粒徑計算方法對細觀混凝土數值建模的影響

朱天宇， 陳忠輝， 張令非， 年庚乾

（中國礦業大學（北京） 力學與建筑工程學院，北京 100083）

骨料的大小和形狀等形態特征是影響混凝土強度和變形的重要參數［1?3］.室內試驗通常采用具有不同開孔大小的方孔篩測量骨料尺寸分布［4］，該篩分法測得的粒徑主要與骨料的中間尺寸軸有關，且受骨料形狀的影響［5］.

作為室內試驗的補充，細觀混凝土數值分析已成為研究混凝土中骨料力學特性的常用方法［3，6?7］.細觀混凝土數值建模需要確定骨料的粒徑和級配信息.當生成的骨料在粒徑和級配上越接近真實混凝土中的骨料時，數值分析計算結果就越能反映混凝土的力學性能［8］.因此，有效表征骨料粒徑對于開展細觀混凝土數值研究至關重要.在三維混凝土數值建模時，等體積球（EVS）法常被用來計算骨料粒徑［9?11］，該方法是將骨料粒徑等效為與骨料具有相同體積的球的直徑［9］.對于類球狀骨料，這種簡化計算方法是可行的；而對于形狀不規則的骨料，如扁平狀或細長狀骨料，若仍采用EVS法計算骨料粒徑，則可能帶來一定誤差，進而影響細觀骨料的宏觀力學響應.為得到與混凝土中真實粒徑更為相近的骨料，有必要采取更加有效的粒徑計算方法.

事實上，實驗室內使用方孔篩確定骨料級配時，骨料粒徑一般是根據它剛好通過的篩孔尺寸確定的［12］.換言之，篩孔尺寸衡量的是骨料顆粒的中間軸尺寸，而非平均直徑.Cepuritis等［13］和Ueno等［14］指出，骨料顆粒的中間軸尺寸與標準篩分法估計的骨料粒徑最為匹配.在數值建模中，最小包圍盒（MBB）法常被用來確定骨料的三維尺寸［15?18］.最小包圍盒是一個可以包含被分析對象且具有“最小”體積的有界包圍盒［17］，其3個相互垂直的邊分別代表被測顆粒的三維尺寸.研究證明，最小邊界盒的三維尺寸可以最大程度地表征骨料的真實三維尺寸［16］.因此，細觀混凝土數值建模中，將骨料對應的最小包圍盒的中間軸尺寸定義為骨料的等效直徑似乎是一種更為合理的選擇.與此同時，在進行細觀混凝土數值建模時，大多數研究只關注給定級配段內骨料的體積分數是否達到理論值，而忽略了粒徑計算方法對骨料本身尺寸參數的影響，導致粒徑計算方法對細觀混凝土內部結構的影響也被忽視［3，6，19］.

鑒于此，本文首先借助三維激光掃描獲得三維骨料的真實形態，基于球諧逆變換法生成大量不同形態的三維數字化骨料；其次，采用EVS法和MBB法分別計算4種形狀類型（球狀、片狀、盤狀和棒狀）骨料的粒徑，分析這2種計算方法得到的粒徑之間的差異性，建立了能夠預測骨料粒徑離散系數均值和離散度的模型；最后，研究了粒徑計算方法對細觀混凝土內部結構的影響.

1 材料與方法

1.1 骨料庫生成

圖1為三維骨料模型生成流程.隨機選取60塊大小不同、形態各異的碎石骨料，用水清洗表面后晾干；采用FreeScan UE11高精度三維激光掃描儀掃描上述顆粒，獲得三維骨料模型（圖1（a））.已有研究［20?21］表明，球諧函數可以構建自然界中任意形態的顆粒，為建立骨料形態更加多樣化且數量龐大的骨料庫，本文基于上述三維激光掃描獲得的骨料模型，采用球諧逆變換法生成新的骨料模型［21］.該方法先對三維骨料的空間坐標進行球諧表達，得到骨料顆粒的球諧系數；再對骨料的球諧系數進行變異化處理，從而達到改變骨料形態的目的.圖1（b）顯示，采用球諧逆變換法生成的新骨料形態與原骨料存在較大差異，保證了本研究骨料形態的隨機性和多樣性.

