隨機干擾下拓撲時變Kuramoto網絡事件觸發固定時間同步

孫 佳,賈玉斌,武永寶,董 璐,劉 劍

(1.東南大學自動化學院,江蘇 南京 210096;2.東南大學網絡空間安全學院,江蘇 南京 210096)

1 引言

復雜網絡作為一種描述自然界和人類社會中存在的種種聯系和相互作用的數學模型,在自然科學、控制理論、社會學等各個領域都存在著廣泛應用[1–2].在已有的復雜網絡模型中,Kuramoto 型振子網絡(又稱Kuramoto 網絡)是指一種耦合相振子模型,其基本思想是將復雜網絡建模為多個相互耦合的振子系統[3–4].利用該模型來刻畫和研究復雜網絡系統的動力學特性具有良好的便利性,因而其被廣泛應用于多種耦合動態場景的研究中[5–6].在系統科學和控制工程研究領域,利用代數圖論和微分方程理論可以嚴格地分析振子網絡耦合條件對網絡性質的影響.于是,Kuramoto型振子網絡同步控制領域在這一思路下產生了豐富的理論成果[7–8].在不考慮隨機干擾影響的情況下,研究人員從考慮網絡拓撲影響方面和網絡振子節點動力學特征等方面入手[9–11],對耦合振子網絡的同步進行了深入而廣泛的研究[12–14].然而在實際情況中,振子耦合狀態大概率是變化的,隨機噪聲可能存在于復雜網絡的耦合通道及信號傳輸通道中.在現有針對噪聲影響的研究中,一般在振子動力學方程中添加高斯白噪聲項來進行建模,并采用平均場的方法對其同步特性進行研究,利用統計學的方法獲得定性的結論[15–16].另外,最近Wu和Li[17]采用分層分布式的控制結構,對耦合網絡和通信信道中可能存在隨機干擾的Kuramoto型振子網絡討論全局相位和頻率同步的控制方案.

另外,研究耦合振子網絡相位同步調節速率的影響因素也是十分重要的問題.目前多數相關文獻都是推導出漸進同步或者是指數同步的條件[14,18–19]以增加調節速率.這些成果中均存在調節時間會受初始狀態影響的局限,而固定時間穩定性理論能夠解決這一問題.例如,Wu和Li[20]利用多層結構的分布式控制方式,針對Kuramoto型振子網絡的相位同步和頻率同步問題給出了有限時間和固定時間的解決方案,并在隨后的研究中進一步改進控制器的形式,減少了實現固定時間控制時控制信號的抖振現象[21].

為了提高Kuramoto型振子網絡同步控制的魯棒性,如何放寬對初始條件和網絡通信的要求,同時設計具有抗干擾能力的控制策略成為了一個重要的研究方向.具體來說,對Kuramoto型振子網絡的同步控制通常需要更強的魯棒性和分布式的控制結構[9].然而目前研究成果多側重考慮提升魯棒性,但從分布式結構的角度進行優化的結果還較欠缺.分布式的網絡化控制必須要考慮計算及監測資源的有限性和網絡通道的擁塞.目前在復雜網絡系統控制領域,解決此類問題的主要手段就是引入事件觸發機制[22–26],且當復雜網絡中存在隨機干擾時,也會給事件觸發條件的設計和Zeno行為的分析帶來一些技術上的難度,因此目前該方向的結果還比較少[27–29].目前已有的類似結果對于解決Kuramoto網絡的同步問題大多不能提供更直接的方法指引,且對于拓撲變化的耦合振子網絡的情況還沒有相應的結果.筆者在前期工作[30–31]中引入了事件觸發機制,優化了控制動態表現且降低了網絡通信資源的占用,但是沒有充分考慮耦合通道中存在隨機干擾對網絡同步控制性能的影響,以及隨機干擾對Zeno行為的理論分析的影響,而目前針對Kuramoto網絡同步的文獻中,仍欠缺能夠綜合抵抗耦合中的隨機干擾、事件觸發機制下固定時間內完成同步、適應切換的網絡拓撲這3個需求的結果.

