線性系統理論仿真實驗平臺的設計與應用

易 堅,吳夏來,杜樹新

(湖州師范學院 工學院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

《線性系統理論》是控制理論領域非常重要的一門研究生專業基礎課程,其對學生在控制工程領域的學習和研究具有重要作用,且在實際生活中應用廣泛[1].《線性系統理論》主要研究線性動態系統的數學理論和方法,包括線性時不變系統、線性時變系統、離散時間系統等.《線性系統理論》課程的作用主要是幫助學生深入理解線性系統的基本概念、性質和特征,培養學生分析和設計復雜系統的能力,提高學生的數學素養,從而為進一步研究和應用打下基礎[2].目前,線性系統理論課程教學存在以下問題：①課本內容對數學知識要求高,且計算量大[3];②學生來自不同的院校,數學基礎差異大[4];③來自不同本科專業的學生具有不同的專業背景;④課本中的相關理論沒有對應的結果仿真圖,課程內容抽象且不易理解.基于此,不少高校教師對該課程的教學進行了改革.目前,已知的教學改革手段主要有：課程內容優化[5],構建系統化知識體系;教學案例建設;豐富教學手段,如課堂研討、 混合教學[8]等.然而,這些教學改革手段并沒有很好地解決課程理論概念抽象不易理解且數學計算要求高等問題.雖然通過Matlab軟件編程可對課程內容進行仿真和計算,降低學習難度,但Matlab語言編程對不少基礎較差的專業碩士研究生來說,其難度較大且耗時,不易實施.

針對線性系統理論課程存在的問題,設計一個直觀易操作且無需編程的線性系統理論仿真實驗平臺,對線性系統理論的學習和教學來說是非常有必要的.本文利用Matlab開發一個線性系統理論仿真實驗平臺,其包含與課程主要知識點對應的7個仿真實驗和1個以橋式吊車為被控對象的綜合仿真實例.當使用仿真實驗平臺時,只需輸入線性系統的相關參數,就可得到相應的理論分析結果和仿真結果圖.借助本仿真實驗平臺可避免復雜的數學計算,并可通過仿真結果圖直觀地理解線性系統理論知識,這對激發學生的學習興趣和輔助任課教師高效教學都有很大幫助.通過本仿真實驗平臺的使用,也可提高學生對線性系統理論知識的綜合應用能力,幫助他們更好地應對實際工程問題.

1 線性系統理論仿真實驗平臺的設計

為降低線性系統理論學習的難度,本文設計一個仿真實驗平臺.該仿真平臺操作簡單、計算結果準確,使用者能快速得到仿真結果,方便學習、實驗和驗證.該平臺運行要求低,具有高移植性,能實現線性系統理論中的多種功能.

1.1 課程內容與仿真實驗平臺

針對線性系統理論的重要知識點,本仿真實驗平臺設計7個線性系統理論基礎知識的仿真實驗,其包括：①線性系統的運動分析.以狀態空間描述為對象,研究因不同輸入作用和初始狀態的激勵所引起的狀態變化或輸出響應.該內容的仿真可用step()函數得到系統的階躍響應結果圖,用impluse()函數得到系統的脈沖響應結果圖[9].②矩陣指數函數(eAt)的求解.這是一種將方陣映射到另一個方陣的函數,是線性系統運動分析計算過程中的核心步驟.該內容可用laplace()函數實現快速計算.③系統的穩定性判定.判斷系統在運行過程中是否具有良好的穩定性和魯棒性,是研究動態系統的重要工具.該內容可用lyap()函數實現李亞普諾夫第二法對系統穩定性的判斷.④系統能控、能觀性判定.評估系統是否可以被控制和被觀測,是控制系統設計和分析中的重要概念.該內容的仿真可用ctrb()函數得出能控性判別矩陣,用obsv()函數得出能觀性判別矩陣,從而判斷系統的能控和能觀性.⑤系統極點的配置.通過狀態反饋將系統的極點或特征根配置在期望的位置上,以達到所需的控制性能和穩定性要求.該內容的仿真可用place()函數實現極點配置的狀態反饋矩陣,用step()函數得出系統通過狀態反饋配置極點后的階躍響應結果圖.⑥帶觀測器的閉環系統.用于估計系統的未知狀態變量,以提供對系統狀態的反饋信息,從而實現對系統的控制.該內容的仿真可用acker()函數實現極點配置的觀測器增益矩陣,用step()函數得出系統通過觀測器配置極點后的階躍響應結果圖.⑦解耦控制.旨在減弱或消除多變量系統中的耦合影響,使系統的各個輸出變量能夠獨立地被控制.該內容的仿真可用inv()函數、place()函數實現,從而獲得系統解耦控制中的預變換矩陣、預狀態反饋矩陣,以及解耦控制后系統狀態空間方程的矩陣系數.

