計及應力水平效應的復合材料剩余強度概率模型

馬輝東,曾世龍,2,馬強,白學宗,安宗文*

（1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；2.甘肅省特種設備檢驗檢測研究院 國家風電設備質量檢驗檢測中心(甘肅)，蘭州 730050）

纖維增強復合材料在航空航天、風力發電等重大領域主承力部件(如風電葉片)上的廣泛應用[1]、工程結構中材料設計許用值的逐漸提高[2]及越來越高的輕量化要求，使復合材料結構的疲勞問題不斷顯現[3-5]。然而，復合材料結構疲勞特性的數學表征卻是一個極其復雜、耗財耗時的過程，主要原因有二：首先，復合材料的各向異性和不均勻性本質加劇了復合材料結構疲勞演化的復雜程度，其疲勞破壞歸因于不同尺度上的多種損傷模式的擴展、耦合及累積效應[6]；其次，組分材料、加工工藝及固有缺陷等(如纖維錯位、空隙、未反應的樹脂、殘余應力等)的多樣性使每個復合材料結構都具有獨特的疲勞性能[7]，且這些復材結構的疲勞演化過程與應力水平、應力比等加載條件直接相關?？梢姀秃喜牧辖Y構損傷模式、加工缺陷的多樣性及損傷演化對加載條件的依賴性，使復合材料結構的數學表征極具挑戰性。此外，由于不同復材結構的內部缺陷和鋪層配置的差異性，其疲勞試驗結果必然具有較強的分散性，因而復合材料疲勞的數學表征應采用統計學手段[8]。

通過對復合材料試樣在恒幅正弦波載荷的激勵下開展大量的疲勞試驗研究發現，復合材料疲勞存在以下幾點明顯特征：(1) 復合材料試樣的疲勞試驗數據具有明顯的統計特性[7]；(2) 強度退化的突然死亡特征，即復合材料試樣的強度在前約90%的載荷循環中平穩緩慢地下降，而在最后不到10%的載荷周期內，強度迅速退化至最大加載應力值并發生失效[9]；(3) 剛度退化的快-慢-快三階段特性[10]；(4) 強度-壽命等秩假設的有效性[11]，即靜強度更高的試樣也具有更長的疲勞壽命，發生失效時的剩余強度更高。為了降低表征復合材料疲勞的試驗成本，研究者們分別基于強度退化和剛度退化提出了許多經驗性的宏觀唯象模型[4,7-8,10,12-16]，相較于剛度退化模型，強度退化模型優勢有二：首先，復合材料結構的剩余強度參數與其結構設計、可靠性分析等直接相關；其次，當剩余強度值退化至循環應力峰值時，試樣發生破壞，因此，基于強度退化的模型擁有天然的失效判據[7]。Halpin等[17]率先提出了基于剩余強度退化的疲勞理論，在此基礎上，大量強度退化式的疲勞模型被先后提出。然而，其中多數模型屬于確定性模型，未計及復合材料疲勞數據的分散性和統計特征[18]。Passipoularidis等[19]基于大量的剩余強度試驗數據，對比分析了文獻中的幾種經典剩余強度模型并得出結論：多數模型的預測依賴于大量的試驗投入，且預測結果多不保守，從設計者的角度來看，Broutman等[12]的線性模型仍然是當前工程應用中的首選。此外，大量模型是基于特定的載荷狀態(應力水平和應力比等)和鋪層配置提出的，難以通用于其他載荷狀態和鋪層結構，這也是限制剩余強度類模型進一步應用的主要屏障[15]。為了克服這個不足，Shokrieh等[20]最先提出了一個通用型剩余性能退化模型，該模型能夠預測任意應力比下單向層合板的疲勞行為。Stojkovi?等[15]提出了一個考慮應力水平影響且獨立于應力水平的通用型剩余強度模型，該模型能僅用一組模型參數預測多個應力水平下的剩余強度退化過程，能大大減少確定模型參數所需的試驗投入，缺點在于所提出模型是一個確定性模型，未計及復合材料剩余強度的統計特征。而當前公開發表的考慮載荷因素影響(或者獨立于載荷因素，即應力水平、應力比等)的通用型模型非常有限，因此，開發具有通用性的疲勞模型對于擴大其應用范圍、降低試驗成本都具有重大意義。此外，復合材料結構在實際服役時，必然承受由多個應力水平組成的變幅載荷，已有研究表明，變幅加載順序的不同會直接影響復合材料結構的疲勞行為[7,21-23]。為了降低復合材料變幅疲勞響應的復雜性，大量研究將變幅范圍限制在二級變幅加載(即只有高、低兩個應力水平)，并試圖建模這種變幅順序效應。Paepegem等[24]通過回顧一系列變幅疲勞試驗發現，有一些試驗結果表明：從低到高的加載順序對復合材料試樣的損傷比從高到低的加載順序更嚴重，而另一些試驗則得到相反的結論。變幅加載順序的損傷無規律性給疲勞建模工作帶來了嚴峻的挑戰，因此，極有必要開發一個適用于變幅加載疲勞預測的模型，并驗證其考慮變幅加載順序的能力。