1.2 骨料粒徑測量

采用EVS法和MBB法計算骨料粒徑的示意圖見圖2.采用EVS法計算骨料粒徑時，將與骨料具有相同體積的球的直徑R確定為粒徑，記為DEVS.采用MBB法確定骨料粒徑時，先用Blott等［15］提出的算法求解骨料的最小包圍盒，該算法已在不同文獻中得到驗證［16?18］；再確定骨料的最小邊界盒的三維尺寸（長軸尺寸L、中間軸尺寸I和短軸尺寸S，L＞I＞S）后，將最小包圍盒的中間軸尺寸I定義為骨料粒徑，記為DMBB.

圖2 采用EVS法和MBB法計算骨料粒徑的示意圖Fig.2 Schematic diagram of using EVS method and MBB method to calculate aggregate particle size

2 粒徑計算方法對骨料粒徑統計分析的影響

為研究采用EVS法和MBB法測量的骨料粒徑之間的相互關系，隨機生成10組骨料，每組5 000個.由于骨料粒徑受其形狀類型的影響，因此在粒徑測量之前，需要對骨料進行分類.根據表1中Zingg［22］提出的雙參量法，即伸長度（α=I/L）與扁平度（β=S/I），將骨料分為4種形狀類型，如圖3所示.需要說明的是，由于骨料是隨機生成的，同一組內不同形態骨料的數量并非均等，本試驗每種形態的骨料數均超過1 000個，保證了后續分析結果不失一般性.

表1 Zingg 雙變量法分類Table 1 Zingg’s bivariate classification

圖3 4種形狀類型骨料形態及其分布Fig.3 Morphology and distribution of four shape types of aggregates

2.1 不同形狀類型骨料的2種粒徑之間的關系

采用EVS法和MBB法分別測量10組不同形狀類型骨料的粒徑.選取其中1組骨料數據繪制粒徑散點圖，并通過線性擬合，初步建立2種粒徑之間的線性關系，如圖4所示.由圖4可見：對于球狀、片狀和盤狀骨料，數據點位于1∶1線下方的占比分別為65%、72%和98%；棒狀骨料中只有8%的數據位于1∶1線下方.這說明相比MBB法，EVS法低估了球狀、片狀和盤狀骨料的粒徑，且低估的骨料數占比依次增高；EVS法高估了棒狀骨料的粒徑.其他9組骨料也表現出類似趨勢.

圖4 2種粒徑的散點圖Fig.4 Scatter plots of two kinds of particle sizes

為分析同一形狀類型骨料2種粒徑的數字特征，引入粒徑離散系數λ，其計算式為：

研究表明，碎石骨料的形態特征大多服從正態分布［23］.4種形狀類型骨料的λ的概率密度分布如圖5所示.通過非線性擬合發現4種形狀類型骨料的λ均服從正態分布.λ的概率密度f（λ）計算式為：

圖5 4種形狀類型骨料的λ的概率密度分布Fig.5 Probability density distribution of λ of four shape types of aggregates

式中：μ為數學期望；σ為標準差.

表2給出了10組骨料的λ的數學期望均值μˉ和標準差均值σˉ.由表2可見：盤狀、片狀和球狀骨料的μˉ分別為0.836、0.936和0.979，均小于1；棒狀骨料的μˉ為1.143，大于1.這表明EVS法低估了盤狀、片狀和球狀骨料的粒徑，高估了棒狀骨料的粒徑.通過比較EVS法和MBB法計算骨料粒徑的原理，可以解釋其種粒徑差異性來源——EVS法是基于與顆粒具有相同體積的球的直徑確定顆粒粒徑的，采用其測量顆粒粒徑時，只考慮了顆粒體積，而忽略了顆粒形態，特別是顆粒的三維尺寸；MBB法是通過求解能夠完全包圍顆粒且體積最小的包圍盒來測量顆粒三維尺寸，進而確定其粒徑的，當顆粒形態發生變化時，最小包圍盒的三維尺寸也會隨之變化，顯然更加符合實驗室內采用篩分法或游標卡尺測量骨料尺寸的結果.

表2 λ的數學期望均值與標準差均值Table 2 Mean values of mathematical expectation and standard deviation of λ

2.2 等效粒徑關系預測

雖然圖4通過線性擬合初步建立了4種形狀類型骨料的2種粒徑之間的線性關系，但是并不能反映粒徑的分布情況.為此，本文結合“3σ”定律［24］，利用λ的數學期望μ和標準差σ建立具有99.7%可靠度的預測模型，如式（3）所示.

式中：α為可靠度系數，取為3.

