基于粒子群-遺傳混合算法的深溝球軸承優化設計

葉 帥，余江鴻，姚齊水，唐嘉昌，李 睿

（湖南工業大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

隨著科技的不斷發展，機電產品的性能越來越高，對軸承類關鍵零部件的性能要求也不斷提高。軸承的平穩運行和高壽命是評價軸承服役性能的重要指標，通過對軸承結構參數進行優化設計可以改善軸承的服役性能，其相關研究一直受到科研工作者們的關注[1]。如李敬雍等[2]以軸承的額定動載荷及額定靜載荷為優化目標函數，采用粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）對軸承進行主參數優化，并通過 AutoCAD 軟件的二次開發實現軸承圖紙的自動生成與保存。實驗結果表明，優化方法能顯著提升滾動軸承的數字設計水平。朱晟等[3]利用線性分段函數和指數函數，對學習因子采用異步策略進行調整，實現了粒子群算法中的慣性權重和學習因子隨迭代次數的動態調整?？紤]到普通粒子群優化算法無法有效求解帶約束的優化問題，因此胡啟國等[4]基于標準粒子群算法，通過在原目標函數中加入懲罰項，將帶約束的優化問題轉化為無約束的優化問題，提高了軸承的使用性能。李佳琪等[5]根據軸承的約束條件分析了粒子群算法中的搜索步長、粒子數和迭代次數對軸承優化設計結果的影響。程超等[6]采用遺傳算法（genetic algorithm，GA），分別以求得軸承的最大額定動載荷和額定靜載荷為目標函數，對軸承進行優化設計，使得軸承的性能有了較大幅度提高。

在各種優化算法中，GA 算法在進行結構參數優化時，雖具有較好的全局搜索能力，但收斂速度較慢，需要進行多次迭代來確定全局最優解。PSO 算法因具有收斂速度快、參數少、算法簡單易實現的優點而被廣泛應用，但其在進行結構參數優化時，粒子易陷入局部最優解。因此，課題組綜合PSO 與GA 的優勢，提出了一種粒子群-遺傳混合算法，其針對粒子群算法難以求解帶約束的優化問題，在目標函數中引入懲罰項，將約束優化問題轉化為無約束優化問題；并對易陷入局部最優的粒子位置執行交叉和變異遺傳算法操作，將局部最優轉化為全局最優。在深溝球軸承優化數學模型的基礎上，對軸承結構參數進行優化設計，并將優化結果與PSO、GA 方法的優化結果進行對比分析；最后，進行應力分析和敏感度分析，驗證了所提方法的有效性。

1 深溝球軸承優化數學模型建立

1.1 目標函數

在深溝球軸承服役過程中，較高的額定動載荷（Cr）和額定靜載荷（Cor）可提高深溝球軸承的平穩運行和承載能力，有利于延長軸承的使用壽命。因此，本文擬以Cr和Cor作為深溝球軸承的優化設計目標函數。

深溝球軸承的額定動載荷可用式（1）進行計算[7]：

式中：bm為常用軸承鋼和良好加工方法的額定系數，其取值隨著軸承類型而不同，對于深溝球軸承，取值為1.3；Dw為滾珠直徑；Z為滾珠數量；fc為與軸承零件幾何形狀、制造精度及材料有關的系數，其一般表達式為

式中：λ為降低系數，對于深溝球軸承，λ為0.95；γ=Dw/Dj，其中Dj為節圓直徑；fi與fo分別為軸承的內、外圈滾道溝曲率半徑系數。

在運轉過程中，深溝球軸承在載荷作用下會產生一定的塑性變形，若塑性變形量過大，將會在滾道上產生不可逆的損傷，導致軸承的使用壽命下降。而當軸承在靜止條件下，所受的載荷不超過額定靜載荷時，則可有效地避免塑性變形對軸承正常運轉的影響。因此，提高軸承的額定靜載荷，對提高軸承的實際壽命以及運行的平穩性有著重要意義，深溝球軸承的基本額定靜載荷計算方法[8]如式（3）所示：

式中：ai、bi分別為滾珠與軸承內圈滾道接觸橢圓量綱為1 的長半軸與短半軸，其具體數值可以查詢表1獲得[4]。

表1 部分量綱為1 的接觸參數Table 1 Partial contact parameters with dimension 1

為提高分析效率，以Cr與Cor的加權之和G作為優化目標函數，并命名為聯合額定載荷，以便判斷Cr與Cor在優化目標中的重要程度，定義如式（4）：式中：a1、a2為線性加權系數，且a1+a2=1。

綜合上述，所構造的目標優化模型，要使得深溝球軸承的性能最佳，就需要G的值越大。通常優化求解時，只能求解函數的極小值問題。因此，通過對表達式G加負號來建立優化目標模型Y，將極大值問題轉換成極小值問題來求解，表達式如下：

