動態事件觸發機制下二階多智能體系統完全分布式控制

鄧 甲,王付永,劉忠信,陳增強

(1.南開大學人工智能學院,天津 300350;2.南開大學智能機器人技術重點實驗室,天津 300350)

1 引言

多智能體系統是由多個自主個體組成的群體系統,個體之間通過相互通信,以競爭或合作等方式,完成大量而復雜,單個智能體無法完成的工作.控制多個個體進行協調合作執行某一具體任務,在傳感器網絡[1–2]、多無人車系統[3]、衛星編隊[4]等領域有著廣闊的應用前景.因此,多智能體系統分布式協同控制問題,尤其是其中最基礎的一致性問題,受到許多學者的廣泛關注.多智能體系統的一致性是指系統中的智能個體在相互通信和局部協作下,調整更新自己的行為,最終使得每個智能體均能達到相同的狀態[5–6].現有的一致性問題主要關注兩個方面: 領導跟隨一致性和無領導者協同一致性.其中,領導跟隨問題要求跟隨者的所有狀態最終與領導者達到一致,即追蹤到領導者的軌跡,這拓展了多智能體系統的工程應用.

在實際的工程應用中,智能體的通信資源和計算能力通常是有限的.為了減少系統能量耗散,事件觸發機制被應用到多智能體系統中,即在合適的觸發時刻,才進行數據采樣、信息傳輸、控制信號更新等操作[7–8].傳統的等周期采樣是基于時間的觸發,基于時間的觸發往往會導致對有限的計算和通信資源的過度使用,而基于事件觸發能提升資源利用效率,被認為是資源受限情況下一個重要的通信范式轉變[9].事件觸發控制按不同類型的觸發函數可以分為基于常值的靜態事件觸發[10]、基于輔助動態變量或動態時鐘的動態事件觸發[11–15]、基于時間的事件觸發[16–17]、基于邊的事件觸發[15,18–20]、基于等周期采樣的事件觸發[21–23]、基于自適應參數的事件觸發[13,24–25]等.

事件觸發機制的引入,一方面可以用于避免控制信號的連續更新,另一方面可以避免連續通信.文獻[26]針對二階多智能體系統的固定時間比例一致性問題給出了基于事件觸發的控制協議,用于避免控制信號的連續更新,有效減小了系統能耗.但文獻[26]測量誤差以及觸發函數的設計用到鄰居的實時狀態信息,因而難以有效避免連續通信,對通信資源的節約是非常有限的.本文致力于節省通信資源,設計基于事件觸發的通信策略.在本文所提策略下,每個智能體只在自身觸發時刻將自己的當前狀態發送給鄰居,智能體自身的觸發函數和控制輸入都不涉及鄰居的實時狀態信息,這有效避免了連續通信,降低了通信頻次,從而達到了減少系統能耗的目的.

此外,對分布式多智能體系統中的每個智能體而言,系統節點總數、拉普拉斯矩陣的特征值等全局信息是難以獲取的.現有的基于事件觸發的很多成果都無法避免對全局信息的使用,文獻[10,22,26–27]用到系統總節點數,文獻[27–32]用到拉普拉斯矩陣的特征值.設計不依賴全局信息的完全分布式事件觸發策略具有重要意義,文獻[13,15,24]針對一般線性定常系統設計了完全分布式的事件觸發機制,文獻[33]針對m個具有一階積分模型和n–m個具有二階積分模型的智能體組成的異構系統設計了完全分布式的事件觸發機制,但文獻[24,33]的觸發函數涉及鄰居的實時狀態信息.

目前,觸發函數不使用鄰居實時狀態信息且不依賴任何全局信息的事件觸發控制策略較少.文獻[24]針對有向拓撲下的一般線性定常系統設計了一種自適應事件觸發控制策略,但其使用聯合誤差,也就是說需要借助鄰居智能體的實時狀態信息來判斷是否觸發,而這與避免連續通信從而節省通信資源的初衷是相悖的.文獻[10,22,26–32]所給出的事件觸發機制都用到全局信息,不是完全分布式的.文獻[13,15]分別針對無向拓撲下的一般線性定常系統設計了兩類優秀的事件觸發機制,滿足: 1)觸發函數不使用鄰居實時狀態信息,從而有效避免連續通信;2)觸發策略不依賴任何全局信息,是完全分布式的;3)系統實現漸近一致性且不存在Zeno行為.文獻[13,15]針對一般線性定常系統,具有較好的通用性,但其觸發策略含有較多參數,且需求解代數里卡蒂方程,其所提事件觸發控制策略雖然適用于較為簡單的一階積分系統或者二階積分系統,但注意到系統模型簡單卻并不會使得控制策略簡化,較多的參數將在實際應用中帶來麻煩,同時代數里卡蒂方程的計算也將消耗額外的計算資源.設計參數較少且易調的新型事件觸發控制策略具有重要意義.

