凸顯“角度”價值，感悟度量本質

劉琳娜 謝紅霞 劉加霞

摘 要：《角的度量》單元第一課時的教學，介紹古代器具的功能，讓學生體會角度的價值，激發“度量角”的需求；基于“歷史相似性”，讓學生用“特殊角”量角，感受“單位越小，度量結果越精確”；在介紹360°分度體系的基礎上，讓學生數1°角、在量角器上找角，感受度量單位的累加，熟悉量角器的結構；借助現代生活情境，讓學生再次感悟角度的價值。由此，為下一課時正確使用量角器量角、畫角做好操作經驗和思想方法上的積累與鋪墊。

關鍵詞：小學數學；數學史；角度；度量；單位累加

一、課前思考

角概念的本質在于角的大?。ń嵌龋?。小學數學中，四年級《角的度量》單元是在二年級《初步認識角》單元的基礎上學習規范地測量角，培養學生的量感。感悟角度在生產、生活中的作用，才能激發“度量角”的需求，進而體驗定義度量單位以及創造量角器的必要性，感悟度量本質。

對此，我們思考了以下問題：（1）借助什么情境更能凸顯角度的重要性，引發度量角的需求，同時滲透中華優秀傳統文化？（2）在量角器產生前，古人是如何量角的？這些方法的本質是什么？是否在第一課時就直奔“用量角器量角”的主題？（3）量角器是如何產生的？學生用量角器量角會遇到哪些困難？怎樣幫助學生突破這些難點？

現行各版本小學數學教材中，有的直接比較兩個角的大小，沒有設計引發度量需求的情境；有的借助“滑梯”情境引導學生關注角度的作用，這一情境雖然貼近學生生活，但還不能體現角度在生產、生活中的廣泛應用，也不能讓學生感受到勞動人民的智慧。事實上，早在兩千多年前，我國古代科技典籍《考工記》一書就記載了古人在生產活動中如何處理所遇到的角度問題。因此，我們選擇中國古代兵器、樂器、農具上的“角度”作為引入情境，既激發學生學習的興趣，又讓學生加深對中國傳統技藝的了解，感悟勞動人民的智慧。

進一步查閱文獻可知，中國古人對角度概念，首先是以矩（直角）為基礎構造出一些特殊角，用特殊角來創生其他角度概念；隨著利瑪竇與徐光啟合作編譯的《幾何原本》的傳入，中國古人才真正從360°分度體系的角度認識一般意義的角，而量角器（《幾何原本》中提到的“有度之圓界”）就是360°分度體系的產物?！皻v史為教學提供了一面鏡子?！??［1］ 從歷史相似性的視角看，感悟度量本質有兩條關鍵的路徑：一是借助“特殊角”測量并刻畫未知角度，二是通過1°角累加得到更多新的角度。

會用量角器量角只是一種基本技能，為了培養學生的量感，還必須讓學生思考量角器是怎樣形成的，理解量角的本質是“要量的角”與“量角器上的角”重合，量角器上的角是各個單位角“有序”累加得到的。由此就能知道學生量角時的真困難：在量角器上找不到角，難以將量角器上的角與要量的角疊合；量角器有兩圈刻度，不知道何時讀外圈、何時讀內圈的刻度。突破這些難點，絕不僅僅是記住量角的口訣（點對點，線對線，從零開始看），再把口訣轉化為操作的流程，而需要了解量角器的結構本質，看到量角器上“密布著”一個又一個的“角”。

因此，我們決定在《角的度量》單元的第一課時，不急于讓學生用量角器測量角的大小，而創設“古人沒有量角器怎么辦”的問題情境，從“特殊角”入手，在“用小角量大角”的活動中引發學生對“單位累加”“度量值不夠精確時要使用更小單位”等度量本質（思想）的深層次體驗，繼而介紹360°分度體系來得到1°角，通過“180個1°角累加”“在量角器上找角”等活動，讓學生進一步認識度量本質，更為清晰地看到量角器的內在結構，為下節課正確使用量角器量角、畫角做好鋪墊。需要指出的是，幾個版本的教材都設計了“用小角量大角”的活動，但是，其中要量的角都是銳角；我們用鈍角替換教材中的銳角，