1.2 設計變量

根據式（1）～（5），將滾動體直徑Dw、節圓直徑Dj、滾動體數目Z、外圈滾道溝曲率半徑系數fo和內圈滾道溝曲率半徑系數fi共5 個參數作為深溝球軸承的優化設計變量，如式（6）所示：

1.3 約束條件

1）滾動體直徑約束。滾動體直徑影響著深溝球軸承的Cr，根據滾動軸承設計經驗，軸承滾動體直徑應滿足：

式中：KDmax、KDmin為軸承直徑系列和滾動體強度有關的經驗常數，對于深溝球軸承，KDmax為0.8，KDmin為0.5；D為軸承的外徑；d為軸承的內徑。

2）節圓直徑約束。節圓直徑決定了軸承內外圈的厚度，對軸承疲勞壽命有一定的影響，為了保障深溝球軸承的實際使用壽命，軸承的節圓直徑應滿足：

式中：e為軸承正常旋轉的常量[9]，對于深溝球軸承，e取0.1。

3）滾動體數量約束。如圖1所示，為了便于深溝球軸承裝配，在軸承的優化設計中，滾動體的數量應滿足以下條件[9]：

圖1 深溝球軸承滾動體裝配示意圖Fig.1 Assembly diagram of rolling elements of deep groove ball bearing

式中：αmax為滾動軸承的最大裝配角，對于深溝球軸承，αmax取4.712 4 rad。

4）壁厚約束。深溝球軸承主要承受徑向載荷，滾動體與內圈滾道之間的應力大于外圈滾道所承受的應力，故壁厚應滿足如下條件：

式中：ε為與軸承外圈強度有關的常量，對于深溝球軸承，ε取0.1。

5）溝曲率半徑系數約束。軸承溝曲率半徑系數是影響軸承動態性能的重要結構參數，在軸承的設計與優化中，內、外圈滾道的溝曲率半徑系數應滿足如下條件[10]：

2 優化算法與計算流程

2.1 粒子群優化算法

PSO 是J.Kennedy 和R.Eberhart 共同提出的一種新群體智能優化算法[10]，用于解決多種方案中的智能尋優問題，在機械結構優化設計領域中得到了廣泛的應用。該方法利用初始生成的N個隨機粒子，經過反復迭代，使得粒子在多維中找到最優解。PSO通過追隨自身尋找到的最優解（個體極值pbest）和整個粒子群尋找到的最優解（全局極值gbest）來更新自己的位置，粒子個體與群體之間的速度和位置更新公式如下：

在粒子群算法中，慣性權重w是隨著進化代數的增加而線性遞減的減函數，如式（13）所示：

式中：gen為粒子群當前迭代次數；genmax為粒子群最大迭代次數。

2.2 罰函數

罰函數法是一種間接算法，其核心思想是利用原問題的約束函數和目標函數構造一個新的目標函數，即新的目標函數包括原函數和所有約束函數，并加入一個可變的懲罰因子[11]。當懲罰因子不斷變化時，會得到一系列函數，對不滿足約束條件并試圖越過約束邊界的不可行點進行懲罰，更新每個新目標函數的極值，直至收斂到原問題的最優解。對于一個非線性約束優化問題，一般可表示為

使得：

式（14）（15）中：f(x)為目標函數；gi(x)為不等式約束；hi(x)為等式約束。

因此，懲罰函數可以通過把式（14）的問題進行如下轉化：

2.3 交叉、變異操作

交叉與變異操作是GA 的重要內容，交叉操作將父代個體配對，進行一個或者多個基因位置重組，增加最優個體的出現機率，提高了全局搜索能力；變異操作通過改變個體內部的基因，來克服個體早熟收斂[12]。因此，在PSO 中引入GA 的交叉、變異操作，可以使得粒子更加適應種群環境，從而找到問題的全局最優解。

在粒子群-遺傳混合算法中，當每次迭代出現的全局最優值與上一代的全局最優值相同、出現的個數之和超過圖2 所設置的kmax時，則默認此時粒子已經陷入局部最優。此時，將對下一代粒子的位置進行GA 的交叉與變異操作，產生子代，然后與父代進行比較，選取適應度值較高的子代再進行下一代進化。通過引入GA 的交叉、變異操作，可以增加粒子的多樣性，從而跳出局部最優。

圖2 粒子群-遺傳混合算法流程Fig.2 Particle swarm optimization genetic hybrid algorithm process