鑒于此，本文通過將一個概率型疲勞壽命模型耦合進剩余強度模型，提出一個計及應力水平效應的概率型剩余強度模型；再利用文獻中的疲勞試驗數據，從恒幅和變幅兩個角度出發，驗證所提模型的準確性、適用性和統計性，從而降低確定剩余強度模型參數所需的試驗成本，提高模型的通用化程度。

1 纖維增強復合材料的剩余強度

1.1 恒幅加載下復合材料的剩余強度

基于D'Amore[9]提出的冪律模型(如下式所示)，推導同時適用于恒幅與變幅加載預測的剩余強度模型：

式中：σR表示n次循環之后的試樣剩余強度；a和b表示給定加載條件下的正模型常數。首先，假設正參數b取決于所關注的材料類型與加載模式，其次，在假設正參數a與加載幅值Δσ間的線性關系(比例因子a0)的基礎上，即a=a0Δσ=a0σmax(1-R)可將上述基礎模型演化為考慮了應力比R的新模型，如下式所示：

式中：σ0表示材料的試驗靜強度；σmax表示循環應力峰值，代表應力水平；α和β是模型參數：

本文在進行模型推導時存在如下的3個假設：

假設1：當材料的剩余強度退化到最大應力水平值時試樣發生破壞，即σR=σmax，則可建立材料靜強度與疲勞壽命間的定量關系：

式中，σ0N表示根據疲勞壽命N計算得到的材料靜強度，以下簡稱計算靜強度。進一步對上式進行簡單的代數變換即可得到考慮應力比影響的應力-壽命(S-N)曲線表達式：

假設2：復合材料試樣靜強度的分布特性可用兩參數威布爾分布描述，則試樣的靜強度分布函數為

式中：P表示事件概率；χ表示任意實數；γ 是威布爾分布的尺度參數；δ是威布爾分布的形狀參數。

假設3：強度-壽命等秩，式(4)也可證明該假設的合理性，給定加載條件即最大應力水平和應力比，則可根據疲勞壽命值反算出試樣的靜強度值。根據強度-壽命等秩假設，可推導出試樣疲勞壽命的分布函數為

根據上式即可得到給定失效概率F(N*)的疲勞壽命N*的計算公式：

為了在剩余強度模型中計及應力水平效應，采用了文獻[15]中的方法，即利用歸一化強度儲備模型還原剩余強度表達式，這里的強度儲備和歸一化強度儲備的概念解釋如圖1所示。

圖1 歸一化強度儲備的概念：(a) 剩余強度與強度儲備；(b) 歸一化剩余強度與歸一化強度儲備Fig.1 Concept of normalized strength reserve: (a) Residual strength and strength reserve; (b) Normalized residual strength and normalized strength reserve

圖1中σR和σr分別表示材料的剩余強度和強度儲備，剩余強度與強度儲備間相差一個臨界強度σc，即σr=σR-σc，根據假設1，當材料強度退化至所施加的最大應力水平時，材料發生失效，也就是σc=σmax。因此，當材料發生失效時，剩余強度將退化至臨界強度值，而強度儲備將退化至0。與歸一化剩余強度類似，歸一化強度儲備就是某一循環次數下的材料強度儲備與初始強度儲備(σ0-σc)的比值，其中的σ0表示材料的靜強度。從定義不難看出，歸一化強度儲備的定義域和值域都是[0,1]。這里，選擇Stojkovi?等[15]提出的式(9)所示的歸一化強度儲備模型，所不同的是式中的疲勞壽命N*不再是一個定值，而是一個隨機變量：