綜合考慮目前的相關結果和存在的問題,本文針對耦合網絡中存在隨機干擾的Kuramoto型振子網絡,引入事件觸發的分布式控制機制,降低計算資源和通信資源的占用.同時,采用具有不同拓撲的多層分布式控制網絡結構,適應切換的拓撲,并對隨機干擾具有一定的魯棒性.本文主要貢獻總結為:

1)在事件觸發機制下,針對Kuramoto型振子網絡設計了具有不同拓撲的多層分布式控制結構.相比于筆者的前期工作(文獻[30]),其控制網絡各層可以設置不同的連通度.本文中,同步收斂的調節速率不會受較弱的耦合強度及未知的初始節點狀態影響和耦合網絡拓撲變換影響.

2)對耦合網絡中可能存在的隨機干擾項進行了合理的建模,借助隨機微分方程理論和固定時間事件觸發控制給出了新的控制方案,相比于文獻[30]的多層網絡結構,本文所提出的控制方案額外增加了用于抵消隨機干擾的控制層,增強了魯棒性.

3)相比于現有的Kuramoto 型振子網絡同步控制的結果,如文獻[17,20–21],本文綜合考慮了隨機干擾、耦合網絡拓撲變化的影響,以及同步誤差收斂的速度,并利用事件觸發機制減少了計算和通信資源的占用.對Zeno行為進行了理論分析,根據改進的測量誤差重新設計了Lyapunov函數,使用It?o公式和Kuramoto網絡的耦合動態特性,經不等式放縮之后得出相鄰觸發時刻間隔的下界.

符號說明:1N為維度為N的全1向量,Y X為矩陣,Y的X冪次矩陣,LYX表示圖G(Y X)的Laplacian矩陣,XT為矩陣或者向量X的轉置,λ2(·)和λN(·)分別為矩陣的第二最小特征值和最大特征值,E(·)為變量的期望,tr{·}表對矩陣求跡,sgn(·)為符號函數,tanh(·)為雙曲正切函數.

2 預備知識

2.1 代數圖論

2.2 問題闡述

為了便于描述,此處給出隨機Kuramoto型振子網絡的同步控制模型.本文主要考慮來自振子耦合通道中產生的隨機干擾,所研究的Kuramoto型隨機振子網絡模型如下:

其中: 集合Θ表示整個圓周上的相位角;振子的相位θi ∈Θ;K >0表示耦合強度系數;N為網絡中的振子節點總數;ωi ∈R表示振子i的自然頻率或固有頻率,并且滿足|ωi|≤,其中是已知正常數;aij(t)表明耦合拓撲是時變的,其變化特性將在隨后的假設條件1中給出解釋.針對每個振子節點設計一個控制器,這些控制器構成一個分布式控制網絡,將控制網絡稱為控制層,耦合振子網絡稱為振子層.本文考慮來自于振子層的隨機干擾,以上模型中的隨機項Wi(t)具有如下形式:

其中:ζ表示噪聲的強度系數;pij表示耦合網絡通道的噪聲強度矩陣P中的元素,且P的Laplacian矩陣用LP表示.當且僅當aij(t)>0時,有pij>0,反之pij=0,即通常噪聲強度矩陣P對應的拓撲圖與耦合振子網絡的拓撲圖相同.由于同一個耦合通道內的噪聲強度相同,所以P具有對稱性.在本文中,認為在所有的耦合通道中噪聲在節點處對振子的動態起作用,整個耦合網絡環境內噪聲來源和形式相似.此處建模設定可以參考文獻[17]及文獻[23];w(t)為定義于具有自然濾子{Ft}t≥t0的完備概率空間(?,F,P)上的一維標準布朗運動(或稱維納過程).根據隨機干擾的耦合振子網絡模型(1),本文擬對其設計分布式控制器,以實現其固定時間相位同步控制.

參考文獻[32–33],本文對所研究的耦合振子網絡具有的拓撲變化特性做以下假設.

假設1耦合振子網絡連接的圖會在一個有限集合S={G1,G2,···,Gn}中變化,這一集合包含了所有耦合振子網絡可能出現的連接拓撲圖,并且集合內的圖均是無向連通圖.