從而讓學生可以用到“矩”（直角）這個特殊角進行度量。

基于上述思考，我們確定了本節課的教學目標：（1）能在了解古人兵器、樂器、農具功能的過程中，認識到“角的大小”決定了角在生活中應用廣泛；（2）能在“用小角量大角”的活動中，體會度量單位的作用，感知單位越小度量結果越精確；了解1°角的產生過程，會用1°角的累加得到其他角度，形成和發展量感；（3）能經歷量角器產生的過程，認識量角器的結構，會在量角器上找出大小不同的角，讀出畫在量角器上的角的度數；（4）能感受角度與古今生活的密切聯系，體會數學學習的價值，培養數學的眼光和應用意識，感受古人的智慧。

二、課堂實踐

（一）介紹古代器具的功能，體會角度的價值

師 ??生活中常常會用到“角”，在古代也是如此。 （出示下頁圖1—圖4） 圖1、圖2是古代的兩種兵器，分別叫作戈和戟；圖3是古代的一種打擊樂器，叫作磬，它被敲打后可以發出好聽的聲音；圖4是古代的一種農具，叫作耒耜，用來翻土，播種莊稼。

（學生觀察圖片。）

師 ???圖中的這些器具，在制造的過程中都用到了角度。 （同步指圖） 比如，如果戈這個地方的角度太大，攻擊敵人時就打不進去；如果角度太小，給敵人造成的傷害就太小。在農具的使用上，不同角度的耒耜適應耕種軟硬程度不同的土地?？戳诉@幾幅圖片，聽了老師的介紹，你有什么感受？

生 ??生活中經常能看到角，制造不同的東西要用不同的角度。

師 ??看樣子角度非常重要，生活中用到不同的角實際上是角度在起作用。

借助古人制造兵器、樂器、農具等應用角度的情境，讓學生知道角度在生活中的廣泛應用，激發學生對角度的興趣。

（二）用“特殊角”量角，感受“單位越小，度量結果越精確”

師 ??古人要想制造這些器具，怎么確定這些角的大??？

生 ??可以用量角器量。

師 ??古代還沒有量角器，怎么辦呢？

生 ??可以用三角板上的角去量。

師 ??我們可以找到一些特殊的角來量一量。大屏幕上的圖中標出了4個器具中的4個角。我們請一位同學上來選一個角，用三角板上的角來量一下。

（一名學生上臺，選擇了戟進行測量，她將三角尺上的直角與戟中標出的角進行了比對。）

生 ???用三角尺上的直角去量戟的這個角，剛好一樣大，所以，戟的這個角應該是直角。

師 ??這位同學找到了三角尺上的直角，用兩個角重合的方式量出戟的這個角也是一個直角。在我國古代并沒有“直角”這個詞，?（同步板書） 直角被稱為“矩”，鈍角被稱為“倨”，銳角被稱為“句”。對于古人來說，在沒有量角器的情況下，直角是一個特別重要的存在，很多角度都是在直角的基礎上推導得到的。

（出示學習單中的∠1，如圖5所示） 接下來，請大家用三角尺上的角去量一量學習單上的∠1有多大，想一想怎樣表達出、記錄下你測量的結果。

（學生獨立完成后同桌兩人交流。）

師 ??誰來展示一下自己是怎么量的？完成這個任務的時候有什么困惑和問題？

生 ???（展示量法，如圖6所示） 我發現用直角擺上去的時候，會缺一塊，說明這個角比直角大。

生 ????（展示量法，如圖7所示） 我擺了一個三角板的直角之后，又找了一個30°的角放上去，發現多了，說明這個角比90°+30°小一些。我估計了一下，可能是110°左右。

師 ??發現比90°大，又比90°+30°小一些，你為什么沒有用兩個直角來量呢？

生 ??用兩個直角，差得太大了，不準確。

生 ???（展示量法，如圖8所示） 我還有一種方法，不用直角了，都用比直角小的角，這樣這個角的大小就是所用的三個角相加的結果。我發現，結果更精確了。

生 ??可還是有一點點縫隙，三角板上的角是固定的，不能調，所以怎么量都有誤差。

生 ??還可以用更小的角。

師 ??就是把標準或者單位變得更小。

生 ??可以用量角器。

在用三角板上的幾個特殊角相加來表示未知角的過程中，再現了我國古人表示角的方法，讓學生感悟度量的可加性，初步感知度量工具和度量方法引起的誤差;同時，引導學生通過把單位變小來得到更為精確的度量結果，培養學生的量感。