式中：σr,n表示材料的歸一化強度儲備；μ 和 ν 表示待定的模型參數。

根據式(9)還原試樣的剩余強度模型如式(10)所示，通過式(10)即可得到給定失效概率的試樣強度退化規律。采用歸一化強度儲備還原剩余強度的優勢在于僅用有限個應力水平的試驗數據即可預測任意應力水平下的剩余強度的退化規律。

1.2 變幅加載下復合材料的剩余強度

復合材料在隨機載荷譜下的響應極其復雜，通過將隨機載荷譜等效轉換為i個應力水平為σmax,i、應力比為Ri的恒幅載荷塊，是一種簡化隨機載荷譜的有效手段[7]。轉換后的多幅值載荷塊雖然在各自應力水平的載荷塊內是恒幅的，但當從第i個載荷塊跳躍至第i+1個載荷塊時，屬于變幅加載，且存在應力水平升高的升序變幅(從第i+1載荷塊到第i載荷塊)和應力水平降低的降序變幅(從第i載荷塊到第i+1載荷塊)兩種情況，如圖2所示。

圖2 兩個連續載荷塊的加載示意圖Fig.2 Loading diagram of two continuous load blocks

對于承受多水平變幅載荷譜的復合材料試樣的剩余強度計算方法如圖3(a)和圖3(b)所示，言簡意賅起見，這里仍以包含兩個水平載荷塊的載荷譜為例進行說明。首先，根據式(10)所示的剩余強度模型繪制出各自應力水平下(即σmax,i,Ri,ni和σmax,i+1,Ri+1,ni+1)的剩余強度退化曲線，如圖3(a)和圖3(b)中細實線所示；其次，根據第一個載荷塊加載結束時(圖3(a)和圖3(b)中A點)的剩余強度σR(σmax,i,mi)與第二個載荷塊加載開始時的剩余強度σR(σmax,i+1,mi+1,i)相等的原則，求得按第二應力水平加載至該剩余強度值時的等效載荷循環次數mi+1,i，即可將強度退化過程從第一條剩余強度退化曲線等效轉移至第二條剩余強度退化曲線，進而從B點開始，繼續沿第二條退化曲線退化至C點?？梢?，該變幅轉換的本質是利用前一載荷塊加載結束時的剩余強度與后一載荷塊加載開始時的剩余強度值相等的原則，將含多個應力水平載荷塊的變幅加載效應等效轉換到只含一個應力水平的恒幅剩余強度退化曲線上的過程。

圖3 變幅加載下的剩余強度退化路徑：(a) 低-高 (L-H)；(b) 高-低 (H-L)Fig.3 Residual strength degradation paths under variable amplitude loading: (a) Low-high (L-H); (b) High-low (H-L)

這種將試樣剩余強度在不同應力水平退化曲線間等效轉移退化的變幅處理方式最早是由Yang等[25]提出，并被Broutman等[12]用于變幅加載的試驗研究，從而代替線性Miner累加理論。因此，基于式(10)并令兩個應力水平下的剩余強度值相等，則有

式中：σR(mi)表示第i個載荷塊加載mi次時的剩余強度值；類似的，σR(mi+1)表示第i+1個載荷塊加載mi+1次時的剩余強度值；Ni*表示在σmax,i加載條件下，給定失效概率的疲勞壽命；表示在σmax,i+1加載條件下，給定失效概率的疲勞壽命；σ0,m表示試樣的初始靜強度；mi+1,i表示與第i個載荷塊產生相同強度退化量時需要第i+1個載荷塊施加的等效循環次數。根據式(11)即可求出等效循環次數mi+1,i：

則經過第i和i+1兩個載荷塊加載之后試樣的剩余強度為

式中，=mi+1,i+mi+1。

上述恒幅和變幅加載條件下復合材料試樣的剩余強度預測方法將分兩步進行驗證，首先，驗證在恒幅加載條件下通過一組模型參數預測多個應力水平下強度退化和模型考慮統計效應的能力；其次，驗證在變幅值加載條件下模型考慮加載順序的能力。