為了便于描述連接拓撲圖的變化時序及切換時間,定義?N={1,2,···,n}是一個圖集合的標記集合.同時定義一個切換信號η(t)=[0,∞)→?N.于是,Kuramoto 型耦合振子網絡的連接拓撲即可以用Gη(t)(η(t)∈,Gη(t)∈S)描述,其拉普拉斯矩陣和鄰接矩陣分別表示為Lη(t)和Aη(t).

假設2在整個拓撲變化的過程中,噪聲強度連接構成連通圖,且對應的Laplacian矩陣LP的最大特征值存在上界.

2.3 定義及引理

定義1文獻[17]帶有隨機干擾項的Kuramoto型振子網絡模型(1),對于分布式控制輸入ui(t)和給定任意振子節點相位初始狀態θi(0)都可得一個與初始狀態無關的常數Tmax,滿足期望調節時間E(T)≤Tmax,且=1,其 中i,j=1,···,N,則定義耦合振子網絡能夠以概率1全局固定時間相位同步,Tmax則為最大全局相位同步調節時間.

定義2帶有隨機干擾項的Kuramoto型振子網絡模型(1),對于分布式控制輸入ui(t)和任意節點相位初始狀態θi(0)都可得一個與初始狀態無關的常數Tmax,滿足期望調節時間E(T)≤Tmax,且|θi(t)-θj(t)|≤e}=1,其中i,j=1,···,N,e為一預設充分小的正常數.則定義耦合振子網絡能夠以概率1全局實際固定時間相位同步,Tmax則為最大全局相位同步調節時間.

引 理2[35]對任意一實值變量x ∈R,都 有0 ≤|x|-xtanh(γx)≤,其中γ ?1,且ι=0.2785是一個常數.

引理3[36]考慮一N維隨機微分方程,dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),t≥t0,其中x ∈RN表示N維狀態向量,其初始值為x(t0).同時f:RN →RN以及g:RN →RN×M為連續函數,并滿足f(0)=0,g(0)=0.B(t)=[b1··· bM]為M維標準布朗運動(或稱維納過程),˙B(t)對應為M維獨立高斯白噪聲,并且對連續二次可微的徑向無界非負函數V(x):RN →R+,根據It?o 公式可得到其擴散算子LV有如下形式:

引理4[37]如果存在一個連續二次可微的徑向無界非負函數V:RN →R+,并且對于任意x ∈RN,算子LV(x)都有

那么可以稱閉環系統能夠依概率固定時間穩定,其中:a>0,b>0,0<α<1,β >1均為常數,并且有全局固定時間收斂調節時間T滿足E(T)≤1/(a(1-a))+1/(b(β-1)),此處E(T)是一個隨機變量,并且滿足滿足E(T)∈(0,+∞).

3 主要結果

本文設計了一種具有分層結構的耦合振子同步控制網絡,構建的控制網絡包含3 層結構,這3層控制網絡節點連接的拓撲圖分別記為G(B),G(C)和G(R),這3個圖均需要設計為連通圖.每個網絡振子節點都有自己的一組非周期控制序列,其控制信號值在自己的事件觸發時刻完成計算和更新,三層控制網的觸發時刻不作區分.如振子i的觸發時刻標記為,···}.本文將振子節點互連構成的真實網絡稱為耦合網絡.振子i的分布式控制器的具體形式為

事件觸發判別函數定義為

其中δ ∈(0,1)為事件觸發參數,可以根據實際需要選取.事件觸發判斷函數(7)表明,振子i需要監測|εi(t)|的值,當gi(t)≥0時,振子i的控制器觸發并更新控制信號.根據gi(t),可以獲得下一個觸發時刻,即

定理1?K>0,?θi(0)∈Θ,在具有滿足假設1條件的時變無向連通圖Gη(t)耦合作用下,針對含有滿足假設2隨機干擾的Kuramoto模型振子網絡(1),若使用事件觸發分布式控制器(5)及事件觸發判別函數(8),且選取各參數及控制網絡的連通度滿足如下條件:

