數學項目式學習的“六維”設計

莊治新

摘 要：數學項目式學習，要引導學生綜合運用數學知識解決真實情境中的問題，促進學生對數學概念的深度理解，在有效遷移中實現學科素養和跨學科素養的提升。教學蘇教版小學數學六年級上冊《長方體和正方體》單元，從核心知識、驅動問題、高階認知、學習實踐、公開成果及全程評價六個維度，將科學、美術、語文等學科內容進行統整，以“制作孔明燈”為主題，進行了數學項目式學習設計。

關鍵詞： 小學數學；項目式學習；制作孔明燈；《長方體和正方體》

約翰·杜威認為，理解是學習者探求事實意義的結果。 ?［1］ 深度理解具有可遷移性，既指向基本知識的理解，又包括對概念結構化的認知，還包括對概念的靈活應用和創新。數學項目式學習，就是要引導學生綜合運用數學知識解決真實情境中的問題，促進學生對數學概念的深度理解，在有效遷移中實現學科素養和跨學科素養的提升。夏雪梅博士提出了項目化（式）學習的六維度設計要則：核心知識、驅動問題、高階認知、學習實踐、公開成果及全程評價。 ?［2］ 教學蘇教版小學數學六年級上冊《長方體和正方體》單元，筆者結合上述六個維度，將科學、美術、語文等學科內容進行統整，以“制作孔明燈”為主題，從深度理解的視角進行了數學項目式學習設計。

一、梳理核心知識

項目式學習的本質是對概念的理解。數學項目式學習的目標就需要指向數學概念，既包括基本知識與技能的掌握，也包括對數學概念的意義理解，更重要的是通過學習引發對數學概念的有效遷移。梳理核心知識的目的在于確定數學項目式學習的目標，學習目標的確立可以幫助教師預估學習結果。

“制作孔明燈”項目開設于《長方體和正方體》單元。本單元，學生應該掌握的知識包括： （1）長、 正方體的特征。如：有12條棱，相對的棱長度相等;有8個頂點，每個頂點連接一組長寬高；等等。（2）長、正方體的表面積。如：長、正方體的展開圖及表面積的計算等。 （3）長、 正方體的體積。如：體積單位、體積的計算等。學生應該形成的技能包括：（1）會測量和計算長、正方體的表面積和體積；（2）會根據長、正方體的特征搭建長、正方體的框架。學生應該獲得一個可遷移和應用的觀點：每一個立體圖形都可以分解出各個元素，如框架結構、不同的平面等，這些元素組合起來就構成了立體圖形；相同元素的不同組合會呈現出形態各異的立體圖形。在圖形要素的分解與組合中，學生能形成對立體圖形的整體認知和深度理解。

據此，梳理出“制作孔明燈”項目的基本問題為：（1）如何從立體圖形的角度去觀察、理解并準確地刻畫身邊的物體？（2）怎樣才能像數學家那樣用圖形的結構而不是憑感覺來描述周圍的物體？通過對基本問題的持續追問，促進學生深入持久地理解概念（如數據的變化會影響立體圖形的整體結構，三維和二維之間的轉換制圖會發生扭曲現象等），從而引發學生對數學概念的靈活遷移。

二、提出驅動問題

數學項目式學習是通過問題引發學生對數學概念的思考和探索的。問題要能引發學生的興趣，通過與學生親和的方式驅動學生持續思考，積極投入學習。學生圍繞驅動問題展開探究，并不僅僅是“參與活動”或“學習知識”，更重要的是在參與活動、不斷地學習有意義并且有用知識的過程中獲得新的視角和能力。

