高二期末考試模擬卷（A 卷）

■河南省鄭州市第二高級中學 馮麗娟

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.已知直線l1:x+2ay-1=0 和直線l2:(3a-1)x-ay-1=0,則“”是“l1//l2”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.“斐波那契”數列由13 世紀意大利數學家斐波那契發現,該數列滿足遞推關系:a1=a2=1,an=an-1+an-2(n>2,n∈N*)。已知數列{an}為“斐波那契”數列,Sn為數列{an}的前n項和,若S2022=m,則a2024=( )。

C.2mD.m+1

3.已知向量m是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,且,則直線l與平面α所成的角為( )。

A.30° B.60°

C.120° D.150°

4.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起,故也被稱為“陰陽魚太極圖”。圖1 是放在平面直角坐標系中的“太極圖”,圖中曲線為圓或半圓,已知點P(x,y)是陰影部分(包括邊界)的動點,則的最小值為( )。

圖1

5.對于空間一點O和不共線三點A,B,C,并 且,則( )。

A.O,A,B,C四點共面

B.P,A,B,C四點共面

C.O,P,B,C四點共面

D.O,P,A,B,C五點共面

7.已知過拋物線C:y2=8x的焦點F,且傾斜角為45°的直線交拋物線C于A,B兩點,Q為弦AB的中點,P為拋物線C上一點,則|PF|+|PQ|的最小值為( )。

8.已知數列{an}滿足a1=2,an+1=記bn=a2n,則( )。

A.b1=5 B.b2=9

C.bn+1-bn=2 D.bn=4n-1

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.圓C1:x2+y2=4 與 圓C2:x2+y2-4x+4y-12=0,則下列說法正確的是( )。

A.兩個圓的公共弦所在直線方程為xy+2=0

B.兩個圓的位置關系為外切

C.兩個圓的公共弦長為2 2

D.兩個圓有四條公切線

10.已知長方體ABCD-A1B1C1D1的棱|AB|=|AD|=2,|AA1|=1,點P滿足:,λ,μ,γ∈[0,1],下列結論正確的是( )。

A.當λ=1,γ=0時,P到A1D1的距離為3

B.當μ=1時,點P到平面BDD1B1距離的最大值為2

C.當λ=μ=1,時,四棱錐PBB1D1D的體積為

D.當λ=0,μ=1 時,直 線PB與 平 面ABCD所成角的正切值的最大值為

11.已知曲線C,F1、F2分別是曲線C的左、右焦點,則下列說法中正確的有( )。

A.若m=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的夾角為

B.若曲線C的離心率e=2,則m=-27

C.若m=6,則曲線C上不存在點P使得∠F1PF2=

D.若m=4,P為曲線C上一個動點,則△F1PF2面積的最大值為3

12.數列{an}的前n項和為Sn,且an+1+an=2n-1,下列說法正確的是( )。

A.若{an}為等差數列,則{an}的公差為1

B.若{an}為等差數列,則{an}的首項為1

C.S30=435

D.S2n≥4n-3

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分。)

13.科拉茨是德國數學家,他在1937 年提出了一個著名的猜想:任給一個正整數n,如果n是偶數,就將它減半;如果n是奇數,就將它乘3加1(即3n+1)。不斷重復這樣的運算,經過有限步后,一定可以得到1。這是一個很有趣的猜想,但目前還沒有證明或否定。對正整數a1(首項)按照上述規則施行變換后得到a2,依次施行變換后所得到的數組成數列{an},Sn是數列{an}的前n項和,若a1=10,則S50=_____。

14.在空間直角坐標系中,若一條直線經過點(x0,y0,z0),且以向量n=(a,b,c)(abc≠0)為方向向量,則這條直線可以用方程來表示。已知直線l的方程為x-2=y-4=2z,則點P(4,4,2)到直線l的距離為____。

15.已知橢圓C的左、右焦點分別是F1(-c,0)、F2(c,0),若橢圓C的離心率,則稱橢圓C為“黃金橢圓”。O為坐標原點,P為橢圓C上一點,A和B分別為橢圓C的上頂點和右頂點,則下列說法正確的是____。

①a,b,c成等比數列;

② ∠F1AB=90°;

④若PF1⊥x軸,則OP//AB。

16.已知圓M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為直線l上的動點。過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B,則|PM|·|AB|的最小值為_____;當|PM|·|AB|取最小值時,直線AB的方程為_____。

四、解答題(本題共6小題,共70分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10 分)在平面直角坐標系中,已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標:A(0,0),B(3,3),C(4,0)。

(1)求點D的坐標,并證明平行四邊形ABCD為矩形;

(2)求CD邊所在的直線方程及∠ABC的內角平分線所在的直線方程。

18.(本小題12分)我國元代數學家朱世杰在《四元玉鑒》中研究過高階等差數列問題,若數列{an}滿足{an+1-an}為等差數列,則稱{an}為二階等差數列。已知二階等差數列1,2,4,7,…。

(1)求{an}的通項公式;

19.(本小題12分)如圖2,圓C經過點M(1,0),N(4,0),且與y軸的正半軸相切于點P,O為坐標原點。

(1)求圓C的標準方程;

(2)已知點P在圓O上,過點M的直線l交 圓O于A、B兩 點,求 證:∠ANM=∠BNM。

20.(本小題12分)如圖3所示,在幾何體中,BE⊥BC,EA⊥AC,|BC|=2,|AC|=2 2,∠ACB= 45°,AD//BC,|BC|=2|AD|。

圖3

(1)求證:AE⊥平面ABCD;

(2)若∠ABE=60°,點F在EC上,且滿足|EF|=2|FC|,求二面角F-AD-C的余弦值。

21.(本小題12分)已知平面直角坐標系中,動點M在曲線C上,且點M到F(-2,0)的距離比M到y軸的距離大2。

(1)求曲線C的方程;

(2)設過點(-1,0)的直線與曲線C交于A,B兩點,求△AOB面積的最小值。

22.(本小題12 分)阿基米德(公元前287—公元前212年)不僅是古希臘著名的哲學家、物理學家,也是著名的數學家,他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積。在平面直角坐標系中,橢圓C的面積等于2π,且橢圓C的焦距為2 3。

(1)求橢圓C的標準方程。

(2)點P(4,0)是x軸上的定點,直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,已知A關于y軸的對稱點為M,B點關于原點的對稱點為N,且P、M、N三點共線,試探究直線l是否過定點。若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由。