需要綜合考慮多方面因素，包括專家的經驗水平、專業背景、專家間的信任關系等主觀因素，以及個人評價信息與群體綜合評價信息間的相似度等客觀因素。

2.2.1? 專家初始權重的構建

為了準確度量專家個體在決策過程中的影響力，可以根據專家間的信任關系來確定其初始權重。專家通常采用“非常信任”“較信任”“一般信任”等語言術語表達對他人的信任程度，故本文結合語言術語來表示專家間的信任關系。

定義7［20］? 專家es對eh的信任關系可以用語言術語lshα（α=-τ，-τ+1，…，0，…，τ-1，τ）表示，如表1所示。

其中：lshα代表專家es對eh 的信任關系用語言術語lα表示時的下標α（s，h∈k，s≠h）。參照文獻［8］，將語言術語定量化，專家es對eh的信任程度如下所示。

tsh=lshα+τ2τ（16）

根據信任程度可進一步獲得專家eh的初始權重：

Eeh=∑ks=1，s≠htsh/∑kh=1? ∑ks=1，s≠htsh（17）

其中：Eeh∈（0，1），且∑kh=1Eeh=1。

2.2.2? 利用改進加權雙向投影法求取專家最終權重

鑒于區間Fermatean模糊評價信息之間相似測度的局限性，本文參考文獻［18］提出的改進加權雙向投影方法，將每位專家的評價矩陣和聚合后的綜合評價矩陣劃分成隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣，由這兩種矩陣分別得到雙向投影值，并將其加權融合求出專家個體與群體間的相似度，從而求取專家最終權重。其主要步驟如下：

a） 專家聚合評價信息。根據Hamacher算子式（6）（7）以及專家初始權重Eel聚合各專家的初始規范化評價矩陣，從而獲得初始綜合評價矩陣=［ij］m×n，其中ij=（［FLij，FUij］，［FLij，FUij］）。

b） 劃分得到隸屬度矩陣及非隸屬度矩陣。根據隸屬度及非隸屬度對各專家的初始規范化評價矩陣Xl=［xijl］m×n和初始綜合評價矩陣=［ij］m×n進行劃分，可以得到專家el評價信息的隸屬度矩陣Pl =（μlFij）m×n=（［μlFLij，μlFUij］）m×n、非隸屬度矩陣Ql =（νlFij）m×n=（［νlFLij，νlFUij］）m×n；初始綜合評價信息的隸屬度矩陣=（Fij）m×n=（［FLij，FUij］）m×n、非隸屬度矩陣=（Fij）m×n=（［FLij，FUij］）m×n。

c）計算加權雙向投影值?？紤]到不同指標的權重wlj對矩陣相似性的影響，在步驟b） 基礎之上，求得專家el評價信息和初始綜合評價信息的隸屬度矩陣、非隸屬度矩陣的加權雙向投影值。以隸屬度矩陣為例：

WBP（Pl，）=11+|Plw‖Plw‖-Plw‖w‖|（18）

其中：

‖Plw‖=∑mi=1∑nj=1（wlj）2（（μFLijl）2+（μFUijl）2）（19）

‖w‖=∑mi=1∑nj=1（wlj）2（2FLij+2FUij）（20）

Pl w=∑mi=1? ∑nj=1（wlj）2μlFijFij=∑mi=1? ∑nj=1（wlj）2（μlFLijFLij+μlFUijFUij）（21）

同理，可求得WBP（Ql，Q^），不再贅述。

d） 計算專家el與群體相似度。

Dl（φ）=φWBP（Pl，）+（1-φ）WBP（Ql，Q^）（22）

其中：φ為隸屬度和非隸屬度偏好系數，φ∈［0，1］。

e） 求取專家最終權重。專家與群體的相似度越大，則該專家被賦予較大權重。反之，該專家被賦予較小權重。

wel=Dl（φ）∑kl=1Dl（φ）（23）

其中：wel∈（0，1），且∑kl=1wel=1。

3? 基于GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影的Hamacher-TODIM群決策模型

為了更好地處理評價信息的模糊性和復雜性，本文在區間Fermatean模糊環境中引入了GRA-GCRITIC方法求取各專家對不同指標的權重wlj，在由信任關系得到的專家初始權重Eel基礎上改進加權雙向投影法，進一步求得專家最終權重wel；同時考慮到專家的損失規避心理行為，將結合了Hamacher算子的TODIM方法應用于區間Fermatean模糊多屬性群決策問題中。具體步驟如下：