在“制作孔明燈”項目中，我們借助工具“KWH表”的前期調研，圍繞《長方體和正方體》單元提出的真實問題，選擇、優化并提煉出驅動問題。具體如下：“中秋節，除了吃月餅外，古人還有放孔明燈祈愿的風俗。今年中秋節，我們一起來做一件有意義的事：親自設計并制作一盞孔明燈，把祝福和心愿寫在孔明燈上，為家人祈福。請你像一名優秀的手工藝人那樣，制作一份特殊的禮物送給家人吧！”長、正方體是眾多立體圖形中的基本圖形。學生在經歷“制作孔明燈”項目的學習過程中，不僅要形成對立體圖形的一般認知，還要了解研究立體圖形的一般方法，在面對現實物體時，能像優秀的手工藝人那樣去分解與組合，形成對物體的整體認知。這既體現了學生對數學概念的深度理解，也促進了學生數學學科素養和跨學科素養的發展。

三、蘊含高階認知策略

馬扎諾認為，高階學習就是有意義地運用知識的過程，他提出的學習維度框架中包含六個高階策略：問題解決、創見、決策、實驗、調研和系統分析。

［3］ 夏雪梅博士強調，要讓學生經歷高質量的項目式學習就必須注重對高階認知策略進行設計。 ?［4］ 數學項目式學習需要蘊含指向數學概念性知識的高階認知策略。

“制作孔明燈”項目，至少蘊含三類高階認知策略。一是問題解決，即學生面對結構不良的問題厘定目標、在試誤中尋找解決問題的最優路徑。如在框架搭建中，首先涉及材料的選擇是否會影響后期的放飛；當選定竹篾后，要確定哪種寬度的竹篾合適，根據竹篾的長度確定如何裁剪孔明燈框架的長度；當裁剪好竹篾的長度后，怎樣拼接能保證接頭處牢固、美觀又不浪費材料等。二是實驗，即學生對所觀察的現象提出假設并進行檢驗。如學生通過查閱資料，了解到孔明燈放飛成功的要素之一是內部的熱空氣。這就涉及孔明燈容積的大小，需要考慮孔明燈內部是否有足夠的熱空氣。學生通過對不同小組制作的孔明燈的放飛實驗，初步了解孔明燈容積大小與能否放飛之間的關系。在實驗過程中，也涉及一些不可控因素，需要學生及時調整策略。比如，有一組學生在放飛時，發現孔明燈被風吹走了；后面幾組學生在放飛時，首先就會想到要在孔明燈的底部拴上線，控制起飛的高度等。三是決策，即學生提出并運用標準，借助推理，從幾種方案中作出選擇。學生在選擇、評價孔明燈的制作方案時，需要理解標準，如裁剪方案符合長、正方體的特征，糊面設計方案能體現對長、正方體的理解，孔明燈的外形比較美觀等。學生根據標準來衡量每個方案的優劣，然后對每個標準賦值，最終確定采納的方案。

四、組織學習實踐

夏雪梅博士強調：項目式學習要讓學生經歷有意義的學習實踐歷程。??［5］

數學項目式學習需要學生像數學專家那樣進行思考與實踐，在“做數學”的過程中指向對數學概念的深度理解。

在“制作孔明燈”項目中，學生經歷了完整的五類實踐形態。其一，探究性實踐：學生在對真實世界的觀察中產生問題，經過知識的聯結、抽象，再次回到真實世界，產生遷移。如學生提出自己想要解決的問題“怎樣的孔明燈才能飛上天”，并通過查閱孔明燈的相關背景資料，建立其與立體圖形之間的聯系;通過尋找多樣的信息，設計可行的解決方案，并運用實驗中的數據為孔明燈的設計方案進行辯護等。其二，社會性實踐：學生會溝通、交流并能設身處地理解他人。如制作孔明燈是相對復雜的，學生會主動尋求團隊的合作；他們在制作過程中會提出自己的觀點，也會認真傾聽同伴的觀點等。其三，審美性實踐，即有可視化的美感，體現設計思維等。如學生對自己制作的孔明燈有一定的審美要求，同時也會用這樣的要求去審視同伴的作品，包括外觀、顏色、方案的設計等。其四，技術性實踐，即善于運用工具來輔助學習或解決問題。如在制作孔明燈的過程中，學生需要安全使用真實的工具，如剪刀、膠帶、酒精棉、蠟燭等。有的學生就體會到了手工藝者的不易，因為他在制作時，經常會被竹篾上的小刺扎到手。其五，調控性實踐，即專注并堅持投入學習、及時調控情緒等?！爸谱骺酌鳠簟边@個項目的周期比較長，除了課堂上的學習之外，還有很多任務需要學生在課后完成，而且答案也不確定。有的學生就容易放棄或取巧，如：為了避免糊面的麻煩，直接用垃圾袋套在框架上。這也引發了學生的討論：塑料袋能否作為孔明燈的外殼？在這個過程中，學生相互激勵，有計劃地調整和修正方案。