（三）借助量角器上的1°角，介紹角的360°分度計量體系

師 ??有同學提到了量角器，為什么用量角器量會更精確呢？是因為量角器上有什么？

生 ??有刻度線。

生 ??有小格，就像1厘米、1毫米一樣。

生 ??有1°角。

師 ??1°角是如何產生的？

生 ??把一個圓平均分成360份，1份就是1°。

師 ??意思到了，但是表達不夠準確。

（教師播放視頻，介紹西方天文學上角的360°分度計量體系，讓學生感受到：有了統一的、更小的1°角這個單位，度量結果更精確。）

生 ??我發現，量角器上，10°對著的大約是1厘米，那1°就大約是1毫米。

師 ??角不能用一個固定的長度來表示哦。

順應學生在把度量單位變小的基礎上想到的量角器，提問“為什么用量角器量會更精確”，引發學生對量角器結構的思考。抓住學生回答的1°角，引出360°分度計量體系。這時，一名學生想到用角對應的弧長（也可能是弦長）來刻畫角的大小，但是，教師沒有聽懂，直接否定了該學生的想法。實際上，中國古人的“以規生度”就是用“弧長”表示“角度”的。如果教師能肯定學生的想法，鼓勵學生在課后或在今后的學習中繼續研究“長度能否表示角的大小”這個問題，就能為學生找到思維的生長點。

（四）數1°角，感受度量單位的累加

師 ???回憶一下，我們在測量長度時，找到的單位長度是1 cm、1 dm、1 m……在測量面積時，找到的面積單位是1 cm 2、 ??1 dm 2 、

1 m 2……所以剛才有同學聯想到了角的度量可以選擇1°角作為度量單位。這個想法可真棒！我們把1°角進行累加，看看會發生什么？

（教師出示1°角。）

生 ??1°角太小了！

（教師累加5個1°角，同時讓學生計數，得到“5個1°是5°”的結論；繼續累加，繼續計數，得到“10個1°是10°”；然后10°、10°地累加得到180°。教師讓學生指認所有角的頂點，學生知道頂點就在半圓的中心。這時，教師才呈現出量角器。整個過程如圖9所示。）

度量的本質是單位的累加。帶領學生從1°角到180個1°角，開展數角及找角活動，初步感受角的大小是1°角的累加；再借助180個1°角累加起來的模型，初識量角器的結構，初步感知量角器上的角。

（五）在量角器上找角，熟悉量角器的結構

師 ??剛上課就有同學說用量角器量角，量角器就是測量角的大小的工具。觀察一下量角器，上面都有什么？

生 ??量角器上有數，有刻度。

師 ??外面這圈叫外圈刻度，里面這圈叫內圈刻度。為什么會有兩圈刻度呢？

生 ???（上臺同步比畫） 量的時候，如果角沖這邊，就從這邊開始數；如果從角沖那邊，就從那邊開始數。

師 ??角的大小就是1°角的累加，我們在數刻度的時候要看清楚1°角在哪里，從哪個方向來數。量角器上還有什么？

生 ??量角器上還有許多線。每一條線都對應著相應的刻度。

（教師布置在量角器上找角的任務：①在量角器上找出一個30°的角，說一說你是怎樣找到這個角的；②在量角器上任意找出一個角，并在印著量角器的學習單上畫出來。學生活動。）