1.3 損傷評估準則

工程中最常用的線性損傷累積準則為[12]

而基于剩余強度的疲勞損傷累積模型可定義為每個載荷塊加載時的相對強度退化量的總和[7]，其顯示表達式如下：

2 試驗數據

為了驗證所提出的恒幅和變幅加載條件下復合材料剩余強度預測方法的可靠性，采用了Post等[22]公開發表的試驗數據。試驗所選用的單層材料為Vetrotex 324機織粗紗，基體材料為Dow Derakane 510 A乙烯基酯樹脂，并以[0/+45/90/-45/0]s的準各向同性疊層順序制造成復合材料層壓板。Post等[22]的研究中涉及的測試包括20次靜強度拉伸測試(表1)、88次恒幅疲勞測試、189次剩余強度測試，限于篇幅，其余詳細試驗數據參見文獻[22]。其中，恒幅疲勞測試在6個應力水平下執行，得到的疲勞壽命跨度可從900到150萬次。而變幅疲勞測試在22個應力水平下執行，載荷總循環次數達到735 641次。材料的剩余強度在循環次數達到相應應力水平的疲勞壽命的固定百分比時進行破壞測試，所采用的固定百分比分別為10%、30%、50%、60%及70%。恒幅疲勞壽命測試和剩余強度測試均在應力比R=0.1和加載頻率f=10 Hz下執行，一些試樣在測試中出現的過早失效問題在此不予考慮。

表1 鋪層順序為[0/+45/90/-45/0]s的VARTM E-玻璃/乙烯基酯的靜拉伸強度[22]Table 1 Static tensile strength of VARTM E-glass/vinyl ester with a lay-up sequence of [0/+45/90/-45/0]s[22]

此外，另外一組來自文獻[26]的試驗數據也被用來驗證所提出模型的恒幅與變幅預測能力。試驗中選用的單層材料為T300/934石墨/環氧樹脂，并以[0/45/90/-452/90/45/0]2的鋪層順序制造成為復合材料層壓板。試驗中涵蓋了表2所示的25個試樣的拉伸靜強度試驗、60個試樣的疲勞壽命試驗及3個應力水平下(即290 MPa、345 MPa及400 MPa)的剩余強度試驗。

表2 鋪層順序為[0/45/90/-452/90/45/0]2的T300/934石墨/環氧樹脂的靜拉伸強度[26]Table 2 Static tensile strength of T300/934 graphite/epoxy with a lay-up sequence of [0/45/90/-452/90/45/0]2[26]

3 模型驗證與結果討論

3.1 VARTM E-玻璃/乙烯基酯復合材料的恒幅剩余強度預測

本節將采用文獻[22]中的試驗數據對第1.1節提出的恒幅和第1.2節提出的變幅加載下復合材料試樣的剩余強度預測方法進行驗證。結合式(8)和式(10)可知，要預測給定失效概率和加載工況下的剩余強度值，共需借助疲勞試驗確定α、β、γ、δ、μ及ν這6個模型參數。首先，為了確定模型參數α和β，將文獻[22]中的靜強度試驗數據和疲勞壽命數據代入式(5)，并利用最小二乘回歸法擬合得到模型參數α=0.1909，β=0.1932，相應的S-N曲線如圖4所示。

圖4 VARTM E-玻璃/乙烯基酯的應力-壽命(S-N)曲線[22]Fig.4 Stress-life (S-N) curve for VARTM E-glass/vinyl ester[22]

