圓錐曲線點乘法的應用舉例

■河南省沈丘縣第一高級中學 劉 玉

在解析幾何中,點差法是解決直線與圓錐曲線位置關系常用的一種方法,即直線l與圓錐曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,將A,B兩點的坐標代入曲線方程,兩式相減整理即可得到直線l的斜率和弦中點之間的關系式,如此可以減少運算量,優化解題過程,實現“設而不求”的目的。那么兩式相乘能得到什么結論呢?

下面我們以焦點在x軸上的橢圓為例進行探究。

那么,雙曲線中是否有類似結論呢? 下面以焦點在x軸上的雙曲線為例進行探究。

在雙曲線中利用點乘法雖然無法得到和橢圓類似的結論,但相乘之后所包含的項相同,均涉及,因此,當題目中出現這些式子時,可以嘗試從點乘法入手尋找解題思路。

下面通過舉例,對幾道典型的例題進行剖析,以便同學們靈活掌握解決此類問題的思路和方法。

例1已知橢圓E,直線l與橢圓E交于A、B兩點,O為坐標原點,若kOA·,則△AOB的面積是否為定值? 如果是,求出該定值;如果不是,請說明理由。

解析:設A(x1,y1),B(x2,y2)。

圖1

解析:如圖2,取AB的中點D,設A(x1,y1),B(x2,y2)。

圖2

A、B、C三點在橢圓上,則:

例4已知動直線l與橢圓C=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩個不同的點,且△OPQ的面積S△OPQ= 6,其中O為坐標原點。

(1)證明:x21+x22和y21+y22均為定值;

(2)設線段PQ的中點為M,求|OM|·|PQ|的最大值。

又4|OM|·|PQ|≤4|OM|2+|PQ|2=20,則|OM|·|PQ|≤5,故|OM|·|PQ|的最大值為5,當且僅當2|OM|=|PQ|時等號成立。