動態事件觸發機制相較于其他類型的觸發機制具有更高的靈活性,并且通常有著更寬松的觸發條件,因而能在更大程度上減少系統能耗[9].現有的動態事件觸發機制主要有兩類,一類是基于動態時鐘的事件觸發機制[11–13];另一類是基于輔助動態變量的事件觸發機制[14–15].基于動態時鐘是指智能體的觸發時刻由某個非負的動態變量來決定.當該動態變量為零時,觸發事件并重置該變量為某個正值,事件間智能體根據狀態誤差來更新該變量,當該變量再次為零時再次觸發事件.該動態變量具有時鐘的特點,稱其為動態時鐘,智能體的觸發時刻是由該動態時鐘來決定的.基于輔助動態變量的事件觸發機制是指智能體觸發函數的閾值條件基于某個輔助動態變量,該輔助動態變量并不直接決定觸發時刻,而是監測到狀態誤差函數大于該動態閾值條件時觸發事件.與靜態閾值,基于時間的閾值相比,基于輔助動態變量的閾值更靈活,這在避免Zeno行為方面具有優勢.此外,輔助動態變量進一步放寬了閾值條件,因而進一步降低了觸發頻次,更大程度上節省了通信資源.文獻[11–13]分別針對一階積分系統、二階積分系統、一般線性定常系統設計了基于動態時鐘的事件觸發機制.文獻[14]針對一階積分系統設計了基于輔助動態變量的完全分布式事件觸發機制,本文受其啟發,將其進一步擴展到二階積分系統.文獻[15]針對一般線性定常系統設計了基于輔助動態變量的事件觸發機制,但其涉及多個自適應參數且無法避免對代數里卡蒂方程的計算,這將額外消耗大量的計算資源.另外,文獻[15]觸發函數中待確定的參數太多,實際應用中可能較難調出合適的參數.本文與之相比,一方面系統模型不同,另一方面設計了參數較少且易調的新型事件觸發機制,并在仿真示例中簡單給出了選取相關參數的方法.

本文針對二階多智能體系統,在無領導者和有領導者兩種情形下,分別設計了基于輔助動態變量的動態事件觸發機制,主要有如下特點和貢獻: 1)文獻[17,24,27,34–37]未避免對鄰居狀態的實時檢測,本文與之相比,觸發函數和控制協議都未用到鄰居的任何實時狀態信息,有效避免了連續通信,節省了通信資源;2)文獻[10,22,26–32]需要使用系統總節點數、拉普拉斯矩陣特征值等全局信息,本文觸發函數和控制協議包括相關參數的設計都不依賴通信拓撲網絡的任何全局信息,是完全分布式的;3)文獻[31,38–39]在排除Zeno行為的前提下只能實現在有界區間波動的實際一致性,本文設計的事件觸發機制可以保證系統實現漸近一致性且不存在Zeno 行為;4)文獻[13,15]所設計的事件觸發控制參數較多,不易調整,本文致力于設計參數較少且容易調整的事件觸發控制策略.

本文后續的內容安排如下: 第1部分介紹必要的預備知識,描述具體的模型以及問題;第2部分分別針對無領導和領導跟隨的情況提出事件觸發一致性控制策略,并證明所提出的策略下系統實現漸近一致性,且不存在Zeno行為;第3部分分別針對無領導和領導跟隨的情況,給出數值仿真示例進一步驗證結果的有效性,并分析主要參數對觸發頻次和收斂性能的影響,給出確定參數的方法;第4部分對全文做出總結.