選取如下Lyapunov函數為V=,借助隨機微分方程理論中的微分算子L對其作用可得

因此,結合文章中所給出的參數條件,以及控制信號與測量誤差的代數關系,可得

考慮到平均相位誤差ei(t)=θi(t)-(t),得到θi(t)-θj(t)=ei(t)-ej(t).同時,考慮到本文中討論的無向連接拓撲圖的Laplacian矩陣具有對稱性,得

當|ej(t)-ei(t)|>0時,參考引理1,式(14)可變為

對于函數sin(·)/(·),其取值范圍為[cos?,1),其中tan?=?,且? ∈±(π,2π),有

參考引理1有

選取滿足定理1中條件的控制器參數,即可以實現

根據引理3,可以證明所設計的控制器可以使得整個振子網絡在不受初始狀態的影響下于指定時間內達到相位同步.期望調節時間的上界為

證畢.

注1定理1中所列出的控制器參數條件及控制網絡連通度條件,均與耦合網絡的具體拓撲無關.另外,在證明過程中可以發現,在已知噪聲網絡連通度上界的情況下,所設計的Lyapunov 函數形式也與耦合網絡的拓撲變化無關.因此,本文所設計的分層式控制網絡可以處理耦合網絡拓撲時變時的相位同步控制問題.

注2相比于本文的前期工作(文獻[30–31]),本文所提出的控制網絡的各層,可以根據不同的需求選取不同的連通度.即本文控制器(5)中涉及的各網絡鄰接參數bij,cij,rij可以不同,而文獻[30]中需要均與耦合振子網絡中的aij相同.另外,隨機干擾的存在并沒有對最終固定時間同步的結果產生影響,魯棒性增加.

注3根據定理1中提供的條件,控制網絡各層包含固定時間調節、非線性項抵消、隨機干擾抵消3個功能.根據式(18),越小的δ可以獲得更快的同步調節速度.在某些特殊情況下(如有較大的耦合系數K),通過選取較小的δ來保證式(18)中的項前的系數為正數.較大的控制網絡參數λ2(LR)和ρ3可以保證式(9)成立,并增強魯棒性.

推論1針對耦合通道存在隨機干擾的振子數為N的Kuramoto模型振子網絡(1),其他參數假設條件及控制方法與1中相同,若其振子耦合拓撲圖變化集合S中存在不連通圖,則Kuramoto型振子網絡(1)仍可以實現依概率相位實際固定時間同步.

證 若切換拓撲集合S中有存在不連通的拓撲圖,由于鄰接矩陣A和P仍具有對稱性,則仍然能夠得出鄰接矩陣A和P相關的不等式

由于式(7)中使用的測量誤差εi(t)中含有符號函數,因此在對事件觸發條件進行Zeno行為分析的時候會產生奇異問題.因此用雙曲正切函數代替εi(t)中的符號函數,以完成Zeno行為分析.參考引理2,可以得出LV≤-.其具體推導過程與定理1類似,因此省略.即使用雙曲正切函數可以使Lyapunov 函數最終收斂至一個很小的0的鄰域內,而不是完全收斂至0,實現實際固定時間同步,類似的處理方案和結果可以參考文獻[25,38].由于參數γ ?1 可調,因此,最終收斂鄰域大小可以人為地根據實際需求進行調節.

在前期工作文獻[30]中,針對Zeno行為進行分析時,由于不存在隨機干擾,可以直接對事件觸發條件中的測量誤差的絕對值進行求導,再通過不等式放縮獲得兩次觸發時間間隔的下界.而本文中針對測量誤差函數進行數學代換,之后重新設計合適的Lyapunov函數,借助隨機微分方程和It?o公式,在代入具有隨機微分的各項后進行不等式放縮,最后推出兩次觸發時間間隔的下界.

定理2保持控制器(5)形式不變,選取替換雙曲正切函數后的事件觸發測量誤差,并代入式(7)得到新的事件觸發判別函數,可以保證Kuramo型耦合網絡在實現實際固定時間相位同步的動態過程中不出現Zeno行為.