a）根據改進得分函數將各專家給出的評價矩陣轉換成得分函數矩陣Sl=［sijl］m×n，計算各指標的標準差σlj和灰色綜合關聯度Rlj，從而求得各專家對不同指標的權重值wlj。

b）通過信任關系得到專家初始權重Eel后，采用Hamacher算子進行聚合獲得初始綜合評價矩陣；在專家el評價信息和初始綜合評價信息的隸屬度矩陣Pl =（μlFij）m×n、=（Fij）m×n，非隸屬度矩陣Ql =（νlFij）m×n、=（Fij）m×n基礎之上，計算加權雙向投影值WBP（Pl，）、WBP（Ql，），進而求出專家el與群體相似度Dl（φ），確定專家最終權重wel。

c）求得專家最終權重wel后，再次利用Hamacher算子進行聚合獲得最終綜合評價矩陣′=［′ij］m×n，其中′ij=（［′FLij，′FUij］，［′FLij，′FUij］）。

d）根據式（15）確定專家群體的指標綜合權重，并進一步計算各指標的相對權重：

Wjr=Wj/Wr（24）

其中：Wr=maxnj=1 Wj。

e） 計算指標Cj下，方案As相較于方案At的優勢度：

Φj（As，At）=wjr∑nj=1wjrD（′sj，′tj）′sj′tj

0′sj～′tj

-1θ∑nj=1wjrwjrD（′sj，′tj）′sj′tj（25）

其中：D（′sj，′tj）表示IVFFN間的距離，可由式（5）計算得到；θ表示專家面對損失時的風險因子，且θ>0（1≤s≤m，1≤t≤m，s≠t）。

f） 計算方案As相較于其他方案的總體優勢度，其他方案相較于方案As的總體優勢度以及方案As的綜合優勢度：

Ω+（As，At）=∑mt=1∑nj=1Φj（As，At）（26）

Ω-（At，As）=∑mt=1∑nj=1Φj（At，As）（27）

Ω（As）=Ω+（As，At）-Ω-（At，As）（28）

g） 對方案的綜合優勢度進行排序，得到最佳和最劣方案。

4? 算例分析

由于司法案件的復雜性和不確定性，司法機關在短時間內很難對其作出準確的判斷。通過對司法案件進行科學評價，挑選出典型案件，進而可以通過媒體等渠道進行宣傳，提高法律的知名度和公信力，推動社會法制化進程。同時，這些典型案件可以作為其他司法機關學習和參考的案例，有助于提高司法機關的執行效率和質量，推動司法工作的規范化、專業化和現代化。此外，評選典型案件有利于發現執行過程中存在的問題和不足，為推進司法改革和創新提供借鑒價值，有助于建立更加完善和先進的司法制度和執行機制。因此，構建科學合理的司法案件評價方法，是司法機關提高執行能力和水平的重要手段，也是促進司法公正、推動社會發展進步的力量源泉。

現邀請五位司法領域專業人士E={e1，e2，e3，e4，e5} 參考一系列典型司法案件歸納出最為重要的五項指標C={C1，C2，C3，C4，C5}，如表2所示，并對五個備選司法案件A={A1，A2，A3，A4，A5}進行評價，專家以區間Fermatean模糊數的形式給出相應的評價信息。下面利用基于GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影法的Hamacher-TODIM群決策方法來評出最具代表性的司法案件。