文中的相關符號說明如下: Rm和Rn×m分別表示m維列向量和n×m維矩陣空間,向量元素和矩陣元素都為實數;0n×n表示n×n的零矩陣;diag{a1,a2,···,an}表示以a1,a2,···,an為對角元素,其他元素全為0的n×n矩陣.

2 預備知識和問題描述

這部分介紹必要的圖論知識、系統模型、問題描述以及相關的符號定義.

2.1 圖論

多智能體系統的通信拓撲圖G=(V(G),E(G)),其中V(G)={1,2,···,n}表示節點的集合,E(G)?{(i,j)|i,j ∈V(G)}表示邊的集合.邊(i,j)表示節點j能夠收到節點i傳輸的信息,aij表示邊(j,i)的權值,若節點j到節點i存在邊,則aij >0,否則aij=0,對于無向圖aij=aji.圖的鄰接矩陣定義為A=[aij]∈Rn×n.

對上述多智能體系統增添一個領導者,用D=diag{d1,···,dn}表示每個跟隨者i ∈V(G)與領導者之間的通信關系,如果智能體i能收到領導者的信息,那么di >0,否則di=0.顯然,對無領導者模型,可以認為D=0n×n.

2.2 問題描述

考慮由n個具有二階積分模型的智能體組成的無領導者二階多智能體系統.第i個智能體的動力學模型如下:

其中:xi(t)∈Rm表示智能體i的位置狀態,vi(t)∈Rm表示智能體i的速度狀態,ui(t)∈Rm表示智能體i的控制輸入.

定義1對于所有的智能體i ∈V,如果存在控制協議ui(t),使得系統在任意初始狀態下,對任意的i,j ∈V都滿足

則稱系統(1)實現了無領導者漸近一致性.

考慮由1個領導者和n個跟隨者組成的領導跟隨二階多智能體系統.第i個跟隨者的動力學模型同式(1),領導者的動力學模型如下:

其中:x0(t)∈Rm表示領導者的位置狀態,v0(t)∈Rm表示領導者的速度狀態,領導者的控制輸入為0.

定義2對于所有的智能體i ∈V(G),如果存在控制協議ui(t),使得系統在任意初始狀態下,對任意的i ∈V(G)都滿足

則稱系統(1)(3)實現了領導跟隨漸近一致性.

為了方便分析,本文給出的結果都是基于一維的(m=1),但由于每一維之間是相互獨立的,因此,很容易利用Kronecker乘積將結果拓展到m維.

3 完全分布式動態事件觸發一致性

為了節省通信資源,為每個智能體設計合適的觸發函數,使得每個智能體只在自身觸發時刻向鄰居廣播自身狀態信息.也就是說,對每個智能體而言,鄰居的實時狀態信息是未知的,那么每個智能體自身的控制協議以及觸發函數都只能使用鄰居在觸發時刻的狀態信息而不能使用鄰居的實時信息.下面分別針對有無領導者兩種情況給出具體的設計和證明.

3.1 無領導者一致性

用表示智能體i第k次事件觸發時刻.對系統(1)給出基于事件觸發的控協議如下:

注1此處控制器的設計對位置狀態采用一階保持,也就是說,在事件間,控制器根據上一觸發時刻的值以預測和估計的形式給出比零階保持更合適的控制信號,這將進一步降低通信頻次,從而達到節約通信資源的目的.如果位置狀態采用零階保持,相應的位置測量誤差定義為(t)=(t)-xi(t),不會對后續的理論分析造成任何影響,但這樣雖然能避免控制信號的連續更新,卻會使得觸發更加頻繁,將消耗更多的通信資源.本文致力于節省通信資源,因而選擇對位置狀態進行一階保持這一設計方法.

給出如下觸發函數:

其中:θi >0,βi >0 為參數;χi(t)為輔助動態變量,χi(0)>0.

注2觸發函數(8)中的觸發閾值基于輔助動態變量χi(t),因此所設計的事件觸發機制稱為基于輔助動態變量的動態事件觸發機制.如果將閾值θiχi(t)替換為靜態閾值c(c>0),系統將實現有界區間內波動的實際一致性.如果將閾值θiχi(t)替換為基于時間的函數αe-βt(α,β >0),系統也能實現漸近一致性,但結合式(18)可知,相較于基于時間的閾值,基于輔助動態變量的閾值進一步放寬了觸發條件,因此能進一步降低觸發頻次.