其次，為了得到模型參數γ和δ，需要將復合材料試樣的靜強度試驗數據代入式(6)進行擬合，分別得到威布爾分布的尺度參數值γ和形狀參數值δ。此處，靜強度數據可以是通過靜拉伸試驗測得的試驗靜強度數據，也可以是根據式(4)和疲勞壽命數據計算得到的計算靜強度數據，兩種數據的威布爾曲線擬合結果如圖5所示。理論上講，根據試驗靜強度和計算靜強度擬合得到的兩條曲線應該是重合的，而由圖5(a)亦可看出兩者實際不重合，究其根本原因是疲勞測試和靜力測試間的加載應變率差異明顯且未被考慮[2]。譬如文獻[22]中，疲勞測試的加載頻率為10 Hz，應力水平σmax跨度從100 MPa到240 MPa，則應力水平從谷值到峰值的加載時間為0.05 s，平均加載率的跨度區間為2 000～4 800 MPa·s-1，進而根據給定的材料剛度為25 000 MPa，可確定疲勞測試時的平均應變率為0.08～0.192 s-1。另一方面，靜力測試時的加載速率為667 N·s-1，根據試樣的橫截面積(150 mm2)即可確定平均加載率為4.45 MPa·s-1，則相應的平均應變率為1.78×10-4s-1。由此可見，靜力測試的平均應變率較疲勞測試的平均應變率低了3個數量級，進而導致圖5(a)所示的差異。為了盡可能縮小這種差異的影響，將試驗靜強度和計算靜強度進行合并，并仍然根據式(6)擬合得到合并靜強度數據的威布爾統計分布，如圖5(b)所示，相應的模型參數值分別為γ=340.6，δ=20.99。

圖5 VARTM E-玻璃/乙烯基酯的靜強度累積概率分布[22]：(a) 試驗與計算靜強度；(b) 合并靜強度Fig.5 Cumulative probability distributions of static strength for VARTM E-glass/vinyl ester[22]: (a) Experimental and calculated static strength;(b) Mixed static strength

最后，為了得到模型參數 μ 和 ν，需要將各個應力水平下的剩余強度試驗數據轉化為強度儲備數據并進行歸一化處理，強度儲備σr與剩余強度σR間的關系為

進而通過將轉化后的3個應力水平(174 MPa、147 MPa及120 MPa)下的強度儲備數據擬合到式(9)，即可得到參數值：μ=0.1，ν=0.13。將這一組參數代入式(10)便可得到剩余強度在整個壽命區間的退化規律，通過引入歸一化強度儲備反推剩余強度的優勢在于僅用一組模型參數即可確定任意應力水平下的剩余強度退化規律，大大節約了試驗成本。最終的歸一化強度儲備曲線及3個應力水平下的剩余強度退化曲線如圖6(a)～6(c)所示。

圖6 模型參數擬合與VARTM E-玻璃/乙烯基酯的剩余強度預測曲線：(a) 歸一化強度儲備擬合曲線與試驗數據[22]；(b) 置信區間為5%～95%的剩余強度預測區間與試驗數據[22]；(c) 失效概率為50%的剩余強度預測曲線與試驗數據[22]Fig.6 Model parameter fitting and residual strength prediction curves for VARTM E-glass/vinyl ester: (a) Normalized strength reserve fitting curve vs.experimental data[22]; (b) Residual strength prediction band with confidence interval of 5%-95% vs.experimental data[22]; (c) Residual strength prediction curves with 50% failure probability vs.experimental data[22]

圖6(a)中，歸一化強度儲備曲線的擬合優度為R2=0.8031，由于用于歸一化強度儲備擬合的試驗數據來自3個不同的應力水平，數據分散性相對單個應力水平更強，因而導致曲線的擬合優度不高。將歸一化強度儲備擬合得到的一組模型參數代入3個應水平的剩余強度模型，得到了3個應力水平的剩余強度預測曲線與試驗數據的對比如圖6(b)所示，圖中的上、下限分別對應失效概率為0.95和0.05時的剩余強度預測曲線，由圖6(b)可知，幾乎所有的試驗數據點都準確地散落在置信分布帶之內。此外，為了更明確地證明模型的預測精度，給出了在50%失效概率下的模型預測曲線與試驗數據中值的對比，如圖6(c)所示，通過給定圖6(a)中擬合得到的模型參數，采用最小二乘法進行擬合計算得到3個應力水平下(即174、147及120 MPa)的擬合優度R2分別為0.94、0.84及0.97。因此，可以認為所提出模型僅用一組模型參數即可準確地刻畫3個應力水平下試樣剩余強度的退化規律，證明了模型獨立于應力水平及預測強度退化過程的能力。