生 ???（上臺同步比畫） 我是從左邊0刻度線開始，

（順時針） 數出30°的。

師 ??還有別的方法嗎？

生 ??我從30°開始找，數到60°，這個角也是30°。

師 ??這說明我們不一定要從0刻度線開始找，而只要通過累加數出30°就可以了。誰來展示一下畫出的角？

（一位學生展示了如圖10所示的角，引發了爭議：有同學說是150°，有同學說是30°。）

師 ??到底是多少度？

（多數學生認可是150°。）

師 ??為什么是150°？

生 ??因為開口沖左，所以讀外圈。

師 ??讀的時候，我們要看是從哪里開始數、沿哪個方向數。

對這個角，我們要從0刻度線順時針一直數到150°。能讀30°嗎？

生 ??不可能是30°，因為一看就比直角大。

師 ??對！通過與直角比較，也能判斷這個角不可能是30°。

（教師又邀請幾位學生展示自己畫出的角，讀出角的度數。）

用量角器量角就是將“要量的角”與“量角器上的角”重合。學生之所以在量角時出現困難，是因為找不到量角器上的角，或不知道應該順時針還是逆時針讀出度數。為了破解這個難點，教師基于學生數角的經驗，設計在量角器上找角的活動，幫助學生進一步感受角的大小是1°角的累加，熟悉量角器的構造，從而合理得到度量結果。教師還借助學生讀數錯誤、產生沖突的契機，再次幫助學生澄清了從哪里開始數，沿哪個方向數。

（六）借助現代生活情境，再次感悟角度的價值

師 ??角度在古人的生活中很有用，在我們現在的生活中應用也非常廣泛。請你舉出生活中的實例。

（學生舉出建造大樓、發射火箭等都需要用到角度。）

師 ???（出示圖11） 這是什么？

生 ??是滑雪的雪道。

師 ??對。北京剛剛成功舉辦了冬奧會，很多同學對雪上項目都有一定的了解。結合剛剛的學習經驗，請你估一估兩種

雪道這兩個角的度數分別是多少度？

生 ??30°、45°。

（教師抽象出雪道中的角，給出角的確切度數，分別是20°和45°。）

師 ??雪道的角度是有一定標準的。哪位同學來讀一讀關于雪道的小知識？

生 ???（朗讀） 一般來說，初級道（綠道） 14°以下，中級道（藍道） 14°—21.8°，高級道（黑道） 21.8°以上。大眾滑雪

雪道的角度原則上限制在30°之內。

師 ??請你根據這個標準判斷兩個雪道分別屬于什么級別的雪道。

生 ??1號雪道屬于中級道，2號雪道屬于高級道。

師 ??角度是判斷雪道級別的依據。生活中很多地方都

會用到角度的知識，比如椅背的傾斜角度、無障礙通道與地面形成的夾角，等等。課

后，同學們可以自己去查閱資料，看看這些角是多少度。只要用數學的眼光去觀察生活，就會發現生活中有很多的數學奧秘。

現代生活中應用角度的真實情境與課始

引入的古人生活情境起到呼應作用，幫助學生感悟角度從古至今都在生活中發揮著重要的價值，再一次意識到角度的重要性；也搭建了數學與生活之間的橋梁，培養了學生用數學的眼光觀察現實世界的意識與能力。

三、課后反思

本節課借鑒古代數學中角度概念和角度計量的發展歷史，將古人認識角度的路徑與學生認知角度的難點建立聯系。從介紹古人制造的器具的特點入手，極大地引發了學生的學習興趣?！坝锰厥饨橇拷恰钡幕顒釉佻F了古人用特殊角來刻畫其他角度的思想，讓學生體會到度量單位產生的價值。

本節課的目標并不停留在量角的操作技能層面，而從度量的思想本質出發，重在落實學生量感的培養。教學中，我們深刻地感受到，數學發展史中蘊含著大量可利用的、有價值的教學資源。對此，教師不能僅僅是“告知”，而需要在深刻理解數學本質和發展脈絡的基礎上，有意識地篩選和挖掘史料的教學功能和文化價值，尤其是結合課標與教材要求進行合理的設計，以學生可接受的方式呈現。

數學文化在小學數學課堂中的融入既可以有明線（史料），也可以有暗線（思想方法）。本節課中，學生盡管還沒有真正用量角器去量角（這個內容設計在下節課），但是，猶如庖丁解牛，已經對量角器的結構有了較為全面的認識，對度量方法的本質有了較為深刻的理解，為后續量角、畫角從操作經驗到思想方法都做好了積累與鋪墊。

參考文獻：

［1］ 汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學［J］.小學數學教師，2017（7/8）：77 83+2.