注31)本文設計的事件觸發機制(8)–(9)不涉及鄰居的實時狀態信息,這有效避免了連續通信.智能體i在第k次觸發后,只需借助鄰居智能體j在觸發時刻傳輸來的信息即可確定自身的下一觸發時刻.文獻[26,37]也針對二階積分系統設計了事件觸發機制,但其選用了聯合測量誤差,智能體i需要借助鄰居智能體的實時狀態信息xj(t)和vj(t)來確定下一觸發時刻.這意味著每個智能體都需要實時向鄰居發送自身的狀態信息,而這與節省通信資源的初衷是相悖的;2)本文設計的事件觸發機制包括相關參數的選取都不依賴系統節點總數以及拉普拉斯矩陣特征值等全局信息,是完全分布式的.對分布式系統,尤其是系統規模較大的時候,對每個智能體而言,拉普拉斯矩陣特征值等全局信息是很難獲取的.文獻[10,22,26–32]所設計的事件觸發機制都涉及對全局信息的使用,本文設計的完全分布式事件觸發控制策略具有擴展性好的優勢;3)本文設計了參數較少且易調的新型事件觸發機制.文獻[13,15]分別針對一般線性定常系統設計了兩類不同的事件觸發機制,但其待確定的參數很多,且涉及代數里卡蒂方程的計算以及自適應參數的更新.即使針對較為簡單的系統模型,文獻[13,15]設計的事件觸發機制仍有很大的計算量,且過多的參數會在實際應用中帶來麻煩.本文設計了參數較少且易調的新型事件觸發機制,并在數值仿真部分簡要給出了選取這些參數的經驗方法.

為了更簡潔的表示,變量中的參數t通常被省略,同時定義以下向量:

定理1假設固定通信拓撲圖G為無向連通圖,多智能體系統(1)在控制器(5)和觸發函數(8)的作用下,在任意初始狀態下均能實現無領導者漸近一致性.

證選定李雅普諾夫函數為

結合式(11)進一步可以得到

結合式(11)(15)容易得到

觸發函數式(8)的設計使得fi(·)≤θiχi(t)始終成立,容易得到

進一步可以得到

定理2假設固定通信拓撲圖G為無向連通圖,多智能體系統(1)在控制器(5)和觸發函數(8)的作用下,在任意初始狀態下系統均不存在Zeno行為.

為了更簡潔的表示,定義

容易得到fi(·)≤θiχi(t)的一個充分條件是

進一步得到

3.2 領導跟隨一致性

對系統(1)(3)給出基于事件觸發的控協議如下:

其中:?i >0,γi >0為參數;ψi(t)為輔助動態變量,ψi(0)>0.

定理3假設固定通信拓撲圖G為無向連通圖,多智能體系統(1)和(3)在控制器(23)和觸發函數(24)的作用下,在任意初始狀態下均能實現領導跟隨漸近一致性.

結合式(14)(28)容易得到

結合式(25)–(26)(29),進一步得到

由式(24)(26)不難得到

證畢.

定理4假設固定通信拓撲圖G為無向連通圖,多智能體系統(1)(3)在控制器(23)和觸發函數(24)的作用下,在任意初始狀態下系統均不存在Zeno行為.

為了更簡潔的表示,定義為

推論1假設固定通信拓撲圖G為無向連通圖,多智能體系統(1)(3)的領導者如果發生通信故障,跟隨者在控制器(23)和觸發函數(24)的作用下將實現無領導者一致性,且系統不存在Zeno行為.

證觀察控制器(5)(23)以及觸發函數(8)(24),容易發現當di=0時,式(23)退化為式(5),式(24)退化為式(8).同時,無領導者系統可以認為是有領導者系統在D=0n×n時的特殊情況.因此,有領導者多智能體系統(1)(3)在控制器(23)和觸發函數(24)的作用下,如果領導者發生通信故障,那么跟隨者將按照無領導者模型實現一致性,且系統不存在Zeno行為.證畢.