3.2 T300/934石墨/環氧樹脂與VARTM E-玻璃/乙烯基酯復合材料的變幅剩余強度預測

3.2.1 算例1：T300/934石墨/環氧樹脂

基于文獻[26]的試驗數據并遵循與3.1節相同的驗算流程，結果同樣表明所提出模型具有應力水平獨立性和表征剩余強度統計特性的能力，限于篇幅，這部分內容不再詳述。根據表3所示的變幅加載方案，依據式(10)～(15)對變幅加載工況下的剩余強度及疲勞損傷進行預測，圖7和圖8表示兩個應力水平和3個應力水平的降序和升序變幅加載剩余強度的預測情況，進而計算出各自工況下的疲勞累積損傷，并與采用文獻[7]中的方法和線性累積損傷理論計算得到的損傷值進行比較，結果如表3所示?？芍?，根據文獻[7]的方法計算的累積損傷值明顯高于線性累積損傷值，而根據式(15)計算得到的累積損傷值明顯低于線性累積損傷值。這是由于文獻[7]的剩余強度模型并不完全遵循強度的“突然死亡”特征，該強度退化模型的最后階段仍然是較平緩的衰退曲線，甚至在強度退化至接近臨界強度值時，退化曲線還有漸進水平的趨勢。這樣的模型特征導致了強度退化中間階段的退化量較顯著，因而該模型預測的累積損傷值偏高。工程中應用最為廣泛的線性累積損傷理論是一種非常保守的理論，而模型的過于保守必然導致結構設計中強度過剩和材料浪費。因此，基于強度退化的損傷模型應準確且相對保守地預測結構的疲勞累積損傷，從而在結構設計階段保證結構強度的同時，最大程度地實現結構輕量化。由此可知，基于強度退化的疲勞累積損傷預測值小于線性累積損傷值是更合理的預測結果。

表3 T300/934石墨/環氧樹脂的非線性累積損傷與線性累積損傷的對比[7]Table 3 Non-linear cumulative damage of T300/934 graphite/epoxy in comparison to linear cumulative damage[7]

圖7 二級應力水平變幅加載的T300/934石墨/環氧樹脂剩余強度預測：(a) 高-低；(b) 低-高Fig.7 Residual strength prediction of T300/934 graphite/epoxy under variable amplitude loading containing 2 stress levels: (a) H-L; (b) L-H

由表3亦可知兩個應力水平的變幅加載工況中，升序加載造成的損傷0.5大于降序加載造成的損傷0.45，而在3個應力水平的變幅加載工況中，升序加載造成的損傷0.46小于降序加載造成的損傷0.48。因此，升序和降序變幅加載工況對復合材料結構損傷累積的影響大小并沒有統一的規律，就像Paepegem等[24]所述，“當從文獻中考究變幅這個主題時，僅僅能夠得出一個統一的結論：升序和降序加載哪種加載方式對復合材料疲勞壽命的影響更顯著是沒有統一定論的”。

此外，在當前算例中，即僅有兩到三級應力水平加載的情況下，單純的升序和降序加載對復合材料試樣壽命的影響并不顯著，若考慮到強度的分散性，則單調變幅加載順序對復合材料試樣壽命的影響可以忽略，這也與Post等[22]等的觀點相一致。

3.2.2 算例2：VARTM E-玻璃/乙烯基酯

為了使試驗中的變幅載荷更加符合實際工況，Post等[22]最初選擇了30個應力水平，總的疲勞測試循環次數將達到99 999 998次，能以接近真實的載荷工況測試30年壽命的長壽命結構。而考慮到測試時間的合理性，研究者將30個應力水平降低至22個，相應的總載荷循環次數降低至735 641次，具體應力水平及相應的載荷循環次數見表4。

表4 VARTM E-玻璃/乙烯基酯的變幅測試載荷譜[22]Table 4 Load spectra for variable amplitude testing of VARTM E-glass/vinyl ester[22]

取失效概率為50%和5%，根據式(11)～(13)的變幅剩余強度預測方法，得到升序和降序變幅加載下的歸一化剩余強度退化曲線分別如圖9(a)和圖9(b)所示，并與相應的試驗結果進行對比。