4.1? 基于GRA-GCRITIC方法的指標權重

五位專家分別對五個備選案件的五項指標進行評價，得到區間Fermatean模糊初始評價矩陣Xl=［xlij］m×n，并根據式（8）將其規范化，得到規范化評價矩陣Xl=［xijl］m×n，如表3所示。利用改進得分函數式（4），將規范化評價矩陣轉換成得分函數矩陣Sl=［sijl］m×n；再根據式（9）～（12）求得各專家關于指標間的標準差σlj和灰色綜合關聯度Rlj，如表4、5所示。通過式（13）（14）求得各專家對不同指標的權重值wlj，如表6所示。

對表6進行分析，發現專家e1、e2、e4、e5均認為指標C5（案件的執行質量）相對最重要，專家e3也將指標C5認定為次重要指標，可見其影響程度相對較高。專家e2、e3、e5均認為指標C1（案件的執行時間）相對最不重要，專家e1也將指標C1認定為次不重要指標，說明該指標在整體中的影響程度相對較低。

4.2? 結合信任關系的改進加權雙向投影法的專家權重

具有不同經驗、知識水平的專家以語言數形式表達自己對其他專家的信任關系，獲得專家群體的信任關系矩陣，如表7所示。參照文獻［8］，取τ=4。通過式（16）可將信任關系轉換為信任程度，并進一步利用式（17）得到專家初始權重Eel=（0.165，0.212，0.153，0.200，0.271）。

獲得專家初始權重后，利用IVFFHWA算子式（6）對各專家的初始規范化評價矩陣（表3）進行聚合，得到初始綜合評價矩陣，如表8所示。為保證數據客觀性，取η=1。在此基礎上，根據式（18）～（21）可得專家個體評價信息與綜合評價信息的隸屬度矩陣、非隸屬度矩陣之間的加權雙向投影值WBP（Pl，）、WBP（Ql，），并通過式（22）得到專家el與群體相似度Dl（φ），如表9所示。為保證權重的合理性，取偏好系數φ=0.5。最后，利用式（23）可以求得專家最終權重wel=（0.201，0.203，0.185，0.200，0.210）。這說明第五位專家在司法案件評選中的評價最為重要，不僅僅是因為其在專業領域的影響力，更是因為其在司法案件的評選中始終能與群體中其他專家達成共識。

4.3? Hamacher-TODIM決策方法

根據已得專家最終權重wel，再次利用IVFFHWA算子式（6）對初始規范化評價矩陣（表3）進行聚合，得到最終綜合評價矩陣，如表10所示。同時，利用式（15）可得到專家群體的指標綜合權重Wj=（0.147，0.182，0.197，0.203，0.272），進一步通過式（24） 可求得指標相對權重。

獲得指標相對權重后，利用式（4）（5）（25）～（28）可以計算出備選司法案件的優勢度、總體優勢度及綜合優勢度，如表11所示。不失一般性，取θ=2.25。根據綜合優勢度對備選司法案件進行降序排列，得出A5A3A2A1A4，即第五個司法案件最具有代表性和權威性，而第四個司法案件的評價結果最劣。

為進一步加深對司法案件“執行難”的認識，對以上五個備選司法案件的綜合評價結果進行分析。第五個司法案件在各項指標下的執行均較好，但對于“執行機制”這一指標層面需要加強，其面對復雜或特殊情況時的執行能力需進一步提升；第三個司法案件要提高創新意識和執行質量，在面對難辦案件時，創新意識尤為重要，所以在執行機制方面須及時進行改革創新以促進案件的順利執行；第二個司法案件產生的輿論易對社會行為和公共秩序產生影響，所以要及時作出執行措施，以改善社會效果；第一個案件中的司法部門按照已有法律規定處理該案件時所產生的法律效應不佳，需及時審查核實案件證據是否全面、應用法律是否準確、法律文書是否規范等；第四個司法案件雖在“執行質量”這一指標表現尚可，但在其余四項指標下均表現不佳，由于各項指標的綜合權重相差不大，故該案件綜合評價最劣。