4 數值仿真

這部分首先通過數值仿真示例來驗證了理論結果的正確性和有效性.隨后,分析討論了所設計的觸發機制中相關參數對觸發頻次和收斂性能的影響,給出了選取這些參數的經驗方法.最后,通過對比實驗驗證了: 控制輸入中位置狀態采用一階保持相較于零階保持進一步降低了通信頻次;基于輔助動態變量的動態事件觸發機制與基于靜態閾值的傳統觸發機制相比具有更高的靈活性,在排除Zeno行為的同時能確保系統具有不錯的收斂性能.

4.1 結果驗證

首先考慮無領導者的情形.考慮5個具有二階積分模型的智能體組成的多智能體系統,5個智能體間的通訊拓撲圖如圖1所示.

圖1 無領導者系統的通信拓撲圖Fig.1 The communication topology of the leaderless system

智能體初始狀態:x(0)=[0 1 2 3 4]T,v(0)=[0.8 1 0.3-0.6 0.8]T.相關參數設定為:μ=3,θi=0.1,βi=0.4,χi(0)=3,其中i=1,2,···,5.仿真結果如圖所示.圖2展示了每個智能體的速度狀態隨時間的變化,圖3展示了每個智能體的位置狀態隨時間的變化,結果表明: 該多智能體系統實現漸近一致性,所設計的控制策略是有效的.

圖2 無領導者: 速度狀態軌跡Fig.2 Leaderless: The trajectories of the speed state

圖3 無領導者: 位置狀態軌跡Fig.3 Leaderless: The trajectories of the position state

圖4展示了每個智能體的觸發時刻,也就是每個智能體廣播自身狀態信息的時刻,圖中可以看出每個智能體的觸發時刻是異步的,同時不存在Zeno行為.

圖4 無領導者: 觸發時刻Fig.4 Leaderless: Event-triggered instants

下面考慮有領導者的情形.考慮1個領導者和5個跟隨者組成的二階多智能體系統,這6個智能體間的通信拓撲圖如圖5所示.

圖5 領導跟隨系統的通信拓撲圖Fig.5 The topology of the leader-follower system

跟隨者初始狀態置為:x(0)=[0 1 2 3 4]T,v(0)=[0.8 1 0.3-0.6 0.8]T,領導者初始狀態置為:x0(0)=2,v0(0)=0.1.選 取μ=2.5,?i=0.2,γi=0.4,ψi(0)=1,其中i=1,2,···,5.

仿真結果如圖所示.圖6和圖7分別展示了每個智能體的速度以及位置狀態隨時間的變化.結果表明,跟隨者最終都能成功跟蹤領導者的狀態,實現了領導跟隨漸近一致性,所設計的控制策略是有效的.圖8展示了每個跟隨者的觸發時刻,觸發時刻是異步的并且不存在Zeno行為.跟隨者只在自身觸發時刻廣播自身的狀態信息,有效減少了系統能量耗散.

圖6 領導跟隨:速度狀態軌跡Fig.6 Leader-Follower: The trajectories of the speed state

圖7 領導跟隨:位置狀態軌跡Fig.7 Leader-Follower: The trajectories of the position state

圖8 領導跟隨:觸發時刻Fig.8 Leader-Follower: Event-triggered instants

4.2 參數分析

以無領導者的情形為例,分析參數βi,θi以及輔助動態變量的初值χi(0)對觸發頻次和收斂速度的影響.為了便于調整參數,各智能體可選用同一套參數,即θi=θ,βi=β,χi(0)=χ(0),i=1,2,···,5.固 定其余參數不變,系統總的觸發次數隨參數χi(0),θi,βi變化的曲線分別如圖9–11所示.

圖9 無領導者: 調整參數χi(0)時總的事件數Fig.9 Leaderless: The total number of events when adjusting the parameter χi(0)

結合式(8)–(9)可知,χi(0)和θi共同決定觸發閾值的初值,βi影響閾值的下降速度,θi同時影響閾值的初值和下降速度.閾值下降速度越快意味著觸發越頻繁,動態收斂性能越好,但也可能引起資源的過度消耗.合適的閾值下降速度可以在幾乎不影響收斂性能的情況下極大減少對通信資源的消耗.如圖9所示,閾值的初值越小意味著前期觸發越頻繁,太小的初值會使得觸發很頻繁.如圖10–11所示,當動態閾值的初值較大時,觸發頻次主要由閾值下降速度來決定.