圖9 22級應力水平加載的VARTM E-玻璃/乙烯基酯剩余強度預測曲線與試驗數據[22]：(a) 50%失效概率的剩余強度預測；(b) 5%失效概率的剩余強度預測Fig.9 Residual strength prediction curves of VARTM E-glass/vinyl ester for 22 stress level loading vs.experimental data[22]: (a) Residual strength prediction for 50% probability of failure; (b) Residual strength prediction for 5% probability of failure

圖9(a)中的2條實線表示失效概率為50%時的變幅剩余強度預測曲線，升序加載時，模型預測剩余強度值為272 MPa，試驗中值為289 MPa，相對誤差為5.9%；降序加載時，模型預測剩余強度值為278 MPa，試驗中值為285 MPa，相對誤差為2.5%。同理，圖9(b)中的2條實線表示失效概率為5%時的變幅剩余強度預測曲線，升序加載時，模型預測剩余強度值為255 MPa，試驗最小值為260 MPa，相對誤差為2%；降序加載時，模型預測剩余強度值為257 MPa，試驗最小值為262 MPa，相對誤差為1.9%。由此可見，當可靠度選擇為50%時，所提出模型在升序與降序變幅加載中的預測值與試驗值的相對誤差不超過6%；當可靠度選擇為5%時，所提出模型在升序與降序變幅加載中的預測值與試驗值的相對誤差不超過2%，兩種可靠度下的預測結果都足夠準確，且在當前算例中所給定的可靠度越高，模型的預測誤差越小。另外，兩個加載順序下的模型預測誤差都處于試驗值的保守側，既避免了模型預測過于保守而明顯增加材料成本的問題，又足夠精確地預測了變幅加載工況下復合材料試樣的強度退化。

以上算例驗證中所涉及的模型參數如表5所示。值得一提的是，雖然所提出的模型在恒幅和變幅加載工況下都有較準確的預測結果，但仍然存在以下兩個不足：首先，在處理計算靜強度和試驗靜強度的差異性問題時，選擇了將兩組數據合并的處理方法，但從本質上來講，兩組數據存在差異是由于靜力測試和疲勞測試間的應變率存在明顯差異，當前研究中的處理方法并未考慮應變率效應。其次，對所提模型的變幅預測能力進行驗證時，僅僅考慮了升序和降序兩種情況，實際工況下的應力水平是隨機變化的，即應力水平不僅僅是單調升高和降低，應力水平非單調變化的變幅預測在本文中并未涉及。

表5 兩個算例(VARTM E-玻璃/乙烯基酯和T300/934石墨/環氧樹脂)涉及的模型參數Table 5 Model parameters involved in the two cases(VARTM E-glass/vinyl ester and T300/934 graphite/epoxy)

4 結 論

(1) 試驗靜強度與計算靜強度的威布爾統計分布存在明顯差異的原因是靜力測試和疲勞測試時的應變率相差過大，經簡單估算表明：疲勞試驗較靜力試驗的加載應變率高出3個數量級。

(2) 通過歸一化強度儲備還原剩余強度的方法能夠僅用一組模型參數去預測任意應力水平下的剩余強度。算例驗證表明，幾乎所有試驗數據點都分布在由95%置信上限和5%的置信下限界定的剩余強度分布帶之內，且50%可靠度下的預測曲線與試驗數據間具有高擬合優度值(R2值分別為0.94、0.84及0.97)，這都證明了所提出模型能在顯著降低模型參數依賴性的同時，準確地刻畫試樣的剩余強度退化過程。

(3) 若考慮強度的分散性，在僅有兩到三級應力水平加載的情況下，單調變幅加載順序(即單調升序與單調降序)對復合材料試樣壽命的影響可以忽略不計。

(4) 在對22個應力水平載荷塊的變幅加載預測中，當選擇可靠度為50%時，升序加載剩余強度預測值與試驗數據的相對誤差為5.9%，降序加載剩余強度預測值與試驗數據的相對誤差為2.5%；當選擇可靠度為95%時，升序加載剩余強度預測值與試驗數據的相對誤差為2%，降序加載剩余強度預測值與試驗數據的相對誤差為1.9%。因此，所提出模型在升序與降序變幅加載中的預測值與試驗值的相對誤差均不超過6%，預測結果足夠準確，且預測精度隨著可靠度的增加而有所提高。