將表1中的μˉ和σˉ代入式（3）中，得到4種形狀類型骨料的2種粒徑之間的關系式，如式（4）～（7）所示.

圖6為4種形狀類型骨料的2種粒徑預測曲線與實測值對比.由圖6可見，線性擬合確定的λ與正態分布確定的λ十分接近，兩者相對誤差在5%以內.式（4）～（7）建立的預測曲線不僅預測了不同形狀類型骨料的2種粒徑之比的均值，而且將粒徑散點圖中99%以內的數據點全部包含在由式（4）～（7）預測的上下界線范圍內，這是線性擬合所不能及的.因此，式（4）～（7）的預測結果要遠遠優于線性擬合結果.上述分析充分驗證了本文提出的骨料粒徑預測模型的合理性和適用性.

圖6 4種形狀類型骨料的2種粒徑預測曲線與實測值對比Fig.6 Comparison between predicted curve results and measured values of four shape types of aggregates

2.3 粒徑計算方法對骨料粒徑累計分布的影響

圖7為4種形狀類型骨料的2種粒徑累計分布曲線.由圖7可見：（1）對于盤狀和片狀骨料，基于MBB法統計的骨料粒徑累計分布曲線整體上低于EVS法統計的骨料粒徑累計分布曲線且分布范圍更大.這表明，與MBB法相比，采用EVS法測量盤狀和片狀骨料粒徑時，其值會偏小且粒徑分布范圍更窄；球狀骨料的累計分布曲線幾乎不受粒徑計算方法的影響.（2）盤狀、片狀和球狀骨料的2種粒徑累計分布曲線之間的偏差隨著粒徑的增大而減小，表明采用EVS法測量上述3種形狀類型骨料時，粒徑被低估的占比依次減小.（3）對于棒狀骨料，采用EVS法測量的骨料粒徑累計分布曲線整體位于MBB法測量的骨料粒徑累計分布曲線下方.這表明，與MBB法相比，采用EVS法得到的棒狀骨料粒徑更大且粒徑分布范圍更寬.這再次驗證了2.1的分析結果，同時也表明骨料粒徑表現出測量技術所定義的特性，當粒徑測量方法不同時，得到的骨料粒徑累計分布可能存在一定差異性.

圖7 4種形狀類型骨料的2種粒徑累積分布曲線對比Fig.7 Comparison of cumulative distribution curves of two particle sizes of four shape types of aggregates

3 粒徑計算方法對混凝土細觀結構的影響

圖8為4種形狀類型單位骨料的體積和表面積.由圖8可見：對于盤狀、片狀和球狀骨料，按DEVS縮放后得到的骨料體積VEVS和表面積SEVS明顯大于按DMBB縮放后得到的骨料體積VMBB和表面積SMBB；棒狀骨料則表現出相反結果.在細觀混凝土數值建模時，對于同一個骨料，采用2種粒徑計算方法得到的粒徑有所差異，勢必影響細觀混凝土的內部結構.

圖8 4種形狀類型單位骨料的體積和表面積Fig.8 Volume and surface area of four shape types of unit aggregate

為研究不同粒徑計算方法對細觀混凝土內部結構的影響，基于1.1中的方法，生成4種形狀類型的骨料庫，每種形狀類型骨料個數為3 000個.對同一形狀類型的骨料，分別采用MBB法和EVS法計算其粒徑，并按粒徑對其進行縮放，得到粒徑為1的單位骨料，并存入骨料庫備用.“點陣法”骨料投放算法被用于生成混凝土細觀結構，該方法將待投放域離散化為空間中有序排列的點陣，將三維空間中骨料間復雜的侵入判斷問題轉化為對待投骨料中點狀態的判斷，顯著提高了骨料投放效率［19］.級配曲線采用富勒級配曲線，骨料級配為4.75、9.5、16、19 mm，模型尺寸為100 mm×100 mm×100 mm.為保證統計結果的可靠性，每組設置10個平行樣本.通過比較基于同一類型不同類別骨料庫生成的混凝土模型中骨料的體積及骨料數的差異性，間接分析不同粒徑計算方法對細觀混凝土內部結構的影響.