上述的線性系統理論知識點,雖然可利用Matlab中的m語言函數實現,但對編程基礎差的學生來說,其編程耗時多且仍然存在困難.本文開發一個無需編程的線性系統仿真實驗平臺,其非常有利于學生的學習.為通過綜合利用線性理論知識來實現線性系統的控制設計,本仿真實驗平臺還開發了1個以橋式吊車為對象的控制設計仿真實例.仿真實驗平臺的首頁目錄見圖1.

1.2 仿真實驗平臺的操作流程

為提高仿真實驗平臺使用的便利性,本仿真實驗平臺的操作流程設計見圖2.以控制系統極點配置的仿真為例,在進入該仿真界面后,只需輸入系統的參數和所需配置的極點,點擊“極點配置后”按鈕,即可顯示實現極點配置的狀態反饋矩陣(K),并給出系統極點配置后的階躍響應結果,見圖3.此外,在該仿真界面上還可點擊“極點配置前”按鈕,查看極點配置前的系統階躍響應結果,以觀察極點配置的作用.在仿真結束后,可點擊“返回目錄”按鈕,到目錄界面選擇其他仿真.本仿真實驗平臺界面簡潔、操作簡便、仿真結果直觀,對線性系統理論的學習很有幫助.

圖2 仿真實驗平臺操作流程

圖3 系統的極點配置

1.3 仿真實驗平臺的運行環境

仿真實驗平臺是基于MatlabR2021b開發的,在安裝MatlabR2021或其他最新Matlab版本的電腦上都可運行,能成功地降低本仿真實驗平臺的運行環境要求,提高可移植性.仿真實驗平臺的運行環境有以下要求：

(1)硬件要求：CPU為2.5 GHZ及以上;內存為4 G及以上.

(2)軟件要求：windows10-64位操作系統;運行環境為MatlabR2021b及以上版本.

2 綜合應用實例

線性系統理論基于狀態空間描述進行線性系統的定量和定性分析,進而實現系統的綜合設計.線性系統綜合設計是線性系統理論的綜合應用,能充分提高學生對線性系統理論的理解深度和應用能力.本仿真平臺設計1個橋式吊車控制系統設計實例,以幫助學生通過對橋式吊車的系統建模、性能分析和跟蹤控制設計,進一步掌握系統理論知識,提高解決工程實際問題的能力.

2.1 橋式吊車的控制系統

橋式吊車是一種大型的用于裝卸、搬運的工具,普遍用于碼頭、車站、倉庫和現代化工廠等[10-11].它也是控制工程領域的一個熱門研究方向[12].橋式吊車的運動系統包括：橋架驅動系統、小車驅動系統和重物吊裝系統[13].橋式吊車的工作流程通常包括3個步驟：將重物從地面吊起到指定高度;通過橋架和小車的驅動系統將其移動到特定位置上方;將重物放置到指定位置.重物吊裝系統采用柔性物品如繩索進行吊裝,使得吊裝工作相對輕松、便利.然而,這種吊裝方式也存在一個主要缺點,即當吊車行駛時,會使重物產生不可控的擺動[14],這不僅嚴重影響吊車準確定位和裝卸重物的精度,還會對吊車裝卸和搬運過程的安全性造成影響.解決這個問題的關鍵在于設計合理的控制規律或調節手段,以減少或避免重物的擺動,確保準確的定位和卸載,從而提高吊車的工作效率[15].