圖10 無領導者: 調整參數θi時總的事件數Fig.10 Leaderless: The total number of events when adjusting the parameter θi

圖11 無領導者: 調整參數βi時總的事件數Fig.11 Leaderless: The total number of events when adjusting the parameter βi

實際應用中,可以先將輔助動態變量的初值χ(0)置為一個相對比較大的值,將θ置為相對較小的值,隨后嘗試調整β即可很快調出合適的參數.針對有領導的情形,參數?i,γi以及ψi(0)的選取方法與無領導情形下的選取方法類似,本文所設計的事件觸發機制具有參數較少且易調的優點.

4.3 對比實驗

本文設計的基于事件觸發的控制協議(5)(23)中,位置狀態均采用了一階保持.這意味著在事件間,控制器根據上一觸發時刻的值以預測和估計的形式給出了比零階保持更合適的控制信號,從而進一步降低了觸發頻次,節省了通信資源.下面以第4.1節中有領導者的情形為例,給出位置狀態分別采用一階保持和零階保持的對比實驗結果.

表1給出了30 s內各智能體的觸發次數以及5個智能體的總觸發次數.兩種情形下5個智能體的觸發時刻如圖12所示.結果表明,位置狀態采用一階保持的情形下,每個智能體的觸發次數都低于零階保持的情形,觸發頻次的降低進一步節省了通信資源.

表1 位置狀態分別采用一階保持和零階保持的情形下各智能體的事件觸發次數Table 1 The number of events of each agent when the position state adopts the first-order hold and the zero-order hold,respectively

圖12 位置狀態分別采用一階保持和零階保持的情形下各智能體的觸發時刻Fig.12 The event-triggered instants of each agent when the position state adopts the first-order hold and the zeroorder hold,respectively

傳統的靜態事件觸發機制其閾值函數是某個常數c(c≥0),本文設計的動態事件觸發機制閾值函數為θiχi(t).動態閾值與傳統的靜態閾值相比具有更高的靈活性.閾值函數基于常數c時,若c=0,系統的觸發頻次將非常密集,并且難以排除Zeno行為;若c>0,則系統只能實現有界區間內波動的實際一致性.下面以第4.1節中有領導者的情形為例,給出靜態事件觸發下c=0.1時的仿真結果.

圖13–14分別展示了多智能體系統在靜態事件觸發機制下的速度狀態軌跡和位置狀態軌跡.結果表明,與靜態事件觸發機制相比,本文設計的動態事件觸發機制不僅有效排除了Zeno行為,而且確保了系統仍有不錯的收斂性能,系統實現漸近一致性而不是有界區間內波動的實際一致性.

圖13 靜態事件觸發機制下各智能體的速度狀態軌跡Fig.13 The speed state trajectory of each agent under the static event-triggered mechanism

圖14 靜態事件觸發機制下各智能體的位置狀態軌跡Fig.14 The position state trajectory of each agent under the static event-triggered mechanism

5 結論

本文研究了二階多智能體系統的一致性問題,引入事件觸發機制,致力于降低通信頻次.分別針對無領導者和有領導者的情形,設計了基于輔助動態變量的完全分布式事件觸發控制策略,該策略具有參數較少且易調等特點.首先,為每個智能體設計了不依賴鄰居實時狀態信息的控制信號.每個智能體只獲取鄰居觸發時刻的狀態信息,只根據自身的狀態和鄰居觸發時刻的狀態更新控制信號;然后,為每個智能體設計了基于輔助動態變量的完全分布式事件觸發函數,用于確定每個智能體的觸發時刻.觸發函數只涉及智能體自身狀態和鄰居上一觸發時刻的狀態信息,不涉及鄰居的實時狀態信息,也不依賴系統節點總數,拉普拉斯矩陣特征值等全局信息;最后,每個智能體通過自身的觸發函數來確定觸發時刻,只在觸發時刻向鄰居廣播自身的狀態信息,控制器根據智能體自身的狀態和鄰居觸發時刻的狀態信息更新控制信號.證明了在該控制策略下,二階多智能體系統實現漸近一致性,并且不存在Zeno行為.未來將針對有向通訊拓撲的情形做進一步的研究和探討.