5? 對比分析

5.1? Hamacher集成算子和TODIM方法分析

Hamacher算子［21］是一種靈活、可解釋的模糊集合集成算子，它可以將不同的模糊信息聚合為更全面準確的信息，同時它的調節因子可以根據不同的決策背景來調整聚合程度，為高效決策提供了更大的發展空間。利用文獻［7］基于區間Fermatean模糊Hamacher集成算子的方法對上述問題直接進行求解，如表12所示，可以發現基于IVFFHWA算子和IVFFHWG算子得到的排序結果最優方案均是A5，最劣方案均是A4，這說明Hamacher集成算子具有一定的魯棒性，能夠在一定程度上減小隨機誤差等對聚合結果的影響，使得決策結果更加實用可靠。

在傳統的TODIM方法中，決策者的損失規避心理行為是重要考慮因素，它通常結合普通的算子求取各方案的綜合優勢度并對其進行排序。但是當兩個模糊集合的交集為空集時，普通的算子可能無法處理這種情況?？紤]到司法案件的群決策問題涉及到廣泛的決策背景和諸多社會因素，指標屬性值存在較大不確定性，僅靠普通的集成算子聚合會出現不合理的結果。本文Hamacher-TODIM決策方法不僅利用良好算子進行信息集成，提高了決策效率，而且充分考慮決策者的損失規避心理特征，具有一定的準確性和可靠性，這對于復雜的司法案件決策來說具有重要意義。

5.2? 前景理論和改進得分函數分析

為了凸顯本文基于GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影的Hamacher-TODIM決策方法的合理性和有效性，使用文獻［16］基于前景理論的區間Fermatean模糊環境對上述問題進行求解，得到的排序結果為A5A3A2A1A4 ，總體排序與本文一致。在利用前景理論計算備選司法案件的前景值時，首先需要設定前景參照點，且參照點的設定存在主觀誤差，而TODIM方法是在前景理論基礎上提出來的［22］，無須選取參照點，這也說明了TODIM方法具有一定的優越性。

使用文獻［5］的得分函數和區間Fermatean模糊加權Hamacher算子對上述問題進行求解，可以發現其得分函數的總體排序與本文的改進得分函數基本完全一致，如圖1所示，但文獻［5］的得分函數未考慮猶豫度，使得在求解過程中一些備選司法案件間的得分函數過于接近，從而導致選擇失效，這說明改進得分函數可以明顯區分出最優最劣司法案件，具有較高的準確性。

5.3? 靈敏性分析

在改進加權雙向投影法的構建中，為了了解隸屬度和非隸屬度偏好系數φ對方案排序產生的影響，對其進行敏感性分析。φ∈［0，1］時，備選司法案件的綜合優勢度如圖2所示，可見無論隸屬度和非隸屬度偏好系數的取值如何變化，對最終排序無影響。 φ=0 時專家完全根據非隸屬度相似度取得專家最終權重；φ=1時專家完全根據隸屬度相似度取得專家最終權重，這也說明了該方法具有穩定性。

在基于區間Fermatean模糊加權Hamacher算子的TODIM方法決策過程中，風險因子θ可以反映專家的損失規避心理行為，故對其進行靈敏性分析。取θ∈［0.25，2.25］，研究其對備選司法案件的綜合優勢度及排序的影響，如圖3所示，可見風險因子θ的取值不會對最終排序造成影響。但當風險因子θ=0.25時，各司法案件綜合優勢度的區分度極大，專家受損失的影響相對最大；反之，當風險因子θ=2.25時，各司法案件綜合優勢度的區分度最小，專家受損失的影響也相對最小。隨著θ的增大，司法案件的最劣綜合優勢度呈上升趨勢，最優綜合優勢度呈下降趨勢。