3.1 粒徑計算方法對骨料數量的影響

圖9為基于2種粒徑計算方法生成的細觀混凝土模型中的骨料數量.由圖9可見：隨著骨料體積分數的增大，4種混凝土模型中骨料數均呈線性增加趨勢.其中球狀骨料混凝土模型中骨料數量幾乎不受粒徑計算方法的影響；片狀骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的骨料數量略微大于基于EVS法生成的骨料數；盤狀和棒狀骨料混凝土模型中，粒徑計算方法對細觀混凝土模型中骨料數量有顯著影響——對于盤狀骨料混凝土模型，基于MBB法生成的骨料數量約為基于EVS法的1.85倍；對于棒狀骨料混凝土模型，基于MBB法生成的骨料數量約為基于EVS法的0.62.上述結果表明，粒徑計算方法顯著影響細觀混凝土中的骨料數量，且該影響因骨料形狀類型而呈現顯著的差異性.

圖9 基于2種粒徑計算方法生成的細觀混凝土模型中的骨料數量Fig.9 Aggregate number in meso?concrete model generated based on two particle size calculation methods

3.2 粒徑計算方法對骨料體積的影響

圖10為骨料體積分數為40%的細觀混凝土模型中骨料體積累計分布.由圖10可見：（1）4種細觀混凝土模型中骨料體積累計分布曲線均呈現先快速增加后緩慢上升的變化趨勢，累計分布曲線在累計分布為0.82處出現拐點.（2）片狀和球狀骨料的體積累計分布曲線幾乎不受粒徑計算方法的影響；盤狀骨料的累計分布曲線拐點對應的骨料體積分別為486、292 mm3，前者約為后者的1.66倍，表明在盤狀骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的單個骨料的體積明顯大于基于EVS法生成的單個骨料的體積；棒狀骨料的累計分布曲線拐點對應的骨料體積分別為465、872 mm3，后者約為前者的1.87倍，表明在棒狀骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的單個骨料的體積明顯小于基于EVS法生成的單個骨料的體積.

圖10 細觀混凝土模型中骨料體積累計分布（骨料體積分數為40%）Fig.10 Cumulative distribution of aggregate volume in meso?concrete model（aggregate volume fraction is 40%）

結合圖9、10可以發現，粒徑計算方法顯著影響細觀混凝土的內部結構.對于片狀和球狀骨料，粒徑計算方法對混凝土內部結構的影響幾乎可以忽略不計.對于盤狀和棒狀骨料，粒徑計算方法對混凝土內部結構的影響較為顯著，并且相比MBB法，采用EVS法生成的盤狀骨料數量更少、體積更大；棒狀骨料則與之相反.事實上，由于采用MBB法計算骨料粒徑時可以更好地模擬室內試驗采用篩分法確定的骨料粒徑，因此，基于MBB法生成的混凝土模型可以更為真實地反映混凝土的細觀結構.

上述研究表明，粒徑計算方法對細觀混凝土中骨料的數量和體積均有顯著影響.細觀混凝土內部結構的差異性勢必進一步影響混凝土的宏觀力學性能.一方面，當骨料體積分數一定時，骨料數量越多意味著模型中存在更高體積分數的界面過渡區，界面過渡區是混凝土中的弱相，體積分數越大，對混凝土力學性能的降低效應越明顯［2］；另一方面，當混凝土發生破壞時，骨料數量多會導致斷裂路徑更加曲折［25］.因此在進行細觀混凝土數值建模時，必須要充分考慮骨料粒徑計算方法對其內部結構的影響.

4 結論

（1）因骨料粒徑計算方法不同，不同形狀類型骨料的2種粒徑表現出明顯的差異性.相比最小包圍盒（MBB）法，采用等體積球（EVS）法低估了球狀、片狀和盤狀骨料的粒徑，粒徑被低估的占比分別為65%、72%和98%；采用EVS法高估了棒狀骨料的粒徑，粒徑被高估的占比為92%.

（2）4種形狀類型骨料的2種粒徑的粒徑離散系數（λ）均服從正態分布.相比傳統的線性擬合法，本文預測模型可以更好地預測不同形狀類型骨料的2種粒徑的λ的均值及離散度.

（3）與MBB法相比，采用EVS法測量球狀、片狀和盤狀骨料時，通常得到的粒徑更小且分布更窄；對于棒狀骨料，采用EVS法得到的粒徑更大且分布更寬.

（4）粒徑計算方法對細觀混凝土內部結構的影響因骨料形狀不同表現出一定差異性.對于球狀和片狀骨料，粒徑計算方法對混凝土內部結構的影響幾乎可以忽略不計.對于盤狀骨料，相比MBB法，采用EVS法生成的骨料數量更多、體積更??；棒狀骨料則表現出相反趨勢.