2.2 橋式吊車的數學模型

橋式吊車系統主體包括小車、重物、繩索、電機等,在忽略空氣阻力和各種摩擦力后,橋式吊車系統可抽象為小車和重物組成的系統[16],見圖4.x、z坐標分別是水平方向和垂直方向,代表小車和重物的運動自由度;M為小車質量(kg);m為重物質量(kg);F為驅動裝置對小車的驅動力(N);l為繩索長度(m);ρ為繩索拉力(N);θ為重物擺動角度(rad).

圖4 橋式吊車系統的結構圖

小車和重物的運動會導致重物擺動,故由動力學方法可以得出小車和重物的運動方程式：

小車的運動方程式為：

(1)

其中,xM為小車的運動位移(m).

重物在垂直方向的運動方程式為：

(2)

重物在水平方向的運動方程式為：

(3)

其中,zm為重物在垂直方向的位移(m),xm為重物在水平方向的位移(m).

在小車運動中,若連接重物的繩索長度不變,則可得出小車和重物的運動位移與繩索的方程式：

xM(t)+lsinθ=xM(t),

(4)

zM(t)=lcosθ.

(5)

消去上述式(1)～(3)的中間變量ρ,并假設θ(t)在平衡點附近(θ(t)=0)運動,可得：

(6)

(7)

經簡化,本系統認為,驅動小車的電動機是一個時間常數為Td的一階慣性環節.由此可得到驅動力F(t)與控制電壓v(t)的關系滿足方程式：

(8)

其中,Av為放大系數(N/V).

(9)

(10)

2.3 橋式吊車控制系統的性能

對建立的橋式吊車系統的狀態空間模型進行能觀、能控和穩定性分析,系統的部分參數見表1.在仿真中,只需輸入系統相應的參數,點擊“能觀、能控、穩定性分析”按鈕,即可得到仿真結果,見圖5.由于能控性判別矩陣QC滿秩,故系統能控;由于能觀性判別矩陣QO滿秩,故系統能觀;由于系統特征值實部大于等于0,故系統不穩定.

表1 橋式吊車系統的參數

圖5 能控、能觀、穩定性分析

2.4 橋式吊車控制系統的跟蹤控制

由圖5可知,該系統能觀、能控、不穩定.為系統穩定工作,需對其進行跟蹤控制設計.本平臺可實現狀態反饋跟蹤控制、帶觀測器跟蹤控制和線性二次型最優跟蹤控制仿真.本文以狀態反饋跟蹤控制仿真為例,在橋式吊車仿真控制界面,只需輸入系統相應的參數、狀態反饋配置的極點,點擊“狀態反饋控制仿真”按鈕,即可得到狀態反饋矩陣與輸入變換矩陣的系數,并給出具有輸入變換的狀態反饋控制系統的控制結果曲線,見圖6.由圖6可知,在具有輸入變換的狀態反饋控制下,小車大約經過25 s從起始位置(2 m)無超調地運動到終止位置(10 m);重物的擺動角度從初始角度(0.1 rad)開始,保持在一個較小范圍內(-0.04～0.1 rad),最終穩定地停留在預定位置(xM=10 m).其控制結果令人滿意.

圖6 狀態反饋控制仿真

3 結 語

本文根據《線性系統理論》的課程內容,設計了一個簡便且無編程要求的仿真實驗平臺.該仿真實驗平臺利用Matlab的先進數字計算和仿真功能,實現控制系統模型的建立、分析、綜合設計.本仿真實驗平臺將原本抽象、難懂的系統理論直觀化、具體化,減小了學生的學習難度,并加深了學生對線性系統理論內容的理解.橋式吊車系統綜合設計的應用,提高了學生綜合運用理論知識解決實際問題的能力.該仿真平臺還可輔助教師進行直觀教學,提高課堂的教學效率和學生的學習積極性.