根據隨機微分理論,具體有

依照上述定義,可以將hi(t)的微分表示為

測量誤差可以表示為εi(t)=hi()-hi(t),隨后針對測量誤差設計Lyapunov函數

根據定理1中的分析及替換觸發函數后收斂性的分析,Lyapunov函數V1的導數可以保證非負,可知網絡相位同步誤差是收斂的.因此對于tr(t)ψi(t)},可得

4 仿真分析

本節使用一個具有6節點的多層結構Kuramoto型振子網絡控制系統,對所給出控制方案的有效性進行驗證,耦合拓撲關系變化方式如下圖1所示.

圖1 振子耦合層網絡拓撲變化示意圖Fig.1 The network topology transformation of oscillator coupling layer

拓撲變化的圖集合為S={G1,G2,G3};切換信號選取為η(t)={1,t∈[0,0.2);2,t∈[0.2,0.6);3,t ∈[0.6,+∞)}.G1,G2,G3的Laplacian矩陣分別用L1,L2,L3表示.

控制器結構包含3層網絡,其拓撲結構對應的鄰接矩陣分別記為R,B,C,與控制器(5)中描述對應.在下面的仿真中,選擇其Laplacian 矩陣分別為L(B)=L3,L(C)=L2,L(R)=L1,于是可以得到λ2(LB)=0.8851,λN(LB)=2,λ2()=1.382,λ2(LR)=1,λ2()=1,控制器的相關參數選取為ρ1=2,ρ2=8,ρ3=0.1,μ=,δ=0.01,雙曲正切函數中的參數γ=200.將以上參數代入定理1中的不等式進行驗證,均滿足條件.因此在控制器(5)的作用下,上述情況的耦合振子網絡可以達到依概率相位固定時間實際同步,并計算出期望調節時間的上界為E(T)≤Tmax=5.911 s.具體仿真結果如圖3–4所示.

圖3 各振子相位變化過程(噪聲強度ζ=1)Fig.3 Phase of each oscillator(noise intensity ζ=1)

圖4 各振子控制節點觸發時刻(噪聲強度ζ=1)Fig.4 Triggering time of each oscillator control node(noise intensity ζ=1)

由圖3可知,各振子節點約在1.15 s達到實際相位同步,小于期望調節時間Tmax.振子網絡的連接拓撲結構并不會影響整個網絡的相位同步調節過程.另外可以觀察到各振子的相位差收斂到一個很小的域內,故整個網絡達到了依概率實際固定時間相位同步.

另外,為了說明本文提出的控制方案對Kuramoto型振子網絡中存在的隨機擾動具有一定的魯棒性,在不改變耦合拓撲、初始狀態和控制器參數的條件下,將噪聲的耦合強度系數ζ改為2,仿真結果如圖5–6所示.

圖5 各振子相位變化過程圖(噪聲強度ζ=2)Fig.5 Phase of each oscillator(noise intensity ζ=2)

圖6 各振子控制節點觸發時刻圖(噪聲強度ζ=2)Fig.6 Triggering time of each oscillator control node(noise intensity ζ=2)

在增大噪聲強度系數之后,Kuramoto型振子網絡仍然可以保證在期望調節時間上界Tmax之內完成實際固定時間相位同步.盡管相位狀態的波動情況更明顯了以及觸發次數增加了,但是仍然可以保證最終相位調節效果基本不變.在實際應用中,也可以通過調節參數γ來進一步縮小最終相位差.

5 結論

本文討論了帶有隨機干擾的Kuramoto型振子網絡的固定時間相位同步控制問題.首先,基于Kuramoto模型給出存在隨機干擾的動力學方程,提出一種具有多層結構且各層拓撲不同的分布式控制方案.隨后,引入事件觸發機制,參考隨機微分方程理論和固定時間穩定性理論,證明了所提出的方法可以使得耦合拓撲時變條件下的Kuramoto 振子網絡完成相位固定時間同步.隨后在觸發條件中使用雙曲正切函數代替符號函數,針對新的測量誤差設計了Lyapunov函數,并證明所提出的事件觸發控制方法能夠避免Zeno現象的出現.最后,通過仿真算例驗證了算法的有效性和魯棒性.