式中β由式（19）動態隨機決定。

式中：rand為常數，且在0～1 之間隨機變動；mu為交叉算子的分布指數，且mu＞0，一般取mu=1。

式中：t為子代個體中染色體的位置；η由式（21）動態隨機決定。

式中：mum為變異算子的分布指數，且mum＞ 0，一般取mum=1。

2.4 粒子群-遺傳混合算法的優化操作

根據粒子群-遺傳混合算法的運行原理，利用罰函數處理深溝球軸承優化設計中的約束條件，以確保目標函數值在合理范圍內。當粒子陷入局部最優時，結合GA 的優勢，對粒子個體進行交叉、變異操作，擴大尋優區域，從而求得全局最優解，具體優化流程如圖2所示，具體的優化操作步驟如下：

步驟1初始化相關參數。

步驟2初始化種群各個粒子的速度與位置，隨機生成粒子群。

步驟3根據罰函數來懲罰，計算粒子的適應度值，確定粒子的全局最優值和局部最優值。

步驟4根據式（14）更新粒子的慣性權重，更新當前粒子的速度和位置。

步驟5判斷迭代出現的全局最優值與上一代的全局最優值同時出現的個數是否超過所設的kmax，若超過，則對粒子群中的每個粒子位置進行GA 的交叉和變異操作；反之則進行下一步。

步驟6再次利用罰函數更新粒子的目標適應度值，同時更新粒子的全局最優值與局部最優值。

步驟7判斷迭代出現的全局最優值與上一代的全局最優值是否相同，若相同，則在k值的基礎上加1；若不相同，則k值歸零。

步驟8該粒子群運行到所設的最大迭代次數genmax時，即得到全局最優解。

3 算例分析

3.1 6206 型深溝球軸承算例分析

本研究以在新能源汽車電驅系統中廣泛應用的6206 型深溝球軸承為優化對象。優化前軸承外徑為62 mm、內徑為30 mm，曲率和為0.591 6，約束系數ai=3.738，bi=0.416 6，f1=1.5。根據所提粒子群-遺傳混合算法，設定種群規模N=50，最小慣性權重wmin=0.4，最大慣性權重wmax=0.9，個體學習因子和社會學習因子為c1=c2=1.5，最大迭代次數genmax=500，懲罰因子A1=1×1012，A2=0，最大粒子速度vmax=1，最小粒子速度vmin=-1，交叉概率pcross=0.7，變異概率pmutation=0.1，交叉算子的分布參數mu=10，變異算子的分布參數mum=30，允許全局最優值重復出現的最大個數kmax=4。通過設置線性加權系數a1、a2，在不同的優化目標下對深溝球軸承進行優化設計。

同時，為了驗證粒子群-遺傳混合算法在優化設計上所達到的效果，在相同的優化參數條件下，分別采用粒子群算法和遺傳算法對6206 型深溝球軸承進行優化，對比其優化結果。

當線性加權系數a1=1、a2=0 時，優化目標對象為Cr，優化后的結果如圖3所示。

圖3 6206 型深溝球軸承Cr 優化結果Fig.3 Cr optimization results of 6206 deep groove ball bearing

由圖3 可以得知，軸承的Cr在粒子群-遺傳混合算法下，經過190 次迭代后收斂于35 942.1 kN，達穩定值；在粒子群算法下，經39 次迭代后收斂于31 108.9 kN，粒子已陷入局部最優解；在遺傳算法下，經413 次迭代后收斂于30 823.6 kN，還有尋找最優解的可能。各算法對應的軸承設計變量值見表2。

表2 6206 型深溝球軸承Cr 優化后的設計變量值Table 2 Design variable values of 6206 deep groove ball bearing after Cr optimization

當線性加權系數a1=0、a2=1 時，優化目標對象為Cor，優化后的結果如圖4所示。

圖4 6206 型深溝球軸承Cor 優化結果Fig.4 Cor optimization results of 6206 deep groove ball bearing

由圖4 可知，軸承的Cor在粒子群-遺傳混合算法下，經過104 次迭代后，收斂于17 610.4 kN，達到穩定值；在粒子群算法下，經過42 次迭代后，收斂于16 924.3 kN，粒子已陷入局部最優解；在遺傳算法下，經過398 次迭代后，收斂于17 439.6 kN，且還有尋找最優解的可能性。軸承在各算法下對應的設計變量參數如表3所示。

表3 6206 型深溝球軸承Cor 優化后設計變量值Table 3 Design variable values of 6206 deep groove ball bearing after Cor optimization

當線性加權系數a1=0.5、a2=0.5 時，優化目標對象為聯合額定載荷，優化后的結果如圖5所示。

圖5 6206 型深溝球軸承聯合額定載荷優化結果Fig.5 Optimization results of combined rated load of 6206 deep groove ball bearing