6? 結束語

針對司法案件“執行難”決策背景，利用區間Fermatean模糊環境對其進行研究，本文提出了基于GRA-GCRITIC和改進加權雙向投影的Hamacher-TODIM決策方法，所提方法創新點如下：

a）區間Fermatean模糊環境可以更全面地涵蓋不確定性信息，同時提高了專家個體表達方式及偏好的靈活性。

b）提出GRA-GCRITIC方法分別確定各位專家對各評價方案下各指標的權重，并結合專家權重獲得指標綜合權重比單一獲取的指標權重更加客觀可靠。

c）針對群決策中專家權重未知，在信任關系基礎上提出改進加權雙向投影法得到專家最終權重，全面反映出專家群體的主客觀因素，提高了群決策的評價效率。

d）Hamacher算子和TODIM方法分別考慮了指標屬性值的靈活多樣性和專家群體的損失規避心理行為，將兩者有效融合能使決策結果更切合實際。

最后通過專家群體評價備選司法案件驗證了該決策方法的可行性和穩定性，為區間Fermatean模糊多屬性群決策問題開拓新思路。且TODIM方法結合了良好集成算子的靈活性和魯棒性，對于司法領域決策問題具有一定的實踐意義。

由于現實環境的不確定性和社會性，專家群體間、指標屬性間的相互關系錯綜復雜，而復雜網絡中的不同網絡屬性從不同角度描述了不同節點的重要性［23］，所以下一步的研究方向是將復雜網絡融入到該決策方法中，從而獲取專家權重和屬性權重信息。同時考慮到評價信息的多樣性，僅靠區間Fermatean模糊數來進行評價存在不足，故可以將其與概率語言環境進一步融合。

參考文獻：

［1］何士青，趙佳敏.隱蔽區隔：基于網絡司法輿情的考辯［J］.情報雜志，2019，38（6）：102-109，94.（He Shiqing，Zhao Jiaming.Concealed interval：based on Internet justice of public opinion［J］.Journal of Intelligence，2019，38（6）：102-109，94.）

［2］王新雷，秦文豪.涉人工智能案件的審判難點及應對思路—基于對220件司法裁判結果的實證研究［J］.北京航空航天大學學報：社會科學版，2023，36（6）：45-56.（Wang Xinlei，Qin Wenhao.Trial difficulties and countermeasures of cases involving artificial intelligence：an empirical study based on the results of 220 judicial decisions［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics：Social Sciences Edition，2023，36（6）：45-56.）

［3］白梅.民間借貸案件執行難問題的解決對策［J］.人民論壇，2021，705（14）：87-89.（Bai Mei.Solutions to the difficulty in executing private loan cases［J］.Peoples Tribune，2021，705（14）：87-89.）

［4］Senapati T，Yager R R.Fermatean fuzzy weighted averaging/geometric operators and its application in multi-criteria decision-making methods［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2019，85：112-121.

［5］Jeevaraj S.Ordering of interval-valued Fermatean fuzzy sets and its applications［J］.Expert Systems with Applications，2021，185：article ID 115613.

［6］Rani P，Mishra A R，Deveci M，et al.New complex proportional assessment approach using Einstein aggregation operators and improved score function for interval-valued Fermatean fuzzy sets［J］.Compu-ters & Industrial Engineering，2022，169：article ID 108165.

［7］Deveci M，Gokasar I，Mishra A R，et al.Evaluation of climate change-resilient transportation alternatives using fuzzy Hamacher aggregation operators based group decision-making model［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2023，119：article ID 105824.

［8］曾守楨，顧佳星，葉軍.復雜信任網絡群組綜合評價方法及應用研究［J］.商業經濟與管理，2022，42（11）：84-100.（Zeng Shouzhen，Gu Jiaxing，Ye Jun.Research on group comprehensive evaluation method of complex trust network and its application［J］.Journal of Business Economics，2022，42（11）：84-100.）

［9］Mishra A R，Liu Peide，Rani P.COPRAS method based on interval-valued hesitant Fermatean fuzzy sets and its application in selecting desalination technology［J］.Applied Soft Computing，2022，119：article ID 108570.

［10］Tian Xiaoli，Li Wanqing，Liu Li，et al.Development of TODIM with different types of fuzzy sets：a state-of the-art survey［J］.Applied Soft Computing，2021，111：article ID 107661.

［11］Mishra A R，Chen Shiming，Rani P.Multicriteria decision making based on novel score function of Fermatean fuzzy numbers，the CRITIC method，and the GLDS method［J］.Information Sciences，2023，623：915-931.