五、展示公開成果

項目式學習最終要形成公開的、有質量的成果，并在多樣的群體中進行交流。

數學項目式學習的成果既要體現數學思維的真實性，也要指向對數學概念的深度理解。

在“制作孔明燈”項目中，最終的成果除了能形成對立體圖形的整體性認知、制作完整的孔明燈之外，還需要解釋在制作孔明燈框架時是如何確定棱的長度以及相互之間關系的，以及在糊面時是如何確定面的大小以及相互之間關系的等，學生需要提供相關的設計方案。因此，該項目的成果從呈現方式來看，包括制作表現類成果和解釋說明類成果。制作表現類成果有孔明燈實物作品、項目報告等。解釋說明類成果包括：組織一次竹篾裁剪、罩紙設計的方案交流；作為一名手工藝者，講述孔明燈的設計、制作經歷。

無論是哪一類公開成果，都能相對清晰地反映對數學概念的理解：在裁剪和罩紙方案的設計交流中，學生需要結合長、正方體的特征來講述方案的設計；在孔明燈的設計制作經歷分享中，學生需要圍繞立體圖形的分解與組合來講述觀點；在作品展示中，學生需要呈現對立體圖形的個性化理解。項目成果指向學生數學思維的可視化發展，任務完成的過程就是對數學概念深入理解的過程，任務的完成程度直觀反映學生對數學概念的理解程度。

六、規劃全程評價

在項目式學習中，我們需要提前考慮：什么樣的證據可以證明學生已經達到了預期的學習目標？什么可以證明學生已經獲得了真正的內容理解？

在“制作孔明燈”項目中，學生至少需要從兩個維度來證明他們獲得了真正的理解：一是釋義，即能用自己的話來說明對立體圖形的理解；二是遷移，即能將對立體圖形的理解應用到新的情境中。

評價量規的制定，既是為學習的推進收集證據，也是對階段性的學習成果進行總結，更是為了讓學生在學習中學會評價。數學項目式學習的評價量規，要注重指向對數學概念的理解。

在“制作孔明燈”項目中，我們設計了三類評價量規：活動表現清單（詳見表1）、方案設計評價量規（詳見下頁表2）和成果展示評價量規（詳見下頁表3）。

數學項目式學習的驅動性問題設計、對數學概念的追求、持續探究的過程性、指向數學核心知識等重要的特征，都促使學生積極主動地投入相關的學習實踐過程中，并逐步體會問題解決的方式方法和過程。學生參與數學項目式學習的過程，就是解決真實情境問題的過程，并不斷形成對數學概念的深度理解，在概念遷移中實現數學學科素養以及跨學科素養的提升。

參考文獻：

［1］ ?格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計（第二版）［M］.閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2017：39.

［2］［3］［4］ 夏雪梅.項目化學習設計：學習素養視角下的國際與本土實踐［M］.北京：教育科學出版社，2018：32 33，63，83.

［5］ ?夏雪梅.在學科中進行項目化學習：國際理解與本土框架［J］.教育研究與評論，2020（6）：19.