由圖5 可看出，軸承的聯合額定載荷在粒子群-遺傳混合算法下，經173 次迭代后，收斂于26 571.6 kN，達到穩定值；在粒子群算法下，經12 次迭代后，收斂于23 594.8 kN，粒子已陷入局部最優解；在遺傳算法下，經過379 次迭代后，收斂于24 586 kN，還有尋找最優解的可能性。在各對應的算法下，軸承設計變量參數如表4所示。

表4 6206 型深溝球軸承聯合額定載荷優化后設計變量值Table 4 Design variable values of 6206 deep groove ball bearing after optimization of the combined rated load

3.2 6206 型深溝球軸承有限元分析

為了驗證所提粒子群-遺傳混合算法應用于軸承結構參數優化的有效性，基于優化得到的6206 型深溝球軸承，聯合額定載荷設計變量參數，施加16 kN 的徑向載荷，建立有限元模型并進行仿真分析，得到優化前后的接觸應力云圖如圖6所示。優化前的最大接觸應力為1 315 MPa，優化后的最大接觸應力為898.2 MPa。相比于優化前，深溝球軸承所承受接觸應力下降了31.7%，這有益于提升軸承實際使用性能和疲勞壽命。

3.3 敏感度分析

基于優化后的結構參數分析制造誤差對軸承性能影響的敏感程度，可以為提高軸承服役水平提供更加全面的參考。在深溝球軸承的實際制造過程中，±0.5%的制造誤差是其最常見的誤差范圍[13]。因此，為確定優化后的深溝球軸承性能，本文以優化后的6206 型深溝球軸承聯合額定載荷設計變量為例，分析當設計變量參數Dw、Dj、fi、fo的制造誤差分別為-0.5%和+0.5%時，目標函數Cr和Cor的變化情況。當制造誤差為-0.5%和+0.5%時，目標函數Cr和Cor的敏感度分析結果如表5 和表6所示。

表6 制造誤差為+0.5%的敏感度分析結果Table 6 Sensitivity analysis results with a manufacturing error of +0.5%

表5 和6 中的生產情況3、6、7、9、11～13、15、19、22、23、25、27～30 的狀態不滿足深溝球軸承的約束條件。因此，上述生產情況將不進行后續的分析。

由表5 可知，當制造誤差為-0.5%時，生產情況為4、8、10 和14 時，軸承性能較好，為1、2 和5 時，軸承性能較差；當Dw變化為-0.5%時，Cr和Cor分別變化為-0.061 9% 和-0.051 3%；當Dj變化為-0.5%時，Cr和Cor分別變化為-0.001 4%和-0.010 2%；當fo變化為-0.5%時，Cr和Cor分別變化為0.639 4%和-0.002 2%。

由表6 可知，當制造誤差為+0.5%時，生產情況16、17 和20 時的深溝球軸承性能較好，為18、21、24 和26 時軸承性能較差；當Dw變化為+0.5%時，Cr和Cor分別變化為0.063 3%和0.046 9%；當Dj變化為+0.5%時，Cr和Cor分別變化為0.002 9%和0.005 8%；當fi變化為+0.5%時，Cr和Cor分別變化為-9.914 0%和-1.314 6%。

從上述關于表5～6 的分析中可以得出，當制造誤差為-0.5%時，目標函數Cr和Cor在整體上是優于最終的優化值，但容易受深溝球軸承幾何約束條件的限制，符合條件的不多；當制造誤差為+0.5%時，目標函數Cr和Cor在整體上劣于最終的優化值。因此，在制造生產中，要避免制造誤差為正；制造誤差為負時，要根據深溝球軸承的幾何約束條件進行校驗。

4 結論

針對深溝球軸承的優化設計問題，提出了一種基于粒子群-遺傳混合算法的深溝球軸承優化設計方法。優化結果表明，該算法收斂性較好，優化能力較強，運算速度較快，接觸應力更小。

1） 通過在粒子群-遺傳混合算法中引入罰函數、交叉和變異操作，有效地解決了PSO 帶約束優化問題求解難題和易陷入局部最優解問題。

2）采用粒子群-遺傳混合算法與PSO 和GA 的優化結果進行對比分析表明，經粒子群-遺傳混合算法優化后的最佳適應度值和目標函數值明顯優于其它兩種算法的對應值，可更好地提高深溝球軸承的性能。

3）經有限元對比分析結果表明，優化后的深溝球軸承所承受接觸應力下降了31.7%，有益于提升軸承實際使用性能和疲勞壽命。

4）經敏感度分析可得，制造誤差為+0.5%時，深溝球軸承的使用性能會下降；制造誤差為-0.5%時，深溝球軸承的使用性能會上升，但要根據深溝球軸承的幾何約束條件進行校驗。