［12］Sharkasi N，Rezakhah S.A modified CRITIC with a reference point based on fuzzy logic and hamming distance［J］.Knowledge-Based Systems，2022，255：article ID 109768.

［13］Aro J L，Selerio E，Evangelista S S，et al.Fermatean fuzzy CRITIC-CODAS-SORT for characterizing the challenges of circular public sector supply chains［J］.Operations Research Perspectives，2022，9：article ID 100246.

［14］Saxena P，Kumar V，Ram M.A novel CRITIC-TOPSIS approach for optimal selection of software reliability growth model（SRGM）［J］.Quality and Reliability Engineering International，2022，38（5）：2501-2520.

［15］張識宇，楊凱悅，劉書龍.基于改進CRITIC權重法的民營科技孵化器績效組合評價方法［J］.科技管理研究，2022，42（17）：57-64.（Zhang Shiyu，Yang Kaiyue，Liu Shulong.Combination evaluation on private technology incubator performance based on refined CRITIC［J］.Science and Technology Management Research，2022，42（17）：57-64.）

［16］羅世華，劉俊.拓展區間Fermatean模糊前景理論綜合評價方法［J/OL］.中國管理科學.（2023-04-11）［2023-07-25］.https：//doi.org/10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2022.0663.（Luo Shihua，Liu Jun.A comprehensive evaluation method based on extended interval-valued Fermatean fuzzy prospect theory［J/OL］.Chinese Journal of Management Science.（2023-04-11）［2023-07-25］.https：//doi.org/10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2022.0663.）

［17］梁薇，王應明.基于可信度的基本不確定區間猶豫模糊廣義TODIM應急群決策方法［J］.控制與決策，2023，38（7）：1988-1996.（Liang Wei，Wang Yingming.Generalized TODIM emergency group decision making method for basic uncertain information interval-valued hesitant fuzzy set based on reliability degree［J］.Control and Decision，2023，38（7）：1988-1996.）

［18］杜秀麗，聶彥剛，呂亞娜，等.基于加權雙向投影的決策專家權重確定方法［J］.控制工程，2023，30（1）：83-89.（Du Xiuli，Nie Yangang，Lyu Yana，et al.A method to determine weight of decision experts based on weighted bidirectional projection［J］.Control Engineering of China，2023，30（1）：83-89.）

［19］趙敬華，榮海迎，呂錫婷，等.基于DEMATEL和信任網絡的畢達哥拉斯模糊多屬性應急決策方法［J］.計算機應用研究，2023，40（1）：165-171.（Zhao Jinghua，Rong Haiying，Lyu Xiting，et al.Pythagorean fuzzy multi-attribute emergency decision-making method based on DEMATEL and trust network［J］.Application Research of Computers，2023，40（1）：165-171.）

［20］王偉明，徐海燕，朱建軍.基于復雜網絡和語言信息的交互式大規模群體評價方法［J］.中國管理科學，2022，30（11）：260-271.（Wang Weiming，Xu Haiyan，Zhu Jianjun.Interactive large-scale group evaluation method based on complex network and linguistic information［J］.Chinese Journal of Management Science，2022，30（11）：260-271.）

［21］劉衛鋒，常娟，何霞.畢達哥拉斯模糊Hamacher集成算子及其決策應用［J］.系統工程理論與實踐，2018，38（6）：1566-1574.（Liu Weifeng，Chang Juan，He Xia.Pythagorean fuzzy Hamacher aggregation operators and its application to decision making［J］.Systems Engineering-Theory & Practice，2018，38（6）：1566-1574.）

［22］Tian Xiaoli，Ma Jiangshui，Li Liu，et al.Development of prospect theory in decision making with different types of fuzzy sets：a state-of-the-art literature review［J］.Information Sciences，2022，615：504-528.

［23］趙敬華，張艷，張維，等.基于異質信息的被執行人的評估決策問題研究［J］.控制與決策，2023，38（12）：3562-3570.（Zhao Jinghua，Zhang Yan，Zhang Wei，et al.The evaluation decision method of the person subjected to execution with heterogeneous information［J］.Control and Decision，2023，38（12）：3562-3570.）